串并联弹簧等效劲度系数的实验研究

刘艳峰

(延安大学 物理与电子信息学院，陕西 延安 716000)

不是线性关系，但作T2－m图线，是一条直线。可以看出在弹簧周期公式中的质量，除去负载m还应包括弹簧自身质量m0的一部分，即

串并联弹簧等效劲度系数的实验研究

刘艳峰

(延安大学 物理与电子信息学院，陕西 延安 716000)

推导出了串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式，同时从实验的角度利用振动法对串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式进行了验证。发现实验值与理论计算值的相对误差较小，二者非常吻合，说明串并联弹簧等效劲度系数计算公式是正确的。该研究一方面有助于学生进一步理解串并联弹簧等效劲度系数的概念，另一方面在实际生产和生活应用中也有一定的参考价值。

柱形弹簧;锥形弹簧;等效劲度系数

弹簧的制造材料一般来说应具有高的弹性极限、疲劳极限、冲击韧性及良好的热处理性能等，常用的有碳素弹簧钢、合金弹簧钢、不锈弹簧钢以及铜合金、镍合金和橡胶等。弹簧的制造方法有冷卷法和热卷法。弹簧丝直径小于8毫米的一般用冷卷法，大于8毫米的用热卷法。有些弹簧在制成后还要进行强压或喷丸处理，可提高弹簧的承载能力。弹簧是机械和电子行业中广泛使用的一种弹性元件，弹簧在受载时能产生较大的弹性变形，把机械功或动能转化为变形能，而卸载后弹簧的变形消失并回复原状，将变形能转化为机械功。劲度系数是弹簧的固有属性，劲度系数即倔强系数［1－5］。所有弹簧在弹性限度内均遵守胡克定律，即弹簧伸长的长度与所受的拉力成正比［4］。弹簧组是指由几个弹簧通过适当的连结，组成的一个新的弹簧系统［5］。弹簧组的连结方式通常有并联、串联。其中，并联弹簧的等效劲度系数等于两个弹簧劲度系数之和;弹簧串联的等效劲度系数等于两个弹簧劲度系数的倒数之和［6－9］。本文推导出了串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式，同时从实验的角度利用振动法对串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式进行了验证。首先通过测量柱形弹簧和锥形弹簧单独作简谐振动时的周期，计算得出柱形弹簧的劲度系数和锥形弹簧的劲度系数，然后把柱形弹簧和锥形弹簧串联，测量出串联弹簧的等效劲度系数;把柱形弹簧和锥形弹簧并联，测量出并联弹簧的等效劲度系数;最后将串并联弹簧等效劲度系数的实验测量值和理论推导公式计算值进行比较，计算出二者的相对误差。该研究一方面有助于学生进一步理解串并联弹簧等效劲度系数的概念，另一方面在实际生产和生活应用中也有一定的参考价值。

1 实验原理

1.1 实验仪器

实验所用仪器有:细线，柱形弹簧，锥形弹簧，砝码，砝码托盘，秒表，新型焦利氏秤。新型焦利氏秤的简图如图1所示。

图1 新型焦利氏秤

1.2 实验原理

1.2.1 等效劲度系数的理论计算原理

所有弹簧在弹性限度内均遵守胡克定律［10－12］，即弹簧伸长的长度与所受的拉力成正比。胡克定律的数学表达式为

式中F为弹簧所受的拉力，x为弹簧伸长的长度，k为弹簧的劲度系数。

弹簧组是指由几个弹簧通过适当的连结，组成的一个新的弹簧系统。弹簧组的连结方式通常有并联、串联。设有劲度系数分别为k1和k2的两个弹簧，分别将他们串联和并联，如图2所示。

图2 串并联弹簧示意图

设串联弹簧等效劲度系数为k串，并联弹簧等效劲度系数为k并，k串和k并分别与k1和k2的关系式推导如下:

当它们串联时，如图2(a)所示，我们结合受力分析和力学特性，假设弹簧受力为F，两弹簧的伸长量分别为△x2和△x2，弹簧的总伸长量为△x，则根据(1)式有

那么将公式(1)、公式(2)、公式(3)结合整理可得

串联弹簧等效劲度系数

将(4)式整理可得

上式(5)即为串联弹簧等效劲度系数的计算公式。

当它们并联时，如图2(b)所示，我们结合受力分析和力学特性，假设并联弹簧组所受外力为F，两弹簧的伸长量为△x，则

再根据(1)式有

将(7)式整理可得

那么(8)式即为并联弹簧等效劲度系数的计算公式。

1.2.2 等效劲度系数的实验测量原理

设弹簧的劲度系数为k，悬挂负载质量为m。一般给出弹簧振动周期T的公式为

不是线性关系，但作T2－m图线，是一条直线。可以看出在弹簧周期公式中的质量，除去负载m还应包括弹簧自身质量m0的一部分，即

将式(10)改为

通过测量加各种不同负载m的周期T值，由最小二乘法可得

代入上式b=4π2/k的表达式中，分别计算出柱形弹簧劲度系数、锥形弹簧劲度系数以及二者串并联后的等效劲度系数。

2 实验方法

2.1 仪器调节

如图1所示，将弹簧挂在焦利氏秤上，调节支架的底脚螺旋，使十字线G的竖直线穿过平面镜支架上小圆孔的中心，这时弹簧将与A柱平行。调节底板的三个水平调节螺丝，使焦利氏秤立柱垂直。

