核心概念教学要循序渐进和浓墨重彩*——谈“函数的单调性”的难点突破及概念辨析

☉安徽省亳州市第一中学 史 嘉

核心概念教学要循序渐进和浓墨重彩*
——谈“函数的单调性”的难点突破及概念辨析

☉安徽省亳州市第一中学 史 嘉

一、引言

数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素.“如果不先教明概念，便是教得不好的.”（夸美纽斯语）因此，核心概念教学要循序渐进和浓墨重彩.循序渐进，即考虑数学的整体性和思维的系统性，教学设计注重“低起点、高立意”，讲清概念从哪里来、能做什么和到哪里去；浓墨重彩，即课堂教学能突出重点，突破难点，在核心内容上“不惜时、不惜力”，从正反面剖析，多角度深入理解，认清概念的内涵和外延.

2014年12月，笔者参加了第七届全国高中青年数学教师优秀课评比活动.教授课题是“函数的单调性”（共指定八个课题，此是第一个），属于概念课、性质课，也是经典课题.文件附说明：“函数的单调性是最重要的函数性质，在解决实际问题中有着重要作用.要引导学生借助具体函数，经历从图像直观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻画的过程.要注意思考如何采取有效措施突破自变量在区间［a，b］上的“任意”取值这一难点.”

二、浓墨重彩奠思维

函数是中学数学的核心概念，而函数的单调性是高中学习函数概念后研究的第一个、也是最重要最基本的性质.函数的单调性及后面的对称性（奇偶性）、周期性，以及高等数学中的有界性和凹凸性，在学习活动的本质上是相同的，都是用抽象的代数式去刻画函数图像的某种几何特征；学习过程也是相似的，都是让学生经历这种探寻抽象的代数式的过程.这个过程历经从直观到抽象、从有限到无限、从直觉到严谨，每一步都是一个很大的思维跨度，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，他们的逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强，代数推理论证能力也比较薄弱，这些都很容易产生思维障碍.因此，函数单调性概念生成的过程正是积累数学活动经验、形成数学思维方式的过程，为后继研究各种具体函数及性质，包括学习导函数的内容奠定了理性思维基础，具有积极的迁移和促进作用.所以，这个过程必须浓墨重彩，让学生亲力亲为.

三、循序渐进破难点

中学数学对函数单调性的认识是“螺旋式上升”的：图像直观（直观化定义）→文字描述（描述性定义）→符号表达（形式化定义）→精确刻画（导函数定义）.本节课处在最关键环节，其难点是如何突破用静态的数学符号（不等式）刻画动态的函数变化趋势，其中“任意”一词是最大难点.以增函数为例，我们思考以下几个问题：

（1）为什么要学习函数单调性的形式定义？（回答学习的必要性）

（2）为什么非要从左向右看，从右向左行不行？（遵照x轴正方向）

（3）怎样用数学符号描述自变量x逐渐增大？（抽象出x1

（4）能否检验几个具体数值判断函数单调递增？（几何画板验证）

（5）如何做到取遍无穷多个自变量x的值？（逼出任意性）

（6）是不是所有的x都要取出来？（强调区间性）

（7）取遍所有的x就能保证函数单调递增吗？（比较f（x）的大小，传递性）

（8）怎么用数学符号描述因变量y随x的增大而增大？（当x1

围绕上述问题，我们采取递进式“问题串”的形式组织学习材料，分散难点，并寻找已有认知经验，使得函数单调性的形式化定义水到渠成.

下面把这节课的核心环节简述如下.

通过观察一次、二次和反比例函数，明确单调性的相关概念（学习单1的内容），学生心中难免会产生疑问：初中已经学习了函数的单调性，而且利用几何直观很容易判断.为什么高中还要学习函数的单调性（代数证明）呢？为此，我们创设了如下认知冲突情境，让学生意识到学习形式化定义的必要性，在“愤悱”状态下自然开始探索.

学习单2：设置问题，形成冲突.

问题2：（1）图1是函数y=f（x）的图像，它在定义域R上是递增的吗？（先展示该问题，之后推出函数f（x）的解析式为（fx）=0.001x+1）

图1

设计说明：函数图像虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性.以此得出“函数图像不可靠，解析式也不明朗”，为形式化定义的出场“造势”.

学习单3：引导探索，生成新知.

问题3：（1）如何理解“y随着x的增大而增大”，怎样用数学符号表示函数图像的“上升”特征？

以二次函数f（x）=x2在区间［0，+∞）上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（共15对数据）.

设计说明：引导学生借助具体函数，经历从图像直观到定性刻画，再到严格的数学符号刻画的过程.此问题即为从定性描述到定量刻画所搭建的桥梁，充分发挥信息技术，先借助图形、动画和表格等直观感受“y随着x的增大而增大”，引导学生思考“x增大”怎么用符号表示，对应的“y随着增大”又该如何表示？概括出符号表示：若有x1

（2）已知a

拖动“点M”改变函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增等.

设计说明：此问题是符号化后设法把“任意”一词从学生的潜意识中“逼”出来的开始，要先让学生充分讨论交流，师生对话步步深入，然后借助几何画板动态说明验证两个定点并不能确定函数的单调性.

（3）已知a

拖动“点M”，观察函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像变化.

设计说明：有了第（2）问作基础，学生很容易判定三个点也不能保证函数在区间［a，b］上递增.取很多点行不行，取无数个点行不行呢？再次让学生展开讨论交流.

