“数学归纳法”课堂教学引例价值的思考

●卓 杰 (南京师范大学附属扬子中学 江苏南京 210048)

“数学归纳法”课堂教学引例价值的思考

●卓 杰 (南京师范大学附属扬子中学 江苏南京 210048)

2015年1月13日，南京市化工园区李宏志名师工作室在笔者所任教学校举行了赛课评课活动.活动分为2个阶段:1)工作室中的3位教师进行同课异构，课题为“数学归纳法”(苏教版选修2-2第2章第3节)［1］;2)由工作室成员及专家进行评课，本次活动邀请了南京师范大学宁连华教授参加.评课教师都对3位教师的教学引例给予了关注，且观点不一.笔者认为数学课堂教学应遵循“以简驭繁”的设计原则，对教学资源进行了优化甚至重组，充分挖掘其教学价值.本文就本节课教学引例的教学价值谈谈自己的观点.

1 课堂回顾

片段1教师A的引例、处理方式及评注.

师(PPT展示引例):已知数列{an}满足(其中n∈N*)，a1=0，请你计算a2，a3，a4，猜想出数列{an}的一个通项公式?

师(追问):数列{an}的通项公式是猜想出来的，不一定正确，你能给出严格的证明吗?

(学生思考片刻，但没人发言.)

师:我们一起来分析一下如何证明吧.

紧接着，教师引导学生感受“由a1求a2，由a2求a3，……，由an求an+1”的过程，并结合数学归纳法的2个步骤说明其结果是正确的.本引例处理到此结束.

评注教师还没有讲述数学归纳法原理，就结合具体问题予以证明，教师的设计本意是想通过分析过程，感受数学归纳法证明的2个步骤，然后通过多米诺骨牌游戏进行类比，这样做显然违背了学生的认知规律，不利于思维能力的培养.再者，若有学生提前预习，并利用数学归纳法进行证明，这样的课堂一定很尴尬.

片段2教师B的引例、处理方式及评注.

教师B的引例与教师A相同，不同的是:

师(追问):同学们能否对猜出的通项公式给出严格的证明呢?

(学生没人发言.)

师:要解决这个问题，需要新的知识来解决，首先我们来看一个游戏……

在后续的教学中，教师把本例作为课堂练习进行训练.

评注从教学过程看，教师将引例作为新课引入的问题切入，后面又把它作为练习进行巩固.显然教师的设计思路是:先设疑激发兴趣，再合作探究原理的生成，最后借助原理解决问题.前后呼应，效果很好.好在没有学生就如何证明提出质疑，否则此问题的有效性将大大降低.

片段3教师C的引例、处理方式及评注.

师:前面我们已经学习过推理，请同学们回忆一下完全归纳法与不完全归纳法有什么区别?

生:完全归纳法推导的结论一定正确，但不便操作;不完全归纳法就是归纳猜想，因此推导的结论不一定正确.

师:很好!请大家解决这个问题(PPT展示):已知数列{an}中，a1=1，且(其中n=1，2，3…)，请你计算a2，a3，a4，a2014，an.

师(追问):你是怎么求出a2014和an的，能保证其一定正确吗?

生:通过归纳推出的，应该正确.

师:通过不完全归纳法推出的结论，怎么能保证其正确性呢?

(学生不知如何回答.)

师:我们只有通过严密的证明才能说明其正确性，那么能否找到一种方法，通过尽可能少的步骤来解决很多步甚至无限步才能解决的问题呢?这就是我们本节课要解决的问题.

在后续的教学过程中，教师C始终利用本例辅助说明数学归纳法的生成过程.

评注教师C的设计思路也很明确，先说明通过不完全归纳法推导的结论不一定成立，达到设疑的目的，由此抛出本节课要解决的问题，激发学生的求知欲，明确本节课的学习任务.整个课堂上教师C对引例的利用很到位.

2 争鸣与建议

多数评课教师对教师A和教师B的引例给予肯定，认为教师C的引例略显不足，原因是学生能通过取倒数的方法求解，不需要进行归纳.还有一部分教师对教师C的引例给予肯定，认为问题简单，有利于学生归纳，并且题目要求先计算a2，a3，a4，然后求a2014，从上课结果上看没有学生(授课班级为江苏省四星级高中普通班)采用取倒数的方法进行求解.

