深海顶张式立管组合参激共振的非线性振动分析

唐友刚，朱龙欢，李杨青

(1. 天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津 300072；2. 天津大学建筑工程学院，天津 300072)

深海顶张式立管组合参激共振的非线性振动分析

唐友刚1,2，朱龙欢1,2，李杨青1,2

(1. 天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津 300072；2. 天津大学建筑工程学院，天津 300072)

研究了深海顶张式立管参数激励和涡激共同作用下的非线性振动特性. 考虑平台升沉运动激励和涡激力建立立管振动方程，采用多尺度方法求解立管振动方程的近似解析解. 考虑和型组合参激共振Ω≈ω1+ω2情况研究立管的振动特性，计算得到了立管的幅频响应曲线，分析了平台升沉运动对深海立管非线性振动的影响. 结果表明：当参激频率满足和型组合参激共振条件时，立管振动响应中频率为1/2参激频率的亚谐波成分明显；且由于内共振关系的存在，立管1阶模态被激发，其幅值远大于2阶模态幅值；随着平台升沉运动幅值的增大，立管横向振动幅值显著增大，这表明平台运动对于立管弯曲振动有重要影响．

顶张式立管(TTRs)；组合参激共振；多尺度法；涡激振动

立管是海洋油气开发中连接海底井口和上部浮体的结构[1]．当水深达到1,500,m以上时，海洋环境尤为恶劣．立管顶部承受平台升沉作用，内部有高压的油气通过，外部有复杂的浪、流等环境荷载作用，此环境下立管会发生碰撞、波频振动、涡激振动、参激振动，这些都能引起立管的疲劳损伤和断裂失效，不仅给工程本身带来巨大经济损失，而且还会对自然环境造成严重的次生灾害[2]．

关于深海细长结构的参激振动响应问题，国内外学者进行了大量理论和实验研究．Patel等[3-4]研究了低轴力条件下张力腿的不稳定区域，用半解析的方法讨论了张力腿在复合激励下的动力响应问题；Park等[5]用有限元方法研究了海洋细长结构物在参数激励和波流激励联合作用下的动力响应，并计算得到了马蒂厄不稳定参数区域；Chatjigeorgiou[6]针对参数激励频率接近立管非线性共振范围的情况，研究参数激励对立管振动的影响，还讨论了阻尼对于立管参数激励振动稳定性的影响；Chatjigeorgiou等[7]在考虑内流和参数激励的情况下，针对参数激励频率接近两倍1阶固有频率的特殊情况，得到立管振动响应的近似解析解．国内学者朱克强[8]最早研究了考虑船舶的升沉和横荡运动情况时立管的振动响应，用有限差分法求解了振动方程，得到了立管在参数激励和莫里森波浪力共同作用下的时间历程响应；杨和振等[9]忽略波流力，考虑平台浮体简谐升沉运动作为参数激励，研究深海立管参数激励振动响应；邵卫东等[10]考虑立管顶端动边界条件及立管轴力随水深的变化，给出了考虑浮体升沉及张紧环运动时顶张力管的固有特征．

本文将立管上部浮体的升沉运动简化为参数激励，考虑立管大长径比引起的几何非线性，综合涡激力的影响，将立管振动处理为参激-强迫激励振动系统，建立深海立管振动方程，采用多尺度方法求立管振动的解析解，得到立管升沉运动激励和涡激共同作用下非线性振动的响应特点，并研究浮体升沉幅值对立管振动的影响．

1 立管分析模型

立管为大长细比结构，内有不可压缩无旋流体经过，管外承受的载荷包括顺流向拖曳力、垂直于流速的涡激力以及上部浮体升沉运动诱发的轴向力．考虑底部约束为铰支，立管坐标系原点位于底端，轴竖直向上，建立参数激励下深海立管模型，如图1所示．

图1 参数激励下深海立管模型示意Fig.1 Schematic diagram of deep-water riser under parametric excitation

图1 中，L为立管总长度，v为均匀流速，上部浮体运动为简谐运动，其位移为ua( t)=u0cos(Ωt)，u0为位移幅值，上部浮体的运动会引起立管上端部的简谐升沉运动．

单位长度流体和立管的受力情况如图2和图3所示．

图2 单位长度流体受力Fig.2 Forces acting on the unit length of fluid

图3 单位长度立管受力Fig.3 Forces acting on the unit length of riser

考虑单位长度流体和立管法向上受力的平衡条件[11-12]，可得

式中：m、ma和ml分别为单位长度的立管质量、附连水质量和流体质量；vl为立管管内流体的速度；w为立管法向的位移；m0=(m+ma+m1) g ；S为剪切力；ε为局部应变；χ为弯曲曲率；φ为立管切线方向与水平方向的夹角；EI、EA分别为立管弯曲刚度和轴向刚度；F为作用在立管单位长度上的水动力．F包括由漩涡泄放产生的涡激升力fL和立管在涡激力方向运动产生的拖曳力fD，即

式中：wρ为周围海水的密度；D为立管外径；sω为涡激频率；LC、DC分别为升力系数和流体阻尼系数.