（4）已知a

设计说明：学生讨论期间，教师要下去巡查，了解学生的观点，先请持赞同观点的学生说明理由，再请持反对意见的学生画图反驳.有意引发争论，强化过程性理解，以此突破难点.然后追问：无数个x还不能保证函数递增，那该怎么办？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？”紧接着师生一起回顾子集的概念，（PPT展示教材上子集定义）回顾对“任意一个”进行操作，突破“无限”的数学方法，再次让学生体验借助代数符号（字母表示数的任意性），用“任意”刻画“无限”的数学思想，感受数学的强大力量和无限魅力.

由学生归纳并完善增函数的形式化定义后，很快类比出减函数的定义，然后紧跟下面一组判断题：

你认为下列说法是否正确，请说明理由.

①设函数y=f（x）的定义域为［a，+∞），若对任意x>a，都有f（x）>f（a），则y=f（x）在区间［a，+∞）上递增；

②设函数y=f（x）的定义域为R，若对任意x1，x2∈（a，+∞），且x1>x2，都有f（x1）>f（x2），则y=f（x）是递增的；

④设函数y=f（x）的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0，则y=f（x）是递减的.

设计说明：通过辨析正、反例帮助学生对概念再次进行深入思考，逐步形成对概念本质正确、全面而深刻的理解，这是对概念的及时巩固，也是丰富其内涵和外延，更是培养学生批判性思维和严谨性思维的绝好机会.总之，要体现并强调“回到定义”思考问题的重要性.

四、求同存异待商榷

在备课时，笔者对比研读了六套教材，发现各版本有关函数单调性概念的表述略有差异，归类罗列如下，供读者朋友思考.

以增函数为例，六套教材的定义句式基本相同：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，区间I⊆D.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1

（1）（人教A版和B版）就说函数f（x）在区间I上是增函数.如果函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫y=f（x）的单调区间.

（2）（苏教版和上教版）就说y=f（x）在区间I上是单调增函数，I为y=f（x）的单调增区间.

（3）（湘教版）就说f（x）是区间I上的递增函数.如果函数y=f（x）是区间I上的递增函数或递减函数，就说f（x）在区间I上严格单调，区间I叫做f（x）的严格单调区间.

（4）（北师大版）就称函数y=f（x）在区间I上是增加的，有时也称函数y=f（x）在区间I上是递增的.

一般地，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集I，如果对于任意两数x1，x2∈I，当x1

对比定义发现有两大差异：

第一，增函数名称的差异.

人教A版和B版称为增函数，苏教版和上教版称为单调增函数，湘教版称为递增函数，即这五个版本都直接称函数y=f（x）是区间I上的（单调或递）增函数.只有北师大版称函数y=f（x）在区间I上是增加的，并且明确指出，当函数y=f（x）在整个定义域内是增加的，才称这个函数为增函数.

定义域是函数的生命之域，函数的一切性质都是依存在定义域上的.而函数的单调性对区间具有更加直接的依存性，没有区间就谈不上单调性.函数在区间I上具有“任意两数x1，x2∈I，当x1

第二，区间和数集的差异.

六个版本定义时都指出了I是定义域D的子区间，但只有北师大版又另外指出了函数在数集I上具有单调性.我们知道，区间一定是数集，但数集不一定是区间.看来前五个版本教材只是定义在区间上的单调性，并没有拓展到一般的数集上.事实上，单调性并非只有在区间上才能研究，在一般的数集上也是可以研究的，比如数列.

高等数学中函数单调性概念是怎么定义的呢，我们看看颇具影响力的华东师大版《数学分析》中的定义：设f为定义在数集D上的函数，若对任何x1，x2∈D，当x1

初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展.相同的概念，比如函数的单调性，还是尽可能统一的好.

五、结束语

李邦河院士曾告诫我们“数学根本上是玩概念的”.那么，如何在教学实践中“玩概念（尤其是核心概念）”？可谓见仁见智.章建跃先生认为，数学中“玩概念”包含两个方面：一是定义概念，二是利用概念研究数学规律.

因此，对于数学核心概念教学，我们要继承我国“双基”教学的传统，挖掘其内涵和外延，即重视基础知识、基本技能训练和能力的培养；更要践行新课程理念，引导学生通过自主探究建构数学概念、性质等的雏形，即注重基本数学活动经验、基本数学思想方法的体验和提炼.在“玩”的过程中，归纳、抽象出变化中的不变性、规律性和特殊性等基本内容.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.张婕.新课程理念下的数学概念教学实施与思考［J］.中学数学（上），2015（5）.

3.刘宗博，罗新兵.用活教材，让学生经历概念的形成过程［J］.中学数学教学参考（上），2014（11）.

4.刘绍学.数学（A版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

5.高存明.数学（B版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.严士健，王尚志.数学（必修1）［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

7.单墫.数学（必修1）［M］.南京：江苏教育出版社，2012.

8.张景中，黄楚芳.数学（必修1）［M］.长沙：湖南教育出版社，2013.

9.袁震东.数学（高一年级第一学期）［M］.上海：上海教育出版社，2009.

10.华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2010.

*本文系安徽省教育规划课题《“文化数学”理念下高中数学学习单的实践研究》（项目编号：JG13105）和《基于基本活动经验的高中数学教学实践研究》（项目编号：JG14071）的部分研究成果.