带tt*-结构的Frobenius流形上两个平坦亚纯联络形式同构的存在性*

叶轩明, 林洁珠

(1. 中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275；2. 广州大学数学与信息科学学院//数学与交叉学科广东普通高校重点实验室，广东 广州510006)



带tt*-结构的Frobenius流形上两个平坦亚纯联络形式同构的存在性*

叶轩明1, 林洁珠2

(1. 中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275；2. 广州大学数学与信息科学学院//数学与交叉学科广东普通高校重点实验室，广东 广州510006)

Frobeniu流形；tt*-结构；CDV-结构；平坦亚纯联络；Poincare秩

我们将在本文中用另一种构造性方法给出任意半单的CDV-结构中这个形式同构的每一项展开的系数矩阵的表达式。

1 定义与结论

定义1[3-4]设M为m维复流形,M上的Frobenius流形结构是指这样多元组(M,g,∘,e,ε)，其中g是M上的度量(非退化、双线性和对称的(2,0)-张量)， ∘是全纯切丛TM上的交换结合乘法且光滑的依赖于底流形M。记▽为g的Levi-Civita联络，记ΘM为切丛TM局部自由OM-模层。所有这些元素需要满足下面条件：

(i)g的Levi-Civita联络▽是平坦的；

(ii)g(X∘Y,Z)=g(X,Y∘Z),∀X,Y,Z∈TM； (iii)ΘM的整体截面e是乘法∘的单位向量场，且e关于联络▽是平坦的；

(iv)令c(X,Y,Z):=g(X∘Y,Z)，则c对称3-张量，则我们要求它诱导的4-张量(▽zc)(U,V,W)关于四个向量场U,V,W,Z都是对称的；

(v)ΘM的整体截面ε满足以下条件：

▽(▽ε)=0;

∃d∈,ε(g)=(2-d).g

在上面的定义中令Φ(X)Y:=-X∘Y，则

(1)

给出了拉回丛π*TM上的亚纯平坦联络，该联络就称为Frobenius流形的结构联络。

下面介绍变动Hodge结构(variationofHodgestructures)的推广结构，也即CV-结构。

定义2[3]设M是一复解析流形，设K是M上复光滑向量丛，h是K上Hermitian度量，记D=D′+D″为h的Chern联络，多元组(K→M,D,Φ,h,κ,U,Q)称为M上的一个CV-结构，如果(K→M,D,Φ,h,)是一个调和Higgs丛，且剩余其他元素满足：

(a)κ给出向量丛K→M一个实结构，且满足

κ2=Id;

D(κ)=0;

Φ+=κΦκ

其中Φ+是Φ关于h的共轭算子；

(b)h是向量丛K→M的Hermitian度量，且满足

h在κ定义的实子丛K:=ker(κ-Id)⊂K上取实值；

[Φ,U]=0

D′(U)-[Φ,Q]+Φ=0

D″(U)=0

D′(Q)=[Φ,κUκ]=0

κQκ+Q=0

h(Ua,b)=h(a,κUκb)

h(Qa,b)=h(a,Qb)

这里d∈是由关系式ε(g)=(2-d)·g给出。且满足下面六个等价关系式成立

De-e=0⟺Dee=0⟺

本文通过为脑出血病人提供康复护理干预,临床效果较好,有效的提高病人日常生活能力,主要原因是:护士在病人住院期间提供全方面的指导,在心理上,消除病人不良的心理状态,建立良好的心态去面对疾病,提高病人对治疗的信心,在体位上,为病人提供正确的休息姿势,提高病人的舒适度,有助于加快残余脑细胞恢复,增强机体自主神经功能恢复[4],更好的提高治疗效果,在饮食上,多食用高蛋白质的食物,增强患者的抵抗力及免疫力,在康复训练上,为病人提供跨步行走及坐位平衡训练方法,在锻炼的过程中,逐渐增加训练的难度,有助于增强肢体功能的灵活度,促进肢体功能的康复[2]。

(c)关系式g所包含的常数d是实数。

(2)

(3)

