来自高考数学阅卷场的报告——2015年重庆卷考生答题分析与教学建议

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市南岸区教师进修学院 肖 飞

☉西南大学数学与统计学 院江楠

来自高考数学阅卷场的报告
——2015年重庆卷考生答题分析与教学建议

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市南岸区教师进修学院 肖 飞

☉西南大学数学与统计学 院江楠

今年重庆市高考数学试卷结构、分值、试题特点与去年相似，但试题整体难度有所下降，估计理科平均分接近100分，文科平均分接近90分.由于选择题是机器阅卷，因此我们主要针对考生对解答题的解答情况作出分析，并给出教学建议.

今年文理科填空题、解答题平均分统计表

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这些数据说明今年重庆高考数学试题难度控制较为合理，并且试题能较好地区分出数学学得很好、好、中、差、很差的学生，体现了较好的区分度，从而达到选拔各层次人才的目的.

一、有关数列问题的解答情况分析

1.正确解法

文科数列题是文科第一道解答题，除了参考答案以外，学生还用到了以下解法.

（1）利用等差数列的性质.

（2）利用等差数列的通项公式与前n项和公式.

理科数列题是理科最后的压轴题，学生除了参考答案以外，还用到了如下解法.

另一方面a1>a2>…>ak0+1>2.

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

④审题不仔细，如第二问求出通项后，没有求出前n项和.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

①在第一问中，把等比数列的公比和首项求错，用错通项公式；

②在第二问中，利用数学归纳法验证首项时错把“k0=2”验证为“k0=1”；

3.教学建议

文科要重视基础知识的学习，加强基本公式的记忆及运算，重视验算步骤的书写和规范.理科除此之外，还应强化数列与不等式的综合应用.

4.试题评价

数列题作为文科第一道大题，难度较小，主要考查学生对公式的记忆及运算能力；数列题作为理科最后一题，不但考查了等比数列求通项等基础知识，还考查了学生的推理论证能力和创新意识，综合性较强，涉及不等式放缩法、数列的单调性、累加法等，区分度非常明显，是选拔能力型人才的一道好题.

二、有关概率统计问题的解答情况分析

1.正确解法

文科考查的是线性回归直线方程及其应用，除了参考答案以外，学生还用到了以下两种方法.

法2：调查另一组数据ti′=ti-3，yi′=yi-7，减小计算量，提高准确率.

理科考查的是概率与数学期望的计算，是理科第一道解答题，除了参考答案以外，学生还用到了以下方法.

法3：第二问利用分类讨论：

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

②不理解求和符号的意义，如：

③计算步骤过于简陋，影响得分.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

②第二问用分类讨论方法时，漏掉某些情况；

③题意理解不清楚，错当为独立重复试验的二项分布处理.

3.教学建议

对文科学生要强化计算能力，提高计算水平；细化大题书写过程的规范性，详略得当以增强得分点.对理科学生要加强基本概念教学，即基本事件、互斥事件、独立事件、独立重复试验等的教学，注重分类讨论思想方法的培养，做到不重、不漏.

4.试题评价

文科第17题难度不大、考点单一，主要考查学生的运算能力.理科第17题难度较小，主要考查学生利用组合数求解古典概型、计算分布列和数学期望的能力.

三、有关三角问题的解答情况分析

1.正确解法

文、理科三角函数解答题是一道姊妹题，除参考答案外，文科学生用到了以下解法.

法1：直接化简求值.

法2：在第二问中，直接通过图像的变换画出平移、伸缩前后的图像来求值域.

法3：在第二问中，利用求导或其他方法先求出单调区间，再求解值域.

理科三角函数解答题，除了参考答案以外，学生主要用到了以下解法.

法1：利用配凑二倍角公式来化简.

法2：利用积化和差公式来化简.

法3：先求函数在整个定义域上的单调区间，再与所需区间取交集.

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

①根本就不会化简；

⑤简单地代入区间端点值来求值域.

3.教学建议

加强文、理科学生的基本功训练，主要体现在基本公式、基本计算上，重视通性、通法的培养，提高学生严密的数学思维能力，规范学生的数学学习习惯和书写习惯.

4.试题评价

此题涵盖了三角函数化简、图像及性质，其中化简变形具体涉及了诱导公式、降幂公式、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质等，还涉及了三角函数的值域、单调性及图像的变换，全面考查了三角函数的基本知识和基本技能，难度适中.

四、有关函数与导数问题的解答情况分析

1.正确解法

文科函数与导数解答题，学生出现的有别于参考答案的解法如下所示.

由f′（x）=3ax2+2x，得

由g（x）

令g′（x）>0，得x∈（-4，-1）∪（0，+∞）.