仅考虑立管在垂直来流平面的运动，立管局部应变ε分为静应变ε0和动应变ε1两部分，且任意点的切向位移u( z, t)为法向位移的高阶小量O( w2)，即

此外，曲率、剪力、应变及转角之间有如下关系[7]：

同时，结构所受的轴向张力eT分为静顶张力e0T和动张力e1T两部分，其中静顶张力e0T为定常值，且张力与应变呈线性关系，即

将式(2)～(11)代入式(1)中并进行化简，得到立管法向的运动微分方程

应用伽辽金法和振型叠加原理对式(12)进行处理，设解的形式为

式中：αu(z )、αw(z)满足立管边界条件，且仅与位置坐标z有关；gi( z)、fi( z)分别为立管轴向振动和弯曲振动的振型函数；ua( t)、wa( t)分别为施加于立管顶端的轴向和横向位移边界条件，即ua( t)= u0cos(Ωt)，wa( t)=0．将式(13)和(14)代入式(12)，考虑结构阻尼的作用，在等式左边添加2μiq˙项，其中μi为结构阻尼系数，结合振型的正交性进行化简，得到关于qi( t)的微分方程为

式中iω为立管的第i阶固有频率．本文用解析方法求解式(15)，仅考虑上部浮体的升沉运动和立管的横向振动，因此可忽略式中含a()w t的乘积项和jkp q项.由于阻尼项的存在，高阶模态迅速收敛，因此仅保留前两阶模态进行分析，由此整理式(15)得

其中

2 多尺度法求解模态振动微分方程

考虑整个振动系统为弱非线性系统，可将方程(16)和(17)中各非线性项系数看作小量，运用多尺度法求解模态振动方程．其中涡激升力项为周期变化的外激励，本文考虑涡激升力频率远离立管固有振动频率，即外激励为非共振的情形．

式中e为无量纲小参数．设方程(16)和(17)的解的形式为

将式(27)代入式(16)和(17)，并考虑式(26)，令e同幂次项系数相等，并统一省略各变量中的“^”，得到式(28)～(31)，即

式中D0、D1分别是对T0、T1求偏导数的运算符号. 系数表达式分别为

设式(28)和(29)解的形式为

式中：cc代表前面表达式的共轭；参数iΛ的表达式为

将式(35)和(36)代入式(30)和(31)，消除永年项，得到关于11()A T和22()A T的方程组．此振动系统中存在几种参激共振的情形，包括12Ωω≈，22Ωω≈，．这里Ω为参激频率，1ω和 2ω分别为横向弯曲振动1阶和2阶固有频率．本文考虑组合参激共振情形，对12+Ωωω≈的情况进行详细讨论．同时，该立管模型两端为铰支边界条件，前两阶固有频率之间存在2倍关系，即前两阶模态间存在内共振关系，由此可以得到可解性条件为

代入式(38)和(39)中，分离虚部与实部，为求振动的稳态响应，令10a′=，即可得到前两阶近似解的表达形式．

3 算例及结果

本文算例以深海中1,500,m长的生产立管为例，计算和分析立管的振动特性．对上文讨论的解析近似解进行编程，得到立管参数激励下非线性振动的幅频响应曲线，运用数值解法求解响应的时间历程曲线，并做了对比分析．立管参数如表1所示．

表1 深海1,500,m立管参数Tab.1 Parameters of 1,500,m deep-water riser

将表1中参数代入式(38)和(39)中求解，得到组合参数激励下立管振动幅值随解谐参数σ的变化情况，即幅频响应曲线，如图4和图5所示．

组合参激共振情况下，由图4和图5分析可得，在σ趋近零的范围内，两阶振幅均随频率增大而减小，且1阶振幅1a明显大于2阶振幅2a，频响曲线中的实线和虚线部分分别表示稳定解和不稳定解，这是由解的形式中两个不同分支决定的．