笔者认为评课教师基本上是从课堂操作的层面予以评价，并没有看到后续课堂对引例的深层次需求.教师对精心设计的引例使用仅仅停留在表面上，没能挖掘其内在更高的教学价值，造成教学资源的浪费.笔者建议本节课就以此引例为主线，将数学归纳法的理论探究和解题巩固载入到引例中，以最少的信息量呈现给学生，实现最大的教学效益.

数学课堂若能以简单问题为载体，对教学资源进行深层次挖掘，以最少的信息量实现教学重点和难点的突破，这才是真正高效的数学课堂，也是课堂教学追求的最高境界［2］.

3 价值分析

应该说3位教师的引例大同小异，目的都很明确，我们不能仅仅停留在课堂操作的层面上看问题，而是要分析引例的教学价值所在，用好这个引例来优化本节课的教学.笔者总结了以下几点:

3.1 问题价值

当代美国著名数学家哈尔斯说过:“问题是数学的心脏，没有问题的存在，就没有数学活动的开始，有了问题，思维才能有方向.”课堂上，教师要依据教学内容、生活现象和学生的认知心理设置问题(设疑)，制造认知冲突，把学生引入一种参与问题、思考问题、解决问题的情境之中，让原本枯燥的数学学习活动变得活泼有趣，激发孩子们的求知欲望.

数学归纳法是典型的数学原理课，每一个数学原理都有其产生的背景，都是建立在解决某些问题需要的基础上的.数学归纳法是建立在经验归纳(不完全归纳法)的不可靠性和逐项验证(完全归纳法)的不可操作性的背景下提出的，这正是本节课要解决的问题.因此我们可以结合引例提出本节课的引领问题，即:能否找到一种严格的、非经验的推理方法，通过有限的步骤来解决无限的问题?教师能结合这个引例，提出本节课的引领问题，让学生明确本节课的学习任务，其问题价值是显然的.

数学之所以被称为思维的体操，是因为数学发展始终都在不断地提出问题和解决问题.事实上，问题是教学的出发点，也是思维的起点，有了问题才会去思考解决问题的办法.数学教学正是在不断地提出问题、解决问题的循环反复过程中向前推进的.

3.2 建构价值

数学原理课教学应引导学生经历原理的形成过程，通过安排合适的数学活动去理解和掌握数学原理，做到“知其然且知其所以然”，是实现有意义学习的关键所在.

数学归纳法的学习中有2处难点，即:把无限步的三段论推理转化为有限步的验证和“假设结论成立，然后再去证明结论成立”.只有通过数学归纳法建构的过程，让学生体会数学归纳法原理的自然生成过程，才能降低理解的难度，真正理解数学归纳法［3］.

多米诺骨牌游戏虽然是一种生活现象，但对数学归纳法原理的生成过程能从本质上给予揭示，类比价值非常高.要实现从生活实例向数学知识的自然迁移，将多米诺骨牌游戏中的2步类比到引例中来，并用引例加以验证，数学归纳法原理的生成水到渠成.表1以教师C的引例为例予以说明.

表1 多米诺骨牌游戏与数学归纳法

上述类比过程，实现了从生活现象向数学知识的自然过渡，建构了数学归纳法原理的2个步骤，重要的是实现了生活现象数学化的过程［4］.也从本质上揭示了数学归纳法证明的2个步骤，更易于理解2个步骤“缺一不可”.

3.3 示范价值

从对数学归纳法的教学反馈来看，规范书写对初学者来说也是难点所在，尤其证明当n=k+1时命题成立时忘记使用“假设当n=k时命题成立”，此处是初学者最容易忽略之处.借助多米诺骨牌游戏正好可以强化“当n=k+1时命题成立必是建立在当n=k时命题成立的基础之上”，也是数学归纳法学习中的难点.而本引例若能在类比的同时，教师规范书写数学归纳法的证明过程，则可以让学生在强化数学归纳法证明中的易错点、突破难点的同时，规范了书写过程，尤其是第2步，显然会达到事半功倍的效果.

以简驭繁，返璞归真，不仅是哲学的思考，更是现代人必备的数学素养.作为数学教师，必须深刻理解数学、理解教学，-才能充分挖掘教学资源的教学价值，实现复杂问题简单化，关注学生的长期发展，落实高效课堂［5］.

［1］单墫.普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-2)［M］.南京:江苏教育出版社，2007.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［3］曹才翰，章建跃.教学数学教育心理学［M］.北京:北京师范大学出版社，2014.

［4］弗莱登塔尔.作为教育任务的数学［M］.上海:上海教育出版社，1999.

［5］章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015(1):61-63.