重视“勾形”图像特征启发函数解题思维

☉上海市浦江高级中学 陆丽娜

重视“勾形”图像特征启发函数解题思维

☉上海市浦江高级中学 陆丽娜

本文所说的“勾形”是指呈勾状的曲线形状，是对一类函数图像的通俗称谓，旨在描述函数图像类似于“勾形”时呈现的单调性、极值点、端点等.函数是高中数学中非常重要又极其抽象的概念，函数性质的应用涵盖整个高中数学学习过程，更是高考的重点考查内容，特别是函数在区间内呈现多种局部单调性的相关问题，常常作为数学高考的压轴题.若学生对函数性质的相互联系掌握不到位，习得的知识呈碎片型，则往往不能针对性地对知识进行综合应用，解题无从下手，存在较大困难.之所以把本文提及的函数图像比拟成“勾形”，源于它是学生学习、生活中最常见、乐见的形状符号，且能直观呈现函数图像的类似特征.把抽象的函数知识与具体的生活图形进行结合，能获得学生心理上的认同，在此基础上逐步加深对性质的理解，对特征的把握，增强学生对问题的辨识能力和分析能力，并通过这个过程逐步发展对方法的概括能力，提高其思维的活跃性及综合应用水平.笔者对近几年高考试题进行梳理分析，愈加感受到这类函数图像的重要性，本文以2015年数学高考真题为例，介绍此类出现频率极高的图像呈“勾形”的函数问题理解的切入点及解题常用的方法技巧.

一、勾底两头出最值

求函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，x∈［a，b］的最值是历年高考的热点，当区间长度|b-a|≥T时，函数的最大值、最小值分别为|A|+B，-|A|+B.当|b-a|＜T，则应充分考虑图像的单调性.

例1摇（2015年北京卷理科第15题）已知函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（ⅠⅠ）求f（x）在区间［-π，0］上的最小值.

例2摇（2015年天津卷理科第15题）已知函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

在历年考试中，此类三角函数问题考查的图像多具有“勾形”特征，探究是否存在“勾底”（说明：正勾时，勾底为函数的极小值；倒勾时，“勾底”为函数的极大值），即能否成立，即可判断函数在非端点处是否取得一个最值；比较“勾形”两个端点的高低，便能轻松求得函数的另一个最值.学生在解题中用非单调的“勾形”去辨析函数图像，不仅可以准确把握图像特征，还可以避免两类常见错误：（1）把函数在某个区间的最值问题当成在R上的最值问题求解；（2）把非单调函数的最值问题当成单调函数直接代入两个端点求解.

除了以上类型的函数外，凡是图像具有“勾形”特征的函数都可以用此方法求解，很常见的如二次函数y= ax2+bx+c（a≠0），V型函数y=a|x+b|（a≠0），对勾函数y=等.

二、趋势最值定大小

含参不等式的恒成立问题能把函数、不等式、三角等知识有机地结合起来，覆盖知识面广，解题方法灵活，涵盖高中数学几种重要的思想方法：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，对学生思维能力有很大挑战，因此，备受命题者的青睐.合理转化成函数，通过函数的最值或图像的变换趋势及位置关系进行求解是解决此类问题的主要方法.恒成立问题从数看，是值的大小关系；从形看，是图的上下关系.观察“勾形”特征，找定点、看趋势、求最值、比大小，必要时进行分类辨析.

例4（2015年全国卷新课标ⅠⅠ理科第21题）设函数f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（ⅠⅠ）若对于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围.

解析：（Ⅰ）f′（x）=memx+2x-m，f′′（x）=m2emx+2＞0恒成立，所以f′（x）在R上单调递增.

又因为f′（0）=0，所以x∈（-∞，0），f′（x）＜0；x∈（0，+∞），f′（x）＞0.所以x∈（-∞，0）时，f（x）是减函数；x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数.

（ⅠⅠ）x∈［-1，1］，f（x）在［-1，0］上递减，在［0，1］上递增.故要使条件成立，只需f（x）max-f（x）min≤e-1即可.

考虑函数y=ex-x，可知其在（-∞，0）上递减，在（0， +∞）上递增.

当x=1时，y=e-1；x=-1时，y=e-1+1，并且e-1+1＜e-1，如图2所示.故存在x0＜-1，使得x=x0时，y=e-1.

此题涉及的两个函数都具有“勾形”特征，且在勾底有最小值，在端点有最大值.y=ex-x的最大值能直接通过比较数值得出.f（x）=emx+x2-mx的最大值需要分类讨论，令端点两个值都能使不等式成立是避免讨论的常用方法.抓住“勾形”的特征，能轻松辨析得出令y=ex-x=e-1的另一个实数x0＜-1.因此，“勾形”不仅方便学生认识区间内已有的图像特点，也更容易理解并表示区间外图像上点的变化趋势.

例5（2015年山东卷理科第21题）设函数f（x）= ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅰ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

解析：（Ⅰ）略.