2.2 测量

测量弹簧作简谐振动时的周期，通过计算得出弹簧的劲度系数。

(1)分别测量柱形弹簧下端悬挂质量为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时的周期。

(2)分别测量锥形弹簧下端悬挂质量为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时的周期。

(3)分别测量柱形弹簧和锥形弹簧串联时下端悬挂质量为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时的周期。

(4)分别测量柱形弹簧和锥形弹簧并联时下端悬挂质量为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时的周期。

3 实验数据记录及数据处理

3.1 实验数据记录

(1)柱形弹簧下端悬挂质量m为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时，50个周期的时间t，周期T，周期的平方T2，数据见表1。

表1 柱形弹簧周期T测量

(2)锥形弹簧下端悬挂质量m为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时，50个周期的时间t，周期T，周期的平方T2，数据见表2。

表2 锥形弹簧周期T测量

(3)柱形和锥形弹簧串联时下端悬挂为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时，50个周期的时间t，周期T，周期的平方T2，数据见表3。

表3 锥形弹簧和柱形弹簧串联周期T测量

(4)柱形和锥形弹簧并联时下端悬挂为0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g时，50个周期的时间t，周期T，周期的平方T2，数据见表4。

表4 柱形弹簧和锥形弹簧并联周期T测量

3.2 数据处理

(1)柱形弹簧劲度系数:由表1数据，根据公式(11)有

式中k1为柱形弹簧劲度系数，令y=T2，x=m，，则得

y=a+bx。

利用最小二乘法可得

相关系数

(2)锥形弹簧劲度系数:由表2数据，根据公式(11)有

式中k2为锥形弹簧劲度系数，令y=T2，x=m，则得

利用最小二乘法可得

相关系数

(3)柱形弹簧和锥形弹簧串联的等效劲度系数:由表3数据，根据公式(11)有

式中k串为柱形弹簧和锥形弹簧串联的等效劲度系数，令则得

利用公式(12)由最小二乘法可得

得实验值为

相关系数

将实验测量值k串和理论公式计算值比较，算其相对误差为

测得二者相对误差较小，在误差允许的范围内。

(4)柱形弹簧和锥形弹簧并联的等效劲度系数:由表4数据，根据公式(11)有

式中k并为柱形弹簧和锥形弹簧并联的等效劲度系数，令则得

利用最小二乘法得

得实验值

相关系数

将实验测量值k并和理论公式计算值比较，算其相对误差为

测得二者相对误差较小，在误差允许的范围内。

4 结束语

本文首先推导出了串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式，然后从实验的角度利用振动法对串联弹簧和并联弹簧的等效劲度系数计算公式进行了验证。最后将串并联弹簧等效劲度系数的实验测量值和理论推导公式计算值进行比较，计算出二者的相对误差。发现实验值与理论计算值的相对误差较小，二者非常吻合，说明了串并联弹簧等效劲度系数计算公式是正确的。该研究一方面有助于学生进一步理解串并联弹簧等效劲度系数的概念，另一方面在实际生产和生活应用中也有一定参考价值。

［1］杨述武.普通物理实验［M］.北京:高等教育出版社，2000:143－147.

［2］张志伟，尹卫峰，温廷敦.溶液浓度与其折射率关系的理论和实验研究［J］.中北大学学报(自然科学版)， 2009，30(3):282－284.

［3］简谐振动特性研究与弹簧劲度系数测量［J］.延安大学学报(自然科学版)，2004，23(3):33－34.

［4］龚镇雄.漫话物理实验方法［M］.北京:科技出版社，1991:36－38.

［5］陈美銮，李丰丽，孙玉龙.用集成霍尔传感器测弹簧振子振动周期［J］.实验技术与管理，2004，21(3):62－64.

［6］曾贻伟，龚德纯，汪顺义.普通物理实验教程［M］.北京:北京师范大学出版，1990:112.

［7］龚镇雄.普通物理实验中的数据处理［M］.西安:西北电讯工程学院出版社，1985:52－54.

［8］张喆，林茂六，陈春雨.一种计算时基失真估计不确定度的新方法［J］.2007，39(1):77－80.

［9］任明放.大学物理实验［M］.重庆:重庆大学出版社，2002:23－25.

［10］朱俊孔.普通物理实验［M］.山东:山东大学出版社，2001:63－67.

［11］杨述武，赵立竹，沈国土.普通物理实验［M］.北京:高等教育出版社，2005:20－21，94－99.

［12］Champion F C.University Physics［M］.London:Read Books，2007:104－123.

［责任编辑 贺小林］

Experimental Study on the Equivalent Stiffness Coefficient of Parallel and Serial Spring

LIU Yan－feng

(College of Physics and Electronic Information，Yan'an University，Yan'an 716000，China)

A formula is derived to calculate the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel.At the same time，they are validated in vibrationmethod from the experimental point，the experimental results and theoretical calculation results are very well，It illustrates the formula of calculating the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel is correct.The research results help students to further understand the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel spring，they also have certain reference value in actual production and application.

cylindrical spring;conical spring;the equivalent stiffness coefficient

O469

A

1004－602X(2015)03－0028－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.028

2014 -11 -20

陕西省2013年科学技术研究发展计划资助项目(2013K02－14);延安市2013年科学技术研究发展计划资助项目(2013－KN37);陕西省高水平大学建设专项资金资助项目(物理学2012SXTS05)

刘艳峰(1979—)，女，陕西清涧人，延安大学讲师。