锯齿螺纹M值的测量

张成悌

(中国测试技术研究院，成都 610021)



锯齿螺纹M值的测量

张成悌

(中国测试技术研究院，成都 610021)

文章介绍了由作者自行推导的几何关系清晰的锯齿螺纹M值计算公式，并与其他公式的计算结果进行比较，给出这些公式的适用范围。通过对几种方法的总结与比对，提供了一个具有很好参考价值的资料。

锯齿螺纹；中径；M值；测量

0 引言

锯齿螺纹的计算公式是螺纹一般的通用计算公式，其意义非常重要。锯齿螺纹是非对称螺纹，它与对称螺纹M值的计算是不同的，但是当两个牙侧角相等时它就变成对称螺纹的计算公式了。根据锯齿螺纹的计算公式可以计算各种螺纹实测参数的M值。早期文献和规范多引用徐孝恩先生文献[1]的公式。JJF 1345-2012圆柱螺纹量规校准规范[2]基本采用了欧盟关于用机械检测圆柱螺纹量规中径的指南(EA-10/10)[3]的内容，所以它采用了欧盟的Berndt公式[4-5]。而GB/T 28703—2012圆柱螺纹检测方法[6]国家标准采用了苏宗康先生的计算公式[7-8](简称苏氏公式)。文献[6]并没有给出非对称圆柱螺纹已知螺纹中径d2计算螺纹M值的公式，但是在文献[8]中苏宗康先生给出了非对称圆柱螺纹已知螺纹中径d2计算螺纹M值的公式。该公式是正确的，只是编程时尚缺少一些条件。刘远模先生在文献[9]从建立笛卡尔空间坐标系及螺旋面方程以及用向量推导了非对称螺纹M值的计算公式(简称刘氏公式)，并在文献[10]发表了他对欧盟公式和苏氏公式的看法。但是上述三个公式结构复杂，几何关系不清晰，读者很难理解及推导。作者在文献[11]给出了几何关系清晰，结构简单的对称螺纹M值的计算公式。把文献[11]的计算公式拓展到非对称螺纹M值的计算，可以让读者明瞭公式的几何关系及其推导过程。

1 锯齿外螺纹M值的计算公式

作者在文献[11]的基础上，考虑左右牙廓面的接触情况得到下面的计算公式(简称张氏公式)。

图1是螺纹轴向截面牙廓的几何图形以及接触点T和Q分别经过旋转处于轴向垂直截面时与量针中心的几何关系。当量针、量棒中心Ct0在螺纹轴向垂直截面上，其两接触点T和Q分别在与轴向垂直截面有wt2和wt1夹角的轴向截面上。T点是量针、量棒与辅牙侧的接触点，在图1上将此点转至螺纹轴向垂直截面上。Ct是接触点T经转wt2角后，接触点T位于轴向垂直截面时量针、量棒的圆心位置。同样在主牙侧也有接触点Q，当其经转wt1角后，接触点Q位于轴向垂直截面时量针、量棒的圆心是Cq。Ct、Ct0、Cq是量针圆心螺旋线上的点。CtT及CqQ为量针、量棒的半径rm，TT2与接触点T的圆柱母线夹角是T点螺旋角lt2，QQ2与接触点Q的圆柱母线夹角是Q点螺旋角lt1。

TT2与TCt的夹角是辅牙侧在中径螺旋角lt2截面内的牙侧角at2，QQ2与QCq的夹角是主牙侧在中径螺旋角lt1截面内的牙侧角at1。TT2=rmcosat2，TT1=rmcosat2coslt2，T3T1是在旋转wt2角后Ct点相对Ct0点在轴向的位移。QQ2=rmcosat1，QQ3=rmcosat1coslt1，T3Q4是在旋转wt1角后Cq点相对Ct0点在轴向的位移。

图1 锯齿螺纹接触点在轴向截面上的几何关系图

T3T1=nPwt2/2p ，T3Q4=nPwt1/2p ，

由图1可知：

Q5T=Q1T6，Q5T=Q5Q4+T3Q4+T3T1+T1T=T3T1+T1T+T3Q4+QQ3，而

Q1T6=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2，Q5T=nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2

所以

nP(wt1+wt1)/p+dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1，

将dt1的关系代入，可以得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({[(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1]-d2}tana1+A2tana2)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P-d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(1-1)

tanlt2=nP/p dt2

(1-2)

tanat2=tana2coslt2

(1-3)

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt2+dmsinat2)

(1-4)

tanlt1=nP/p dt1

(1-5)

tanat1=tana1coslt1

(1-6)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1+dmsinat1)

(1-7)

dt2=d2+A2

(1-8)

dt1=(dt2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1

(1-9)

dc=(dt2+dmsinat2)/coswt2

(1-10)

M=(dt2+dmsinat2)/coswt2+dm

(1-11)