在文[9]中，作者注意两个形式同构的在奇点的Poincare秩都是2，因此利用了这类亚纯联络的分类证明了在整个M上存在形式同构，从而证明了定理1。

2 定理的证明

由文[9]引理2.10，只需证明形式同构在流形M上的某一点o上存在即可。我们用待定系数法来证明。

(4)

这里U,V,Q和U+分别记为映射U,V,Q和U+在框架si下所对应的矩阵，易证矩阵U=diag(u1,u2…,um)，且对角线元素各不相同；而V,Q是对角线为零的矩阵。

令

(5)

这里每个Bn是m阶矩阵。把(5)式代入(4)式直接计算得到

(6)

这里每一个ci都是非零常数，adU:glm()→glm()；adU(Bi):=UBi-BiU，glm()为所有复常值矩阵所成的线性空间。不妨假设B0=Em为m阶单位阵。由于矩阵U的为对角矩阵且对角线元素各不相同，因此有直和分解glm()=ker(adU)⊕Im(adU)，这里记号ker(adU)是映射adU的核，Im(adU)是映射adU:glm()→glm()的像。所以对任意n，得到分解式

Bn:=D[Bn]+A[Bn]

(7)

其中对角矩阵D(Bn)为矩阵Bn的对角线元素所组成的矩阵，而A(Bn)为矩阵Bn对角线为零的矩阵。

(8)

我们对n进行递归来求出所有的矩阵Bk：

(i)当k=0,B0=diag(c1,c2,…,cm)=Em; (ii)当k=1，因为adU(B1)=VBO-B0Q=V-Q，注意到V-Q∈Im(adU)，所以存在唯一的对角线为零的矩阵，记为A[B1]∈Im(adU)，使得adU(A[B1])=V-Q。接下来确定矩阵B1的对角矩阵D(B1)。为了使得(6)式当成立n=0，必须有VB1-B1Q+B1-U+∈Im(adU)。把(7)式代入得

V·(D[B1]+A[B1])-(D[B1]+A[B1])·Q+

((D[B1]+A[B1]))-U+∈Im(adU)

即V·A[B1]-A[B1]·Q+D[B1]-U+∈Im(adU)，因此

D[B1]=D[U+-V·A[B1]+A[B1]·Q]

(iii)假设当k≤n+1已经构造出Bk=D[Bk]+A[Bk]，且

V·A[Bn+1]+A[Bn+1]·Q]

(9)

待证当k=n+2时，仍然存在唯一的Bn+2满足式。

先确定Bn+2的对角线为零的部分矩阵A[Bn+2]。类似的，由(9)式，我们得到

VBn+1-Bn+1Q+(n+1)Bn+1-BnU+∈Im(adU)

A[Bn+1]·Q]

(10)

接下来确定D[Bn+2]。

为了使得(6)式的等号右边VBn+2-Bn+2Q+(n+2)Bn+2-Bn+1U+∈Im(adU)，则必须有

D[Bn+1U+-V·A[Bn+2]+A[Bn+2]·Q]

(11)

故(10)-(11)式确定了Bn+2=D[Bn+2]+A[Bn+2]，且Bn+2的对角线元素的取值是使得

VBn+2-Bn+2Q+(n+2)Bn+2-Bn+1U+∈Im(adU)

成立。

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An Constructional Proof for the Existence of the Formal Isomorphism Between Two Flat Meromorphic Connections on a Frobenius Manifold with a tt*-Structure

YEXuanming1,LINJiezhu2

(1. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China; 2. School of Mathematics and Information Science//Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Frobenius manifolds; tt*-structures; CDV-structures; flat meromorphic connections; Poincare rank

2014-03-11

国家自然科学基金青年基金资助项目(11201491，11201090)；博士点新教师类资助项目(20120171120009，20124410120001)；高校基本科研业务费青年教师培育资助项目(34000-3161248)

叶轩明( 1977 年生) ，男；研究方向：微分几何；通讯作者：林洁珠；E-mail:ljzsailing@163.com

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.002

O

A

0529-6579(2015)01-0005-05