处理高中数学最值问题的方法探析

处理高中数学最值问题的方法探析

☉江苏省南通市通州区刘桥中学周永忠

数学是一门工具型学科，高中数学教学内容抽象难懂给不少学生带来了困难，特别是高中数学中最值问题的处理一直困扰着学生.最值问题是高中数学课程教学的重点和难点之一，涉及的范围较广，可以说分布在高中数学各个知识点与知识层面中，在最值问题中，不仅考查了化归思想、数形结合和分类讨论等各种方法，而且考查了学生的创新能力与逻辑思维能力，因此，探讨高中数学最值问题的解题方法，对提高高中数学教学效率与质量有着积极意义.本文笔者根据自身教学实践，从四个角度分析探讨处理高中数学最值问题的有效方法与手段，希望能给读者带来一定的帮助.

一、合理构建高中数学函数模型，巧借函数思想处理最值问题

函数是高中数学课程教学的主要内容之一，函数与其他知识点的联系也比较紧密，在求解最值方面也不例外.高中数学教师在指导学生解此类题型时，应引导学生善于建立函数模型，利用函数思想求解最值.

例1已知a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，求函数f（x）的最小值.

思路分析：由题目中的已知条件可知：题目中既含有未知参数a，又含有绝对值，解题的关键是对未知参数a的取值范围进行讨论，去掉绝对值，从而简化题目，找到正确的解题思路.

解析：（1）当x≤a时，f（x）=x2-x+a+1

（2）当x≥a时，函数f（x）=x2+x-a+1

点评：本题考查函数、绝对值、单调性等知识的综合应用，合理运用分类讨论思想指导解题过程，针对原题等价转化成学生熟悉的形式进行处理，提高了解题的成功率，体现了函数模型处理极值问题的优越性.

二、根据实际情况灵活变换数学公式，借助于函数的有界性处理最值问题

高中数学内容涉及很多的公式，尤其是三角函数公式非常多，使得学生在三角函数求最值的题型中感觉无从下手，所以高中数学教师需要帮助学生灵活运用公式，通过公式变换，利用函数的有界性求解最值.

例2已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合.

思路分析：三角函数求最值的基本思路是将函数形式通过公式变换，转化为f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式，再依据具体条件求出最值.

解析：f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

点评：本题主要涉及三角函数的性质、三角函数公式变换、已知三角函数值求角度等知识，着重考查学生对三角函数知识的综合运用能力.解题的关键是利用公式变换，简化函数形式，再利用函数的有界性求解最值.

三、借“迁移理论”促新、旧知识之间的有效迁移，高效处理高中数学最值问题

学习迁移理论有效渗透到课堂教学之中，能够有效促进学生“举一反三、触类旁通”能力的提升与发展.由于高中数学不同知识点之间存在千丝万缕的联系，因此在学生求解最值而毫无思路时，教师可以指导学生将知识进行合理、有效迁移，利用学生已经掌握的数学知识与规律去处理最值问题，使学生在处理数学难题的过程中做到“游刃有余”.

例3设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4≥10，S5≤15，试求a4的最大值.

思路分析：在审查题目后，很多学生首先想到的是利用数列知识，将题目中S4和S5利用前n项和公式展开再进行求解，这样不仅计算过程烦琐，而且容易出现错误.如果学生注重数学知识的迁移，将数列知识转化为线性规划问题，则可以简化计算过程，快速解题.

解析：根据题意可将原题有效转化为线性规划问题：其约束条件为2a1+3d≥5和a1+2d≤3，目标函数为a4= a1+3d；建立直角坐标系a1Od，画出其可行区域（如图1），可知：当a4=a1+3d过可行区域内点（1，1）时，截距最大，此时目标函数可以取最大值，即a4=4.

图1

点评：数列是高中数学较难的知识点之一，很多学生在利用数列知识解题时总感觉力不从心，无法找到正确的思路与方法，而线性规划则较为简单，学生掌握程度较高，在求解最值时将数列问题转化为学生熟悉的线性规划问题，可以帮助学生顺利求解出最终答案.

四、充分发挥“数形结合”思想的优越性，巧妙处理高中数学最值问题

在处理最值问题时，数学教师完全可以根据实际情况，指导学生灵活运用数形结合的思想方法，通过形象直观的观察分析，简化题目条件，找到正确的解题思路与方法.例4已知对一切x>0恒成立，求a的最大值.

思路分析：如果学生采用常规思路，按照分类思想去绝对值求解，则很容易陷入分类过多的泥沼，无法迅速求解出答案.利用数形结合思想，将题目已知条件转化为图形，则学生的思路会豁然开朗.

图2

点评：本题中利用数形结合的数学思想方法，避开了绝对值、反比例函数和未知参数a对学生思路的影响，让学生通过观察图形找到求解最值的方法，既提高了学生解题的成功率，又缩短了学生解题的时间.

总而言之，最值问题是高中数学教学的重点和难点，对学生综合应用数学知识与规律非常重要.在课堂教学中，高中数学教师不但需要帮助学生掌握基础的数学知识，而且需要帮助学生掌握求解最值的各种方法，让学生可以通过知识的触类旁通，拓宽学生的解题思路，从而实现提升学生分析能力和解题能力的目的.A