力求创新，稳中有变——2015年高考数学广东卷评析

☉广东省东莞市第一中学 孟胜奇

力求创新，稳中有变
——2015年高考数学广东卷评析

☉广东省东莞市第一中学 孟胜奇

2015年高考数学广东卷文、理科试题，背景熟悉、题型常规，基础题明显增多；考查内容与要求紧扣课标和考纲，表述简练、语言明了；解析几何、统计概率试题来自于教材，反映出命题者回归教材、重视基础的意图；文、理两套试题在考基础、考常规方法的同时，又透着灵活与新意，一些问题的解决需要扎实的基础、较强的问题解决能力和运算能力，难易适当，既有利于高等学校选拔人才，也有利于中学教学，具有很好的导向功能，是两套难得的好试卷.

一、试题分析

1.试题平实，难度稳中有降

与近几年广东卷试题相比，今年试题在题型、题量、考查知识面等方面保持相对稳定，与2014年试题比起来，难度有所降低，以考查基础知识为主线，没有晦涩难懂、超越考纲的偏、怪试题，温和朴实.如两套试卷中立体几何解答题取材熟悉、构图简洁，设问抓住了主要知识点，能够很好地区分不同层次的学生.近年来广东高考数学试题，难度波动较大.如2009年理科数学试题、2011年和2014年的文、理科数学试题难度较大，表现在数学思维量大，运算量也大，既不能有效评估学生的数学水平，也给学生的数学学习和中学数学教学带来一定的困扰.

理科卷第17题，是一道概率统计题，考查学生的数据处理能力，涉及抽样、对样本数据进行统计处理，源于现行高中数学教材，常考常新，重在理解，基础又灵动，属于简单题.

题目中已对36名工人进行了编号，给出样本容量为9，因而确定组距为4，故而容易列出样本的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.进而可顺利完成第（2）问中“计算（1）中样本的平均值x和方差s2”和第（3）问“36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？”

文科卷第17题要求根据某城市100户居民的月平均用电量的频率分布直方图计算缺失的纵坐标，以及样本的众数、中位数等数据，试题表述中规中矩，设问常考常新，创意足，重在理解，基础又灵活.

2.全面考查，突出主干内容

命题者并没有刻意追求对高中数学知识的全面考查，而是立足于主干内容，突出对重点知识、思想方法的考查，如函数与导数、三角、数列、立体几何、解析几何、不等式、概率统计等板块着力考查（见下表）.

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3.重视基础，力求创新

今年一改往年三类题型都有压轴题、难度偏大的现象，以基础考点为主，考查学生的基本数学能力.如理科的1～18题、文科1～9题和11～18题都属于基础问题，文、理科数学从第19题到第21题依次呈现出中高档难度，每题设置3问，第1问都为基础问题，入手容易，第2、3问难度依次增加，能够有效区分不同水平的学生.

在考查基础知识时，注重对数学概念和法则的理解、定理和公式灵活运用能力的考查，而不是机械记忆或者表面了解.选择题、填空题基础而灵活，知识点相对单一、运算量小，为解答中高档题目留下相对充裕的时间；前两个解答题，灵动又有新意，在吃透题意的基础上，考生能够较快完成求解.

如理8题：若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值为（）.

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

以往，该位置题目，往往背景新颖、思维量大，多是新定义类的创新题型，解答时，需要有较强的阅读理解与领悟能力；而对于该题，学生从熟悉的空间四面体入手，容易排除C、D，选择B；这道题反而没有文科选择题10的难度大.

再如文10题：若集合E={（p，q，r，s）|0≤p

A.200B.150C.100D.50

该题涉及的变元很多，分析变元的关系，抓住主要矛盾，才能找到破解的节点.集合E中三组不等式都与s有关，故以s的取值为题眼进行分解剖析，不难解之.当s取4时，p，q，r从0、1、2、3中任取一个，有4×4×4=64（种）；当s取3时，p，q，r从0、1、2中任取一个，有3×3×3=27（种）；当s取2时，p，q，r从0、1中任取一个，有2×2×2=8（种）；当s取1时，p，q，r都取0，只有1种.所以card（E）=64+27+8+1= 100（种）.当t取0时，u取1、2、3、4中的一个，有4种；当t取1时，u取2、3、4中的一个，有3种；当t取2时，u取3、4中的一个，有2种；当t取3时，u取4，有1种，所以t，u的取值有1+2+ 3+4=10（种）；同理，v，w的取值也有10（种），所以，card（F）=10×10=100种.综上，card（E）+card（F）=200（种）.

4.取舍得当，考点切入视角新

文理两套试卷，不刻意追求考查的全面性，在考点的选择上，与往年相比，显得灵活有新意.如一改连续四年的三角函数图像与求值问题为三角化简求值，解析几何大题改为考查直线与圆的位置关系、轨迹等问题，再如统计试题设问的着力点也发生了变化；另外，最后三道压轴题的顺序也作了调整，文科改为数列、解析几何、函数与导数，理科改为函数与导数、解析几何、数列.

整份试卷基础性强、灵活、新意足.

5.重视思维，突出能力考查

试题将对灵活运用数学知识与方法探索、分析、解决问题的思维能力的考查，重点放在最后几道解答题中，着力于对抽象概括能力、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，以及应用与创新意识的考查.

如理（文）17题考查学生的数据处理能力，理（文）18题考查空间想象能力和推理论证能力，理19题、文19题考查灵活分析问题及推理论证能力，理（文）20题考查数形结合思想，理（文）21题考查分类讨论思想、转化与化归思想与运算求解能力，文10题、理8题考查创新意识等.