计算M和dc由公式(1-1)至公式(1-11)进行迭代计算得出。式中lt2、at2、wt2的初始值用lf2、an2、wf2，dt1的初始值用dt1=d2+dm(sinaf2-sinaf1)。而

tanlf2=nP/p d2，

tanan2=tana2coslf2，

tanwf2=dmcosan2sinlf2/(d2+dmsinaf2)。

若求量针、量棒的最佳直径dm0则应使A2=0.即公式(1-1)的分子=0，由于dt2=d2，因此所有与dt2有关的角度下标将改为中径d2的下标wt2=wf2，at2=an2，lt2=lf2。这样得到公式

dm0=[P(1-n(wt1+wf2)/p )+d2(coswt1/coswf2-1)tana1]/[cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinaf2coswt1/coswf2-sinat1)tana1]

(1-12)

并由公式(1-5)～公式(1-9)及公式(1-12)进行迭代计算得出量针、量棒的最佳直径dm0。

2 锯齿内螺纹M值的计算公式

图2是锯齿螺纹内螺纹接触点在轴向垂直截面上的几何关系图。与锯齿螺纹的外螺纹相比T3T1+T1T+T3Q4+QQ3=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2是一样的，不同之处外螺纹是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]/2

图2 锯齿螺纹内螺纹接触点在轴向截面上的几何关系图

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1；

而内螺纹是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(d2-dt1)tana1+A2tana2]/2

dt1=dccoswt1+dmsinat1=(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt1+dmsinat1。

将dt1的关系代入上式，得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({d2-[(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1]}tana1+A2tana2)

化简后得到

A2(tana2+tana1coswt1/coswt2)=dm[cosat1coslt1+cosat2coslt2-(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]-P[1-n(wt2+wt1)/p ]+d2tana1(coswt1/coswt2-1)

因为测球要与辅助牙面上的中径接触，将关系代入后，并令A2=0，即dt2=d2，则

dm0={P[1-n(wt1+wf2)/p ]-d2(coswt1/coswf2-1)tana1}/{cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinat1coswt1/coswf2-sinat1)tana1}

(2-1)

式中，tanwf2=dm0cosaf2sinlf2/(d2-dm0sinaf2)，

tanwt1=dm0cosat1sinlt1/(dt1-dm0sinat1)，

dt1=(d2-dm0sinan2)coswt1/coswf2+dm0sinat1，

其余与外螺纹相同。

dt1的初始值用dt1=d2-0.5431P(sina2-sina1)，经迭代计算得出内螺纹测球的最佳直径dm0。

为了求测量锯齿螺纹内螺纹的两测球中心距离dc按下列公式进行迭代计算。其中tanlt2,tanat2,tanlt1,tanat1的计算公式与前述外螺纹公式相同。

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt-dmsinat2)

(2-2)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1-dmsinat1)

(2-3)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P+d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(2-4)

dt2=d2-A2

(2-5)

dt1=(dt2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1

(2-6)

dc=(dt2-dmsinat2)/coswt2

(2-7)

式中：lt2、at2、wt2、dt2的初始值用lf2、af2、wf2、d2代入，dt1的初始值用dt1=d2-dm(sinaf2-sinaf1)代入。

3 各公式的计算与比较

四个公式即欧盟公式、苏氏公式、刘氏公式及本文张氏公式计算对称螺纹都是正确的。对于非对称螺纹只有欧盟公式是近似计算，有一定的计算误差，其余三个公式都是正确的。现以多头螺纹计算结果如表1所示。

表1 各公式计算多头锯齿螺纹的M值结果对照表 mm

*由张成悌和刘远模分别按文献[8]编程，计算结果一致。

各公式比较的结论：

1)文献[1]的徐孝恩公式：由于计算精度较低，现在已经被淘汰。

2)其余四公式对于对称牙型的各种内、外螺纹都能得到一致的计算结果。欧盟公式对于Tr28×64(P8)多头梯形内螺纹等更大螺旋角的螺纹受到限制而无法运算(系指刘远模按欧盟公式编程)。

3)对于不对称牙型的内、外螺纹，欧盟公式还是一种近似计算,用于对称牙型螺纹因制造公差造成的不对称，其计算精度还是足够的。对于单头锯齿外螺纹欧盟公式的计算误差最大不超过8μm，对于单头锯齿内螺纹欧盟公式的计算误差一般不会超过10～14μm，特殊情况也不会超过30μm。对于多头锯齿螺纹欧盟公式的计算误差可达到100～200μm以上。所以这个公式不能用于多头锯齿螺纹的计算。欧盟公式因为在计算中辅助角只有一个θ角，而不是分为左右两侧有关。在多头锯齿螺纹计算中产生较大误差也是很自然的。刘、张、苏公式可以适用于一切单头锯齿内、外螺纹和绝大多数多头锯齿内、外螺纹，在无法求得最佳针(球)径时，仍然可以找到适当的针(球)径用于计算。

