多重卷积流形上的梯度近Ricci孤立子

2022-05-30沈东

吉林大学学报（理学版） 2022年2期

关键词：流形张量常数

沈东

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言及主要结果

若Riemann流形(Mn,g)上存在两个实值光滑函数ψ和ρ, 满足方程

Ric+Hess(ψ)=ρg,

(1)

则称(Mn,g)为梯度近Ricci孤立子[1], 记为(Mn,g,ψ,ρ), 并称ψ为势函数, 其中Hess(ψ)=2ψ表示势函数ψ的Hesse算子,Ric为Mn的Ricci曲率张量.

梯度近Ricci孤立子是Ricci-Bourguignon流的自相似解[2], 也是Einstein流形的推广形式(包括梯度Ricci孤立子, 梯度近Ricci孤立子, 梯度Yamabe孤立子), 它与卷积流形[3]有紧密联系. Kim等[4]给出了卷积形式的Einstein流形. 而多重卷积流形是卷积流形的自然推广.

(2)

多重卷积流形在微分几何和理论物理的广义相对论中均有重要意义.例如当m=2时, 若在M=××S2上赋予如下度量g：

则(M,g)即为Reissner-Nordström时空(Schwarzschild黑洞的特殊情形), 其中m表示质量,q表示电荷; 若在M=×Sk×F上赋予如下度量:

g=-dt2+cosh2tgSk+gF,

则(M,g)即为de Sitter时空, 其中(F,gF)为Riemann流形; 当m=1时, 若在M=×Sk上赋予度量g=-dt2+cosh2tgSk, 则得到的Riemann流形(M,g)即为广义Robertson-Walker时空[6]. 此外, 通过求解卷积函数的显式解, 可得相应多重卷积时空是Einstein时空. 例如, 文献[7]给出了卷积函数的一些特殊形式, 使得对应的广义Robertson-Walker时空是常数量曲率空间；文献[8]得到了卷积函数的特解, 使得广义Robertson-Walker时空是Einstein流形, 且其纤维也是Einstein流形.

在微分几何中, 研究多重卷积流形上的Einstein度量及其推广形式对于构造具有某种曲率性质的Riemann度量具有重要意义, 目前已取得了许多成果. 例如: 文献[4]得到了卷积流形是Einstein流形的充要条件; 文献[9-10]将Einstein流形推广到梯度Ricci孤立子. 其中文献[9]构造了一个稳定Ricci孤立子, 其形式是卷积流形(0,+∞)×fSm,m>1, 卷积函数f是一条射线; 文献[10]证明了卷积流形上的梯度收缩Ricci孤立子是紧致Riemann流形的必要条件是其基流形是紧致的, 且纤维流形的维数至少为2, 并得到了卷积流形是梯度Ricci孤立子的充要条件；文献[11]将卷积流形推广到多重卷积流形, 得到了多重卷积流形是梯度Ricci孤立子的充要条件.

基于此, 本文讨论多重卷积流形上的梯度近Ricci孤立子, 得到如下结果.

2)λ≤0, 且λ(p)≤λ(q), 其中p,q分别是函数b的最大值点和最小值点.

则Mn是多重Riemann积梯度Ricci孤立子.

2 预备知识

设(Mn=Br×b1F1×b2F2×…×bmFm,g)是n维多重卷积流形.若Mn上具有梯度近Ricci孤立子(Mn,g,ψ,ρ)的结构(即满足式(1)), 则称(Mn,g,ψ,ρ)为多重卷积梯度近Ricci孤立子.特别地, 若bi(1≤i≤m)为常数, 则称(Mn,g,ψ,ρ)为多重Riemann积梯度近Ricci孤立子.

设(Mn,g)是n维多重卷积流形,T是Mn上的(0,2)型张量,ψ是Mn上的光滑函数, 则由散度和梯度的定义可得：

1) div(ψT)=ψdiv(T)+T(ψ,·);

3) div(Hess(ψ))=Ric(ψ,·)+d(Δψ);

5) div(ψg)=div(ψ)=dψ.

二阶椭圆算子强最大值原理的定义可参见文献[13-14].设B是r维Riemann流形,u,φ,c是B上的3个光滑函数, 且c≥0.在B上定义一个二阶椭圆算子

ε(·)∶=Δ(·)-φ(·)+c(b(·)).

为方便, 本文约定D,,Ric,Δ分别表示Mn上的Levi-Civita联络、梯度、 Ricci张量、 Laplace算子;BD,FiD,B,Fi,ΔB,ΔFi,RicB,RicFi分别表示Br,上的Levi-Civita联络、梯度、 Laplace算子、 Ricci张量;分别表示Ricci张量和Hesse算子的Br,上提升；Hess(ψ),Hess(φ)分别表示Mn和Br上光滑函数ψ∈C∞(M),φ∈C∞(B)的Hesse算子, 1≤i≤m.

引理1[15]设(Mn,g)是多重卷积流形, 若X,Y∈L(B)且V∈L(Fi),W∈L(Fj), 则:

1)DXY是BDXY的B上提升;

引理2[15]设(Mn,g)是多重卷积流形, 且φ:B→(0,+∞)是B上的光滑函数, 则:

引理3[15]设(Mn,g)是多重卷积流形.若X,Y∈L(B)且V∈L(Fi),W∈L(Fj), 则:

2)Ric(X,V)=0;

3) 当i≠j时,Ric(V,W)=0;

4) 当i=j时,