因为f（0）=0，可知函数过定点（0，0）.

设y=2ax2+ax-a+1，其对称轴图像过定点

图3

图4

图5

如图3，a<0，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）上递减，所以舍去.

如图4函数f（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，所以舍去.

即当x0≤0时，满足题设条件.

综上可知，a∈［0，1］.

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

解析：（Ⅰ）略.

当x∈（0，1），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增.

因为g（0）=0，所以x∈（0，1），g（x）＞0恒成立，即f（x）＞

求k的最大值，只需考虑k＞2的情况.

所以k的最大值是2.

抓住“勾形”的特征可以加强对函数图像的辨析能力.例5中，由f′（x）可知，函数f（x）在（0，+∞）上可能单调递增，可能先减后增呈现“正勾”或先增后减呈现“倒勾”上递增.特征，因为函数经过原点，所以在（0，+∞）上呈现“勾形”的变化趋势不能使f（x）≥0恒成立，例6中函数h（x）也是同样.可见，对图像有具体的感知，解题便能找到切入点，分类讨论就能有路可循，条理清晰，得出结论也是轻而易举.

不等式在区间D上恒成立问题是不等式有解问题的一种特殊情况，即不等式的解集为D.观察函数的最值和图像的变换趋势，也能如法炮制求解不等式有解、不等式恒不成立等问题.

三、对称图形剪一半

函数中的对称主要有两类：一是函数图像自身具有对称性，如图像是一个关于直线x=a对称的“勾形”或图像呈现两个对称“勾形”样式的函数，在高考数学中很常见，前者如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），V型函数y= a|x+b|（a≠0），后者如y=ax3+bx+c（ab＜ 0），y=ax2+b|x|+c（ab＜0）；二是两个函数图像有轴对称或中心对称的关系.抓住对称性对“勾形”图像进行分析，剪半考虑，化繁为简，可作为理解函数性质的一个切入点，继而合理转化，准确高效解题.

例7（2015年天津卷理科第7题）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m是实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b= f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析：y轴为其对称轴，所以m=0，［0，+∞）是递增区间，因此可令a=f（-log23）=f（log23），求得选项为C.

解析：y=g（x）是由y=f（x）的图像作关于（1，0）的中心对称后，再上（下）平移|b|个单位得到，如图6所示.由图像的对称性可知，在左右相切与中间段重合之间，y=f（x）与y=g（x）有四个交点，即y=f（x）-g（x）有四个零点.

图6

四、零点个数看相交

函数零点反映了函数与x轴的相交情况，是函数的一个重要特性.根据“勾形”的端点和勾底，可以轻松判断出此类连续函数零点的个数；当正面分析函数性质、直接刻画函数图像存在困难时，可把零点个数化归成两个相对简单辅助函数的交点个数并通过数形结合的方法求解.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ⅠⅠ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）= min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）的零点的个数.

解析：（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，令f′（x）=0，可知a＜0，得x=

（ⅠⅠ）从函数图像可知，当a≥0时，y=f（x）在（0，+∞）上递增，h（x）的零点个数是一个；

图7

图8

图9

图10

图11

分类讨论是解决问题的一种逻辑思维，也是高中数学的重要思想方法，涉及的数学问题在高考中占有一席之地，常常是学生的失分点.因此，学生要有直观的感知，才能在分类解析中保持清醒的头脑，做到不重不漏.“勾形”中的关键点是分类的依据，因此，学生在对不同情况的“勾形”有具体的深刻的印象的基础上才能辨识出区分不同“勾形”的关键点并展开讨论.

在立足以上四个方法对函数图像及性质进行全面把握和综合应用的同时，对带参函数图像上特殊定点的探究非常重要.如例4中导函数f′（x）经过定点（0，0）是证明单调区间的直接有效条件；例5中函数图像经过定点（0，0）是直观判定“勾形”图像能否满足条件的重要前提；函数y=2ax2+ax-a+1过定点（-1，1）是准确直接刻画抛物线的捷径；例9中函数f（x）的图像以定点为对称中心是判断切点和分类解析“勾形”的关键.带参函数的主要特征是变，难点也是变，因此在变化中寻求不变是解决问题的切入点.函数图像经过的定点是其“不变”的性质之一，“勾形”的图像特征也是诸多非单调函数的共同属性.

高考不仅考查学生的学科知识和基本技能，而且对知识内在联系的掌握，基本规律及方法的理解和应用提出更高的要求.高中数学学习中我们能深刻体会到单调函数的基础性、普遍性和重要性，而高考涉及的函数往往呈现局部单调性的特点，多为定义域内的非单调函数，给学生的理解增加难度.《普通高中数学课程标准》说要把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.因此，从生活符号中寻找共性，善于把握图像特征，从数学角度加以描述，用数学符号进行表示，让学生最终达到基础知识的夯实，理解能力的提高，应用技能的增强和思维方式的优化.