则g（x）在（-4，-1）和（0，+∞）上单调递增，在（-∞，-4）和（-1，0）上单调递减.

理科函数与导数解答题除参考答案外，学生还出现了以下解法.

法1：分离参数法.

当x∈［3，+∞）时，g′（x）<0，则g（x）在［3，+∞）上单调递减，则

法2：构造函数法（数形结合）.

（1）令h（x）=-3x2+（6-a）x+a，则h（x）≤0∀x∈［3，+∞）恒成立.

（2）令h（x）=-3x2+（6-a）x+a，则h（x）≤0∀x∈［3，+∞）恒成立.

（3）-3x2+（6-a）x+a≤0，则-3x2+6x≤a（x-1）∀x∈［3，+∞）恒成立.

令h（x）=-3x2+6x，记A（1，0）、B（3，-9），由图可知a≥ kAB，则a≥

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

①不会求导（或算错），包括对简单多项式求导和两个函数的乘积求导；

②不清楚极值点与导数为0的关系；

③错用单调性运算性质求单调区间，如：因为ex>0且单调递增，所以g（x）的单调性与f（x）的单调性相同，所以只需求f（x）的单调区间；

④不会解高次不等式.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

①第一问中，除法求导法则运用错误多，不少学生在运算中将符号弄错；

②第二问中，求一个新函数的最值时步骤严重缺失，如未求导、不判断单调性，直接写出最值；

③第二问中，分离参数时不等号方向弄错；

④构造函数法（数形结合）的第一种解法中，漏掉第二种情况，或第一种情况条件不全.

3.教学建议

加强对函数与导数章节中各个公式的理解记忆，回归教材、落实基础；加强第一步求导的重要性意识的树立，提高运算能力，重视通性、通法的培养；加强数形结合、分类讨论、问题转化等重要数学思想与方法的渗透教学；重视本章节知识网络体系的构建.

4.试题评价

本题考查用导数解决函数问题的基本方法与基本技能，知识点覆盖全面，涵盖求导、极值、切线方程、单调区间等基本问题，还有恒成立问题.此题入口很宽、深入较易、方法常规，注重通性、通法，也有一定的区分度，需要考生们仔细审题、严谨分析、仔细计算.文科解答题涉及了高次不等式的求解，运算难度提高，区分度好.

五、有关立体几何问题的解答情况分析

1.正确解法

对于空间立体几何解答题，文科学生除了参考答案以外，还用到了以下几种思路.

又a2+b2=36，则b=3或即BC=3或

法2：作DH⊥AB于H点，设DH=x，则EF=2x，AB=

SBCDF=S△ABC-S△ADF

理科学生除了参考答案以外，还用到了以下思路.

法2：以D点为坐标原点，DE、DC所在直线为x、y轴，建立空间直角坐标系.

法3：利用三垂线定理找到二面角.

由VP-ACD=VC-PAD，得点C到平面PAD的距离

（2）过A作AO⊥CD于点O，过O作OM⊥PD于点M，连接AM.

法4：利用面积射影定理求二面角的余弦值.

过A作AO⊥CD于点O，易证AO⊥面PCD，则△POD为△PAD在面PCD上的射影，经计算

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

①在第一问的证明过程中，证明条件不完整，主要是由面面垂直推导线面垂直时出现问题；

②在第一问的证明过程中，跳跃太大，直接由面面垂直就得到线线垂直了；

④在第二问中，算出两个值，但是由图观察BC

⑤在第二问中，以EC、EP、EF为坐标轴建立错误的空间直角坐标系；

⑥运算错误，有的直接计算体积，也有的将所求四棱锥切割成两个三棱锥（以△DCF、△BCF为底面）或者一个三棱锥、一个四棱锥（以△DEF、四边形BCEF为底面）.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

①计算错误，一是计算AC的长度出错，从而A点的坐标出错，进而平面PCD的法向量算错，二是D点坐标算错，导致平面PAD的法向量算错；

②在第一小问中，证明时逻辑不清，对定理使用条件不清：一是误证D→E与平面PCD的法向量垂直（本该证平行），二是在证明DE⊥DC与DE⊥PC两垂直关系时逻辑不清，三是利用面PCD⊥面CDE去证DE⊥面PCD时，对定理使用条件不清不楚；

③对利用法向量计算二面角时，到底算的是二面角还是其补角含糊不清.

3.教学建议

立体几何教学要重视“双基”教学，加强运算能力的培养，强化训练学生对立体几何中线线、线面、面面平行与垂直证明的逻辑推理能力，及相关性质与判定定理条件的使用与记忆能力；重视对传统几何方法的教学，以增强学生的空间想象力、逻辑推理能力；加强对向量法建系的坐标轴与顶点的选择性训练，切实训练学生规范作答的习惯.

