对中职生数学思维缜密性的调查分析及对策研究

罗海霞



对中职生数学思维缜密性的调查分析及对策研究

罗海霞

对中职生的数学思维缜密性现状进行调查，包括对其数学形式把握时的缜密性、解题时的缜密性、反思时的缜密性、数学学习方式和习惯等进行调查，尝试从心理层面分析中职生数学思维方式的主要特点，并提出解决对策。

中职生；数学教学；思维缜密性；调查；对策

在基础教育的教学实践中，对提高数学思维缜密性的实践性探究比较深入，而在职业院校特别是中等职业学校未见到专门的研究，本文拟通过对中等职业学校学生数学思维缜密性现状的调查，分析其思维特点，并提出相应解决对策。

数学思维缜密性主要是指正确理解公理、定义、定理、法则，通过演绎的方法导出结论，运用数学陈述的形式进行推理，且能准确评价数学陈述过程的正确性。在假设——演绎结构中，“产生协调与相容性的感觉，能以独立于实际约束条件的命题形式进行思考”。包括：(1)对形式(公理、定理、定义和法则)的准确把握；(2)掌握一定的解题程序和理论验证推导的形态；(3)数学学习反思时能完备对知识的理解。

一、调查背景及意义

中职生是指中等职业学校学生。生源主要是初中毕业生，学制3年。

教育部对中职生的教育目标定位包括“需要掌握必要的文化基础知识和具有基本的科学文化素养”。数学素养是重要的文化素养之一。“数学思维缜密性”则是数学素养的核心内容。因为数学是逻辑的优良载体，而“逻辑”的核心就是要“缜密”。数学学习就是要借助数学的具体内容，通过对命题的4种基本形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)的真假判断，进行论证的方法，培养逻辑思维能力。学习数学不仅是为了增加中职生的知识，主要是将数学作为学习逻辑的基本途径之一。

然而，目前中职生的数学学习现状不容乐观。由于中职生数学基础薄弱，作为具有累积性特点的数学学习效益十分低下。在中职数学教学过程中，笔者发现许多中职生不善于运用数学概念、公理、定理、规则进行论证，在论证过程中，常常出现随意模仿、更改、删减、添加条件，进行非规律性的概括，未经论证的推理，不完备的证明，不彻底、不完备的分类，以达成结论，表现出数学思维的随意性，从而沦为数学学习困难生。随着年级的升高，数学困难生逐渐增多，而经常处于这一状态的学生无法培养逻辑思维能力，形不成基本的数学素养，数学教育的功能得不到体现。因此，剖析中职生数学学习困难的成因，对预防及矫正数学困难生有一定的现实意义。而形成中职学生数学学习困难的成因很复杂，其中数学学习中思维缜密性不足是核心因素之一。

本文试图通过案例分析、问卷调查、教学观察、个别访谈，结合相关理论，调查中职生数学思维缜密性状况，并进行分析，提出对策。

二、调查对象、内容和方法

调查对象是连云港中等职业学校2010级机电(2)班、数控(1)班97名学生的数学思维缜密性情况。这两班中考数学平均成绩为64分、61分(总分150分)。这样的成绩在连云港中等职业学校已经算是中上等的水平。调查时间为2010上9月-2013年7月共3年的跟踪调查。

调查内容包括数学课堂提问(出声思考)、练习、作业、试卷(数学陈述)、数学学习习惯、方式等。本文主要从以下4个方面进行调查：(1)对数学形式的把握。指对公理、定理、定义和证明的掌握情况；(2)解题。指学生掌握的解题程序和理论验证的形态；(3)反思。指学生对数学学习的反思情况；(4)中职生数学学习方式、习惯等。

调查方法主要采用观察法、访谈法、问卷调查法、文献研究法。观察法，就是观察中职生在回答问题时的出声思考过程、做练习时的书写过程、做作业的情况；访谈法，对学生数学学习中存在的思维困惑进行访谈；问卷调查法，调查学生的学习习惯和方式等；文献研究法，通过文献研究，分析影响学生数学思维缜密性的心理原因。

三、调查结果及分析

(一)对数学形式把握的缜密性情况

调查发现，60%及以上的中职生对较为直观的公理、概念、法则理解程度较高，如空间图形的认识和变换，立体几何中的公理“在同一平面内，不共线三点确定一个平面”，解析几何中的向量坐标加、减运算。对于累积性知识需求不高的知识掌握的水平较高，如逻辑变量的基本运算、编制工作计划。

88%的中职生对较为抽象的概念的完整理解不够，如对数集中通过映射定义的函数概念理解程度很低。学生往往不理解为什么要定义“在原象集合中的每一个元素，在象集中只有唯一一个元素与之对应；同时象集中的每一个元素，在原象集中都有原象”。学生在判断：“从数集Z到数集R，对应法则f取绝对值”是不是集合时，学生往往忽略象集中的每一个元素是否有原象，而认为这是集合，表现出影响数学思维缜密性的完备性不足。

中职生对定理、公式的理解不够准确，表现出影响数学思维缜密性的准确度不高。如学生经常出现以下错误。

案例1：(a+b)2=a2+b2,23%的中职生对完全平方公式理解不准确。

案例3：sin(A+B)=sinA+sinB,81%的中职生对两角和的正弦公式完全是想当然。

中职生对公式、定理、运算法则的理解是不准确的，记忆是模糊的，甚至是想当然的。

94%的中职生对于需要累积性知识支撑的内容理解程度很低，表现出影响数学思维缜密性的思维深刻性不够。如解一元二次不等式，需要一元二次方程和一元二次函数的图像作为基础，中职生的掌握程度较低。中职生不能理解一元二次方程的解和一元二次不等式的解之间的关系，以及一元二次不等式与一元二次函数图像的对应关系。