此题以数列{an}的前n项和Sn为基础，构造了新的数列{Sn}的递推关系4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1，情境熟悉，又具一定的灵活性.广东历年试卷中，将数列作为重要知识点放在压轴位置进行考查，并融入递推公式变形技术，有时还与不等式等知识结合、与课标及考纲要求不甚相符，一直受人诟病，但依然坚持.

在这一大背景下，学生基本掌握这类问题的解决方法，将其转化为4（Sn+2-Sn+1）=4（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1），即4an+2= 4an+1-an，所以由此得出是首项为1，公比为的等比数列.第（3）问随之而解.

再如理19题：设a>1，函数f（x）=（1+x2）ex-a.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若函数y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：

第（1）问简单，函数在R上单调递增.

第（2）问需要选择一个区间，便于判断函数在这个区间上存在零点，区间左端点选为0，右端点选为lna，这样f（0）=1-a，f（lna）=（1+ln2a）elna-a=aln2a>0，故f（lna）f（0）< 0，从而在（0，lna）上有零点，也就在R上有零点.这里，区间端点的选取很有艺术，关键在于方便计算判断.

第（3）问主要难点在于论证方向的探索与确定，事实上，易于求出P点坐标为故而f′（m）=（m+1）2em，从而得到

只需证（m+1）3只需证m+1≤em.

需要构造函数h（x）=ex-x-1（x∈R），利用导数证明h（x）=ex-x-1≥0，即可证明m+1≤em.

二、存在的问题

（1）试卷简单题偏多，中档题偏少，难以拉开中等水平与中下水平考生的分数差距；在考纲中，要求易、中、难题目的比例为4∶4∶2，但在现实中，这一要求经常被打破，往往中档题偏少.

（2）理科试题中，圆这一知识点分值达19分（第5小题和第20题），比重偏大，而圆锥曲线分值仅有5分（仅第7小题），比重偏轻；若能将圆的一部分考查用于对于圆锥曲线知识的考查，更为理想.

（3）算法、线性回归分析、独立性检验、理科的条件概率等知识没有考查到.

（4）答卷中反映出存在的主要问题有：审题不细致、概念不清、数学符号书写不规范，解答题的表述逻辑混乱，推理论证能力薄弱.这是一些老生常谈的问题，需要学生深度参与，才能有较好的解决.

三、教学建议

近年来，我们在学习国外先进教育思想、方法的同时，也对国内教育进行了反思，许多人认为我国基础教育扎实，尤其在一些国际测试（如PⅠSA）中取得优异成绩后，在过于乐观的情绪下，不愿正视和解决教育现实中存在的弊端.如中学生在学习时间上的高投入（每天高达12个学时）、只重视考试学科的教学与学习；甚至一些学校将数学课标中规定的每周4学时，而在具体操作中改为每周8学时，同时要求学生每天花在数学学习上的时间不能少于2小时；学期末尾为了应对统考，提前两到三周停止体育、艺术及信息技术课的教学与学习，专攻应试学科.这些极端行为不利于学生的身心健康成长，因而，我们不能在某些数据下盲目乐观，忽视亟待解决的问题，把极端行为视为正常，忽视其产生的危害.

中学数学教学要讲清数学问题的本质，重视渗透数学思想，注重培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；对推理论证问题，重在思路探索.我们始终提倡编选高三数学教学内容时，力求做到“少、精、活”，让学生参与到问题解决“节点”的破解中，使学生获得问题解决的直接经验与技能.

在解答规范表述上，要发挥教师、教材的示范作用.

四、给命题专家的建议

1.关于自主命题风格的延续

明年，由国家考试中心统一组织命题，一些人担心这一改变，会在内容侧重点上发生变化、试题难度有所增加，加重学生负担.事实上，自主命题省份经过多年摸索，初步形成了适合本省教育现实水平的命题机制、试卷结构与试题风格，并积累了一定的命题经验，具有一定的地域特色.建议对自主命题省份，做好充分调研，适当兼顾他们的风格与特色.

2.关于试题难度的把握

一份高考数学试题的命制，都由从事数学教育的专家命制完成，但被考查的对象，只有少数学生以后会从事与数学有关的职业，因而，命题专家要站在提升公民数学素养，以及有利于后续学习的视角，确定试题的形式、难度等，提高均分水平，不能将全部学生当做数学系学生来考，以免多数学生受到伤害.

3.要重视知识生成性试题的命制

高考试题具有很强的导向性，你考解题，我就教如何解题，这个选择很自然；课标强调要重视知识生成过程的教学，无疑是非常正确的，但多年来，高考试题中，关于知识生成过程、探究新知类试题非常稀缺，不利于课标理念的实施和学生发展；数学高考聚焦于应用数学基础知识解答数学问题，基本没有涉及知识的发生发展过程，这就导致教学中，教师总是压缩知识的生成过程，从而为解题教学及解题训练留下相对充裕的时间，以期在相关测试中能够取得好的成绩.

数学来自于实践，是人类思维的结晶，不像物理、化学等自然学科依赖于实验，因而，在高考中考查知识的生成过程成为可能，如在某一新概念（定义）下，探究这一概念相关的主要性质，产生的结论等.这对于教师对教育本真的追求，是大有裨益的.

我们要从人的教育这一高度审视学科教学，也要立足学科教学仰望教育总目标，使学科教学最大限度地发挥育人功能；同样，数学高考试题的命制，也应站在有利于学生发展这一高度审视，试题形式更为多样，考查内涵更为丰富，不要刻意刁难学生，避免出现偏题、怪题.