4.试题评价

文科试题以三棱锥为模型，考查了学生线面垂直判定定理和面面垂直性质定理的运用，注重考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，第二小问中既考查了学生“分割”、计算等能力，又体现了方程思想与立体几何的完美结合，题面较新颖，又有很好的区分度，是一道不可多得的好题.理科试题主要考查了线面垂直的证明及二面角的计算，这也是历年考试的热点，体现了优化思维、简化运算的思想，考查了学生的推理能力与计算能力，体现了立体几何的基本思想.作为第三道解答题，难度适中，得分率高.

六、有关解析几何问题的解答情况分析

1.正确解法

文、理科解析几何解答题是一道姊妹题，除参考答案外，文科学生主要有以下几种思路.

法1：第一问利用定义求出a，再利用勾股定理或焦点三角形面积公式算出c，进而求得椭圆方程.

法2：设|PF1|=m，|PQ|=λm，则|F1Q|2=（λ2+1）m2⇒|F1Q|=

法3：设|PF2|=m，|F2Q|=n，则|PF1|=2a-m，|F1Q|=2a-n.

由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，得m2-2am+2b2=0⇒m=a±

理科试题除了参考答案以外，学生还用到了以下解法.

法1：设|PF1|=r，则|PF2|=2a-r，|QF2|=|PF1|-|PF2|=2r-2a.

法2：以F2为极点，射线F2x为极轴，建立极坐标系，设∠PF2x=θ，则则|PQ|=

由|PQ|=|PF1|，得2（1-esinθ）=1-e2cos2θ.

由|PF1|+|PF2|=2a，得e（sinθ+cosθ）=1，则1-esinθ= ecosθ.

则2ecosθ=1-e2cos2θ，则则esinθ=1-则

法3：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由第二定义得|PF1|=a+ ex1，|PF2|=a-ex1.

由PF1⊥PF2，得x21+y21=c2，则y21=c2-x21.把直线PQ的方程代入椭圆标准方程并化简，得［b2（x1-c）2+

则|PQ|=2a-e（x1+x2）

由y21=c2-x21，得

2.典型错误

在解答过程中，文科学生出现的典型错误有以下几种.

①第一问利用勾股定理时算错；

②常量a、c的意义混淆；

③设直线PQ的方程时利用第一问错误的c值；

④联立椭圆和直线PQ的方程消元，利用韦达定理算弦长，无法完成计算.

理科学生出现的典型错误有以下几种.

①求椭圆方程时，将b、c算反；

②在第一问中，没有想到用椭圆的定义求a；

③在第二问中，用设点或设直线的方式解题，导致运算量巨大，无法完成计算.

3.教学建议

对本题教学中要注重“双基”，突出基本概念的理解和应用；注重解析几何中平面几何知识的应用；加强数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想与方法的运用，同时注重运算能力的培养.

4.试题评价

本题是文科最后的压轴题，重点考查了椭圆的定义，利用定义求椭圆方程，利用定义将几何条件代数化，建立方程，再利用方程与函数思想求出值域.此题立意好、思路新颖，对学生的思维能力、运算能力、综合能力要求都极高，是一道非常出色的题，有相当高的区分度，是选拔优秀人才的好题.本题作为理科倒数第二题，考查学生在解析几何中运用平面几何知识解决问题的能力，难度适中，切入点巧妙，将椭圆的定义与平面的勾股定理有机结合在一起，考查了学生数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想，回避了解析几何中“硬算”的特点，考查了学生灵活应变的能力，有较大的区分度.

总之，从以上分析来看，对于立体几何与解析几何试题，学生解法思路多，但发生的错误也多，说明学生易入手，得高分难，想得到做不到，突出的问题是基础知识不扎实，基本技能不过硬.从全卷学生的答题情况来看，通篇表现出学生“根基”不牢，一看就会，一做就错，成为常态.但凡平时学习认真、基础扎实的学生，这次数学考试都能获得高分.这些都说明我们平时的教学要注重挖掘教材，强化基础知识和基本问题的教学，反映回到基本素材和原始状态的教学是多么重要啊！今年重庆高考文、理科数学试题，完全符合今年重庆市考试说明与要求，且难度适中，知识点覆盖全面，适合全体高三学生，个别试题新颖，整体层次感强，全卷有较好的区分度，是一套全面检测和选拔人才的好试卷.

1.张晓斌.立足重庆摇促进课改——2014年高考数学重庆卷试题特点述评［J］.中学数学（上），2014（9）.

2.张晓斌.回到基本素材和原始状态的教学才是好的教学——“数学归纳法（第一课时）”教学点评［J］.中国数学教育（高中版），2015（4）.