86%的中职生对数学概念的直觉理解往往存在较大的偏差。这也是影响数学思维缜密性的因素之一。如认为集合中的元素必须要有明确的共性，不接受空集。对极限概念中的“趋向”，学生往往有以下的理解：接近于(最终离开它)、接近于(不必达到它)、接近于(恰好达到它)、类似于(差不多就是它)。这样学生往往不认为数列1、1、1收敛于极限1。

(二)解题时的缜密性情况

85%的中职生对所有的数字加减运算掌握程度较高，如向量的坐标运算。而中职生对乘、除、乘方、开方运算掌握程度较差。

中职生在推理过程中的随意性较大，呈现出思维缜密性方面最大的障碍。

案例6：教师讲解了“用向量法证明，平行四边形两条对角线的平方和等于平行四边形四边平方和”后，布置学生做“用向量法证明，矩形的两条对角线相等”。被试两个班级中75%的中职生错解如下：

案例7：已知x>1，求证X3-(X2-X+1)>0

本案例在被试班级中有62%的“中职生”错解如下：

证明：∵X3-(x2-x+1)

=X3-X2-X-1

=x2(x-1)-(x-1)

=(x-1)(X2-1)

=(x-1)2(x+1)

∵x>1

∴(x-1)2(x+1)>0

即x3-(x2-x+1)>0

为了达成结论，随意改变正负号，X3-X2-X-1 =x2(x-1)-(x-1)

表现出推理过程中较大的随意性，使得数学思维缜密性缺失。

(三)对数学问题反思时的缜密性情况

所谓反思，就是对已经进行过的行为、结果的再思考、再认识。反思的深刻性，决定了思维缜密性程度。中职生在数学学习过程中往往表现出反思时不深入、不彻底，不能触及问题的核心和关键。

被试班级56%的中职生错解如下：

=30°

(四)对数学学习习惯和方式的调查

调查内容涉及影响学生数学思维的可能因素。调查步骤：(1)准备阶段：编制调查表，收集典型案例；(2)统计分析调查结果(见表1)。

表1 调查结果统计

调查表明，中职生在数学学习过程中，普遍表现出放任的态度和不求甚解的习惯，特别是对数学的推理过程缺少应有的热情。

四、影响中职生数学思维缜密性的原因分析及解决对策

(一)空间认知能力的障碍

这种障碍可以导致去括号时变号操作出错。变号中包括运动功能(凭借躯体去把握)与言语功能(读数)的作用，笔算还要求有空间认知能力。案例7，是中职生在笔算中易犯的初级演算技能的错误。错解x3-(x2-x+1)=X3-x2-x-1 去括号时“变号”的逻辑不明白，所以往往把括号内第二项及其它中间项的符号变错。这类问题多涉及空间认知问题。这种障碍的产生主要源于大部分中职生“视觉的信息处理能力的失常”所致，“这不是看不见或视力弱的末梢感官问题，而是不能理解其间的关系和赋予的意义”，[1]有些中职生存在认知发展的滞后，这就是脑功能本身的问题。需要帮助学生分析错误的原因，并弥补正确的运算规则，再进行反复训练，加强对基础知识的理解和把握。

(二)抽象思维能力薄弱

中职生对于概念理解及逻辑操作这样的抽象思维能力表现得很薄弱。案例2表明，学生不懂得求差法的关键在于对差的判别，而不仅仅是模仿格式，从而导致这类错误。其缺乏对“求差”意义的抽象思维能力，导致解题过程缺少逻辑性。这与关系理解(“求差法”与证明不等式)和共同要素(“求差法”的关键是判别差)的抽象能力的缺陷有关。“学业不良的人很少自觉地对记忆内容进行语言式编码并符号化，因此无法长时记忆，使得抽象思维的基础不在，给学习能力的形成带来巨大的障碍”。[2]56%的中职生“遇到数学学习障碍就放弃”。解决的方法就是教给他们分析与综合信息的方法。如加强审题方法的指导，使学生明确要解决的问题与已学内容的关系。教学过程中，教师要挑选典型例题帮助学生学习一般的、原则性的解题方法，让学生通过少量的习题训练后弄清某种解题方法的原则。这样学生在解答同一类型的问题时就不会感到困难。

(三)假设验证推理能力薄弱

(四)数学推理的形式侧面、算法侧面、直觉侧面不能协调发展

数学思维的缜密性研究很复杂。根据调查，几乎所有中职生在数学思维缜密性方面存在不足，表现为对数学形式把握的准确性不高、完备性不够，解题过程中推理的随意性较大，数学学习反思的深刻性不足，不能形成运用高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系的能力。如搞不清简单的运算概念，分不清去括号、抽取公因数等基本的初等操作技能，理解不了如“求差法”证明不等式的方法、技巧的内涵，证明时对形式化、符号化了的逻辑用语的理解尤为困难。中职生表现出不定型、不稳定的特殊数学思维样式。教学过程中，教师要根据这些特点，通过精讲、精练，多组织趣味性较强的教学活动，采取小步推进教学内容的策略，及时做好个别指导，以逐步提高中职生的数学思维缜密性。

[1]钟启泉.差生心理与教育[M].上海：上海教育出版社，1994.

[2]ROLF Biwhler.数学教学理论是一门科学[M].上海：上海教育出版社，1998.

[3]丁尔升, 唐复苏.中学数学课程导论[M].上海：上海教育出版社，1999.

[4]冯跃峰.推理是数学思维的核心[J].中学数学，1996(4)：24-26.

[责任编辑 陈国平]

罗海霞，女，江苏省连云港中等专业学校高级教师，教育硕士，主要研究方向为数学教育。

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