双参数C0－半群拓扑

毕伟

(延安大学 学报编辑部，陕西 延安 716000)

双参数C0－半群拓扑

毕伟

(延安大学 学报编辑部，陕西 延安 716000)

利用双参数C0－半群的概念，引入一个新的局部凸向量拓扑，并对其基本性质进行了研究。

双参数C0－半群;局部凸向量拓扑;双参数C0－半群拓扑

1 预备知识

定义1.1［1］设(X，‖·‖)为Banach空间，B(X)表示X上有界线性算子的全体。若双参数算子族{T(s，t)s，t≥0}⊆B(X)满足:

(1)T(0，0)=I;

(2)T((s1+s2)，(t1+t2))=T(s1，t1)T(s2，t2)，∀s1，s2，t1，t2≥0;

(3)映射(s，t) T(s，t)x强连续，∀s，t≥0，x∈X。

则称{T(s，t)s，t≥0}为双参数强连续C0－半群，简称双参数C0－半群。

2 主要结果

对∀s，t≥0，令Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖，x∈X，则利用双参数C0－半群的定义，对∀x，y∈X及s，t≥0有

(1)Ps，t(x)≥0;

(2)Ps，t(x+y)≤Ps，t(x)+Ps，t(y);

(3)Ps，t(αx)=αPs，t(x)，α≥0。

事实上，Ps，t(x)=‖T(s，t，)x‖≥0;

即Ps，t(x)是X上的一拟范数，从而由拟范数族S'={Ps，t∶s，t≥0}可以诱导出一局部凸向量拓扑，记为τ。

定义2.1 由上述拟范数族S'={Ps，t∶s，t≥0}导出的X上的局部凸向量拓扑，称为双参数C0－半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X，τ)。

引理2.1［2］设E是线性空间，A、B是E上的两族拟范数，那么由A确定的拓扑弱于由B确定的拓扑的充要条件是:对于每个q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正数c1，c2，…，cm，使得对一切x∈E下式成立:

q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。

定理2.1 由范数所诱导的局部凸向量拓扑强于X上的双参数C0－半群拓扑。

证明 因为对∀s，t≥0及x∈X，有:

Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖≤‖T(s，t)‖·‖x‖，再根据引理2.1，得证。

定义2.2 在局部凸线性拓扑空间X中，如果对任意的Cauchy序列{xn}，{T(s，t)xn}(s，t≥0)都收敛，则称X是双参数C0－半群完备的。

定理2.2 局部凸线性拓扑空间(X，τ)是双参数C0－半群完备的。

证明 设{xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，那么对于任意连续拟范数q(x)及ε＞0，集合U= {x:q(x)＜ε}构成零的一个邻域，从而必存在自然数N，使得当n，m＞N时，有(xn－xm)∈U，即q(xn－xm)＜ε，特别地，对∀Ps，t(x)∈S'有:

可知{T(s，t)xn}是Banach空间(X，‖·‖)中的Cauchy序列，从而{T(s，t)xn}必按范数收敛。再由定理2.1可得{T(s，t)xn}也是(X，τ)中的收敛列。得证。

定理2.3 设{T(s，t)s，t≥0}是非退化的双参数C0－半群，则{T(s，t)s，t≥0}诱导出的双参数C0－半群拓扑τ是分离的。

证明 因为{T(s，t)s，t≥0}是非退化的，即若对∀s，t有T(s，t)x=0，那么必有x=0，所以对∀x≠0可得:

从而对∀x≠y，即x－y≠0，必存在α，β∈［0，+∞)使得Pα，β(x)=3d＞0，令V={x:Pα，β(x)≤1}，则x的邻域x+dV与y的邻域y+dV彼此分离，即双参数C0－半群拓扑τ是分离的。

关于由单个拟范数诱导的局部凸向量拓扑，给出以下结果:

定理2.4 设s1，s2，t1，t2≥0且s1＞s2，t1＞t2，则由拟范数Ps1，t1(x)=‖T(s1，t1)x‖所导出的局部凸向量拓扑弱于由拟范数Ps2，t2(x)=‖T(s2，t2)x‖所导出的局部凸向量拓扑。

证明 因为对∀x∈X有:

再根据引理2.1，定理得证。

［1］Al－Sharif Sh，Khalil R.On the generator of two parameter semigroups［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156:403－404.

［2］夏道行，杨亚力.线性拓扑空间引论［M］.上海:上海科学技术出版社，1986.

［责任编辑 贺小林］

Two Parameter C0-Sem igroups Topological

BIWEI

(Editorial Department of Journal of Yan'an University，Yan'an 716000，China)

By using the concepts of two parameter C0－semigroups，a new locally convex vector topological was introduced，and some propositions of itwere given.

two parameter C0－semigroups;locally convex vector topological;two parameter C0－semigroups topological

O177.31

A

1004－602X(2015)03－0016－02

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.016

2015 -05 -09

毕 伟(1986—)，男，陕西米脂人，延安大学助理编辑。