Hamilton-Jacobi方程的条件Lie-Bäcklund对称和不变子空间
2015-06-07董亚莹屈改珠
董亚莹,屈改珠,2
(1 西北大学 数学学院,陕西 西安710127;2 渭南师范学院 数学与信息科学学院,陕西 渭南 714000)
Hamilton-Jacobi方程的条件Lie-Bäcklund对称和不变子空间
董亚莹1,屈改珠1,2
(1 西北大学 数学学院,陕西 西安710127;2 渭南师范学院 数学与信息科学学院,陕西 渭南 714000)
利用不变子空间方法和条件Lie-Bäcklund对称研究Hamilton-Jacobi方程。得到方程允许的不变子空间等价于方程的高阶条件Lie-Bäcklund对称。最后给出一些例子构造出Hamilton-Jacobi方程的广义泛函分离变量解。
Hamilton-Jacobi方程;不变子空间;条件Lie-Bäcklund对称;广义泛函分离变量解
文献[1-2]引入了条件Lie-Bäcklund对称方法。条件Lie-Bäcklund对称方法是对非古典对称方法的推广。计算条件Lie-Bäcklund对称的过程和计算非古典对称的过程类似,关键是先给定条件Lie-Bäcklund对称的形式。条件Lie-Bäcklund对称方法是对非线性扩散方程进行对称约化的有效方法之一[3-5],并且还能解释分离变量[6-7]和不变子空间[8]。
本文考虑Hamilton-Jacobi方程
(1)
的条件Lie-Bäcklund对称和不变子空间及其广义泛函分离变量解。该方程可以用于描述非线性扩散方程的长时行为[9-11]。
1 预备知识
下面给出条件Lie-Bäcklund对称的基本定义和命题。令
(2)
是具有特征η的演化向量场,且
ut=E(r,t,u,u1,…,un),t∈R+,r∈R
(3)
是一非线性演化方程,其中
定义1演化向量场(2)称作方程(3)的Lie-Bäcklund对称当且仅当
V(ut-E)|L∩M=0,
其中L表示ut-E=0关于r、t的所有微分序列,M表示η=0关于r的所有微分序列。
命题1[1-2]方程(3)允许条件Lie-Bäcklund对称(2)的充分条件是存在W(t,r,u,η)使得
(4)
显然,若
Dtη|L∩M=0,
(5)
则方程(3)允许具有特征η的条件Lie-Bäcklund对称。
下面介绍不变子空间方法[12]。一个有限维线性空间
Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}=
如果线性子空间Wl在给定算子F作用下不变,那么方程(3)有广义分离变量解
L[y]=y(l)+al-1(x)y(l-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0
(6)
L[F[u]]|[H]=0,
(7)
其中[H]表示L[u]=0及其关于x的微分序列。由不变条件(7)知不变子空间与条件Lie-Bäcklund对称有关[4,7-8]。
定理1[12-13]如果方程(6)的解空间定义的l维子空间Wl在一个k阶非线性微分算子F作用下不变,那么l≤2k+1。
现在考虑方程(1)的条件Lie-Bäcklund对称
η=[g(u)]lx+a1(x)[g(u)](l-1)x+…+al(x)g(u)。
(8)
若方程(1)允许条件Lie-Bäcklund对称(8),则
(9)
允许条件Lie-Bäcklund对称
σ=vlx+a1(x)v(l-1)x+…+al(x)v,
(10)
其中
A(v)=(f′(v))n,B(v)=D(f(v)),
C(v)=Q(f(v))/f′(v),
且u=f(v)是v=g(u)的反函数。
2 方程(9)的条件Lie-Bäcklund 对称和不变子空间
研究方程(1)的条件Lie-Bäcklund对称(8)等价于研究方程(9)的条件Lie-Bäcklund对称(10)。条件Lie-Bäcklund对称(10)定义的线性常微分方程σ=0的解空间即为方程允许的不变子空间Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}。
当l=2时,由命题1知,方程(9)允许具有特征(10)的条件Lie-Bäcklund对称的充分条件是
C′a2v+a2C=0,
(11)
其中“′”表示对隐含变量的导数,取上述关于vx的多项式系数为零可得方程(9)及其相应的条件Lie-Bäcklund对称(10)中的未知函数,它们满足下面的决定方程组,即
由决定方程组(12)的第5个式子可得a2(x)=0,并且方程组(12)的第6个式子能得到B(v)=p1v+q1,其中p1、q1是任意实数。下面出现的c、d、ci、di、m、mi、pi和qi也是任意实数。因此,(12)式可以化简为
解上面的常微分方程系统可得
(13)
表1 当l=2方程(9)的条件Lie-Bäcklund对称(10)和不变子空间WlTab.1 Conditional Lie-Bäcklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=2 of equation (9)
表2 当l=2对某些n方程(9)的条件Lie-Bäcklund对称(10)和不变子空间WlTab.2 Conditional Lie-Bäcklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=2 of equation (9) for some special n
表3 当l=3方程(9)的条件Lie-Bäcklund对称(10)和不变子空间WlTab.3 Conditional Lie-Bäcklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=3 of equation (9)