图4 立管的1阶模态幅频响应曲线Fig.4 Amplitude-frequency response curve of the 1st modal riser

图5 立管的2阶模态幅频响应曲线Fig.5 Amplitude-frequency response curve of the 2nd modal riser

对式(38)、(39)分离虚、实部的结果进行直接数值求解，可以得到1阶模态坐标1q的时间历程曲线，见图6．

图6 1阶模态坐标1q的时间历程曲线Fig.6 Time history curve of the 1st modal cordinate1q

再对图6所示振动历程进行傅里叶变换，得到图7所示振动响应谱．

由图7频谱分析可得，响应成分主要包括3个：其一为参激频率Ω的1/2的亚谐振动，即按照频率0.296,9,rad/s进行振动的成分，此时立管产生明显的亚谐参激振动；其二为涡激振动部分，即按照涡激升力频率1.609,0,rad/s进行振动的成分；其三为按照立管1阶固有频率0.199,2,rad/s进行振动的成分，产生该成分的主要原因是由于本文立管模型为两端铰支的梁结构，其横向振动的前两阶固有频率之间存在内共振关系，即212ωω≈，使2阶固有频率相对1阶固有频率而言恰好满足参激共振条件，激发了立管1阶模态的振动，由此说明此时立管1阶模态仍为主要激发模态，且在参激共振和内共振共同作用下，亚谐振动谐波占主要部分，这表明了组合参数激励对于立管振动的重要影响．．从图4和图5可得，0σ=时，

图7 1阶模态振动响应谱Fig.7 Spectrum of the 1st modal vibration

改变顶部升沉幅值，得到1,maxa，如表2所示．由表2中数据可知，在参激频率不变的情况下，立管1阶模态幅值最大值随浮体升沉幅值的增加而增加，当浮体升沉幅值达到3,m时，幅值响应发生很明显的增大．立管处于参数共振区时易发生失稳，需控制立管振动响应．

表2 1阶模态幅值的最大值1,maxaTab.2 Maximum response value of the 1st modal1,maxa

4 结 论

(1) 理论分析结果与数值模拟分析结果基本吻合，说明该理论分析结果是合理的，分析方法是可靠的．

(2) 当立管顶部参激频率接近立管1阶固有频率与2阶固有频率之和时，1阶响应明显大于2阶响应，为主要响应成分．

(3) 参数激励使响应中产生明显的亚谐参激振动成分，并且结构本身的内共振关系使2阶固有频率相对1阶固有频率满足参激共振条件，在立管振动系统中产生重要作用．

(4) 在参激频率不变的情况下，立管1阶模态幅值最大值随浮体升沉幅值的增加而增加，并且当升沉幅值较大时，立管横向振动幅值显著增大．因此在实际设计中，应该避免立管顶部发生较大的升沉幅值．

(5) 本文选取涡泄频率远离立管横向振动固有频率，而当外激频率与某阶固有频率接近时，涡激共振与参激共振同时发生，可能导致立管振动大幅加剧，使立管处于危险状态，因此在实际工程中，还需要关注两种谐振同时发生的情形，确保立管安全工作.

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(责任编辑：樊素英)

Nonlinear Vibration Analysis of Combination Parametric Resonance for TTRs in Deep Water

Tang Yougang1,2，Zhu Longhuan1,2，Li Yangqing1,2
(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The nonlinear vibration characteristics induced by parameters and vortex were investigated for toptensioned risers (TTRs) in deep water. The vibration equations were established with consideration of both the parametric excitation caused by the heave motion of platform and vortex induced force. Approximated analytical solution to the equations was calculated using the method of multiple scales. Considering the case of combination parametric resonance,Ω≈ω1+ω2, the frequency response curves of the riser were obtained and the influence of the heave motion of platform on the nonlinear vibration of the riser was analyzed. The results show that when the parametric excitation frequency satisfies the combination parametric resonance conditions, the sub-harmonic resonances (response frequency equal to 1/2 parametric frequency) is obvious. Because of the existence of internal resonance, the vibration response of the first mode is excited and the amplitude is much larger than that of the second mode. As the heave motion amplitude increases, the amplitude of the lateral vibration response of TTRs increases obviously, which indicates that the heave motion of platform has important influence on the lateral vibration of TTRs。

top-tensioned risers(TTRs)；combination parametric resonance；method of multiple scales；vortex induced vibration

P756.2

A

0493-2137(2015)09-0811-06

10.11784/tdxbz201402022

2014-02-18；

2014-09-02.

国家重点基础研究发展计划(973计划)资助项目(2014CB0468)；国家自然科学基金重点资助项目(51239008).

唐友刚（1952— ），博士，教授.

唐友刚，tangyougang_td@163.com.