找次品的窍门

陶云娥

“找次品问题”是数学中的一个经典智力问题。这里探讨的是“有n个外表完全一样的物品，其中一个是次品，它比合格品重（或轻）一些，用一架标准天平，最少称几次就一定能找出次品”这种问题。找次品的窍门──最优策略主要基于两点：（1）把待测物品尽可能平均分成3份；（2）如果不能平均分，就要使多的一份与少的一份只相差1。

【例1】有12颗外形完全相同的珠子，其中11颗是珍珠，另一颗是假珠，假珠比珍珠重。用天平至少称几次能保证找到假珠？

【分析与解】可以这样操作：（1）把12颗珠子平均分成3份，即12（4，4，4），把2份放在天平两边称。如果平衡，假珠在剩下的一份中；如果不平衡，假珠在重的一边，如图1。

（2）把有假珠的4颗珠子分成3份，即4（1，1，2），把同样多的2份（1，1）放在天平两边称。如果不平衡，重的那颗是假珠，这样2次就找到了；如果平衡，假珠在剩下的2颗中，要继续找，所以2次不能保证找到假珠。

也可以把有假珠的4颗珠子平均分成2份，即4（2，2），放到天平两边，假珠在偏重的一边，如图2。

（3）把有假珠的2颗珠子放到天平两边，偏重的那颗就是假珠，如图3。

所以，用天平至少称3次能保证找到假珠。

【例2】有35个看上去一样的乒乓球，其中有一个质量较轻的是次品，用天平至少称几次能保证找到这个次品？

【分析与解】（1）35不是3的倍数，就把35个乒乓球分成多与少只相差1的3份，即35（12，12，11），把同样多的2份（12，12）放在天平两边。如果不平衡，次品在轻的一边，接着按例1的方法再操作3次（一共4次）就能保证找到次品；如果平衡，次品在剩下的一份（即11个）中。

（2）把有次品的11个乒乓球分成3份，即11（4，4，3），把同样多的2份（4，4）放在天平两边。如果不平衡，次品就在轻的一边的4个中，接着按例1中的第（2）、（3）步继续操作即可，所以至少称4次能保证找到次品；如果平衡，次品在剩下的3个中，再称一次就能找到，但这种情况并非一定。