3 方程(1)的广义泛函分离变量解
变换v=g(u)不仅将方程(9)允许的条件Lie-Bäcklund对称(10)变换为方程(1)允许的条件Lie-Bäcklund对称(8),还将方程定义在不变子空间Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}上的广义分离变量解v(x,t)=C1(t)f1(x)+C2(t)f2(x)+…+Cn(t)fn(x)变换为方程(1)的广义泛函分离变量解g(u)=C1(t)f1(x)+C2(t)f2(x)+…+Cn(t)fn(x)。这两个解中的未知函数Ci(t)满足有限维动力系统,该动力系统是将广义分离变量解v(x,t)代入方程(9)后取fi(x)左右两边的系数相等而得。下面构造几个例子解释这个过程。
例1方程
(14)
允许的二阶条件Lie-Bäcklund对称是η=vxx。方程(14)建立在不变子空间W{x,1}上的广义分离变量解是v(x,t)=α(t)x+β(t),其中α(t)和β(t)满足下面的二维动力系统:
α′=c1αn+2+p1α2+c1α,
β′=cαn+1β+dαn+1+p1αβ+q1α+c1β+d1。
其中
α(t)和β(t)满足上面的二维动力系统。
例2方程
(15)
例3方程
(16)
允许的三阶条件Lie-Bäcklund对称是η=vxxx+m5vxxx。该方程相应的广义分变量解是v(x,t)=α(t)+β(t)x+γ(t)exp(-m5x),其中α(t)、β(t)和γ(t)满足以下三维动力系统
2m5c15βγ2exp(-2m5x)+
m5c16γ2exp(-2m5x)+c17α+
c17γexp(m5x)+d17,
β′=c15β3-2m5c15β2γexp(-m5x)+
m5c16βγexp(-m5x)+c17β,
γ′=-2m5c15αβγ+c15β2γ+c16βγ-c16m5αγ。
其中
例4方程
(17)
允许的三阶条件Lie-Bäcklund对称是η=vxxx。方程(17)定义在不变子空间W{x2,x,1}上的广义分离变量解是v(x,t)=α(t)+β(t)x+γ(t)x2,其中α(t)、β(t)和γ(t)满足动力系统
α′=m6β2+m7β+c18α+d18,
β′=4m6βγ+2mγγ+c18β,
γ′=4m6γ2+c18γ。
4 结论
本文用条件Lie-Bäcklund对称方法对Hamilton-Jacobi方程进行了分类。研究方程非线性条件Lie-Bäcklund对称(8)等价于研究该方程由变换v=g(u)而得的新方程的线性条件Lie-Bäcklund对称(10)。由σ=0和相应方程的相容性构造了分类所得方程的广义分离变量解。这些结果可以由变换v=g(u)转化为非线性扩散方程允许的非线性条件Lie-Bäcklund对称η及其广义泛函分离变量解。这些解可用来刻画方程的长时行为等性态。
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〔责任编辑 宋轶文〕
Invariant subspaces and conditional Lie-Bäcklund symmetries of the Hamilton-Jacobi equation
DONG Yaying1, QU Gaizhu1,2
(1 School of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127, Shaanxi, China;2 College of Mathematics and Information Science,Weinan Normal University,Weinan 714000, Shaanxi, China)
Invariant subspace (IS) method and conditional Lie-Bäcklund symmetry (CLBS) are used to study the Hamilton-Jacobi equation.It is proved that the equations admit a class of invariant subspaces,which is equivalent to a kind of higher-order conditional Lie-Bäcklund symmetries of the equations. As a consequence, some examples are given and the generalized functional separable solutions to the Hamilton-Jacobi equation are constructed explicitly.
Hamilton-Jacobi equation; invariant subspace;conditional Lie-Bäcklund symmetry; generalized functional separable solution
35K55;37K05
1672-4291(2015)04-0006-04
10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.142
2014-12-20
国家自然科学基金(11371293);陕西省教育厅基金(14JK1246)
董亚莹,女,博士研究生,研究方向为偏微分方程。E-mail: sxsbjsying@163.com
O175.14
A