4)刘、张、苏公式在表达形式上是不一样的，推导过程也不一样，分析问题的着眼点也不相同，而在螺纹各个领域内的计算结果是一致的，说明三个公式都是正确的。本文作者公式在表达形式上简单、几何关系明晰，公式与图形可以对照，容易为读者所接受。作者软件还在发生M值小于螺纹外径时及发生干涉时给出警示及避免干涉的方法；刘氏公式结构形式复杂，很难让读者理解其推导过程；苏氏公式用三种不同的公式解决对称螺纹的M和d2的计算、非对称螺纹求d2的计算、非对称螺纹求M值的计算。其计算非对称螺纹求d2的公式比较突出、新颖，应用此公式仍然可以编程逆算M值，但其公式有部分几何关系不是很清晰。

4 对JJF 1345—2012及GB/T 28703—2012的评价

1)JJF 1345-2012圆柱螺纹量规校准规范[2](以下简称规范)基本采用了欧盟关于用机械检测圆柱螺纹量规中径的指南(EA-10/10)[3]的内容。在螺纹测量方面实现与欧盟先进标准直接对接。

2)GB/T 28703—2012圆柱螺纹检测方法[6](以下简称方法)在计算公式方面采用国内专家的公式[7]达到了国际先进水平，在螺纹测量方面开创了国家标准与规范的先河。计算结果表明我国在螺纹中径测量计算方面处于国际领先地位。

3)规范与方法在螺纹测量领域开创了计算机应用的新时代。

4)规范与方法均介绍了量针法及量球法(双球测头)用于测量内、外螺纹中径，以及先进的二维轮廓扫描法。规范与方法均没有介绍挂钩量球法测量内螺纹中径，即卧式光学计或万能测长仪用挂钩测量内螺纹的方法。而国内仍然有大量用户使用着该方法。不知是考虑不周或想淘汰该方法。

5)规范与方法在介绍量球法(双球测头)时均介绍用标准光面环规来校准双球测头的尺寸。这种方法校准双球测头的尺寸只能用于光滑内孔尺寸的测量。测量内螺纹时要用相应牙型角的侧块与量块组成标准内尺寸校准双球测头的尺寸；测量外螺纹时要用相应牙型角的侧块与量块组成标准外尺寸或带相应牙型角V型槽的标准规校准双球测头的尺寸。用错校准方法会带来较大的校准误差。特别是对于高精度螺纹量规的测量是不可忽视的。作者在万能测长仪用挂钩法测量内螺纹时用环规校零还是用V型侧块及量块校零曾论及这个问题[12]。

6)在计算最佳量针尺寸方面，规范与欧盟规范一致，是采用轴向近似公式。方法在附录中给出的对称牙型螺纹量针最佳直径经校核都是在中径处接触。建议按这些尺寸修改量针标准时的量针名义尺寸。

7)规范与方法终于把在过去螺纹检测方面的规范及标准中出现的不负责任的“螺纹环规检验发生争议时，只要判定环规为合格的校对塞规经检验是合格的，该环规判为合格。”字句删除掉了。

8)在确定测量不确定度时，取k=2，即U95。应该遵守GB/T 18779.1—2002关于产品合格判定的规则(见图3)。不确定区由在公差边界处加、减一个扩展不确定度构成。另外包含因子取k=3更好。

图3 合格区、不合格区、不确定区与生产公差的关系图

5 结束语

规范和方法取得了很大的成就，但是美中不足的是规范与方法没有完全协调一致。今后建议标准与规范成立统一的两个起草小组，重大技术问题统一讨论，确定其修改内容,然后再分头起草。修改时要广泛听取社会上各方面的意见，使标准与规范取得更好的社会效益。

感谢刘远模先生提供的计算软件。

[1] 徐孝恩,编著.螺纹检验与测量.北京：中国计量出版，长度计量测试丛书14分册:150～166

[2] 王为农,等.JJF 1345—2012圆柱螺纹量规校准规范.中国质检出版社,2012

[3] EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical ProbingEA-10/10，P10，P20

[4] M.Kochsiek und J.Lerch，“Zur Ermittlung von Bestimmungsgrössen an Gewinden”，PTB-Bericht PTB-Me-4 (1974).

[5] G.Berndt，“Die Anlagekorrekturen bei der Bestimmung des Flankendurchmessers von symmetrischen und unsymmetrischen Aussen- und Innengewinden nach der Dreidrahtmethode oder mittels zweier Kugeln”，Zeitschrift für Instrumentenkunde 60 (1940)：141ff，177ff，209ff，237ff，272ff

[6] 蔡明钢,等.GB/T 28703—2012圆柱螺纹检测方法.中国质检出版社,2012

[7] 苏宗康.非对称螺纹精密测量的误差研究.实用测试技术，1999(6):29-31

[8] 苏宗康.非对称阿基米德螺纹的精密测量.计量技术,1995.(2):6-9

[9] 张成悌.一种简单准确的螺纹、蜗杆M值的计算方法.计量技术,2001 (11)

[10] 刘远模.螺纹单一中径的三针和量球法测量.计量技术，2014(2)

[11] 刘远模.量针测量螺纹斜置误差的公式讨论.计量技术,2009(2)

[12] 张成悌.螺纹环规单一中径比较测量中的若干问题[J].计量技术，2006(06):37-39

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.2.13