高中数学“数列与差分”专题教学研究

张丽

摘 要：高中阶段的数列、差分专题教学，对学生日后的生活非常有帮助，这一专题教学，可有效提高学生自身的综合素质，对于满足学生多元化的需求，意义重大。本文将对高中数学“数列与差分”进行阐述，并在此基础上就如何进行专题教学，谈一下自己的观点和认识，以供参考。

关键词：高中数学；数列；差分；专题教学；研究

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）04-068-01

高中阶段的数学教学过程中，尤其是“数列与差分”专题教学，可帮助学生有效解决现实生活中的一些问题，实用价值非常的大。

1. 数列与差分关系分析

第一，数列是描述世界客观事物的数学模型。数列是定义在自然数集上的特殊函数，对客观存在的各种离散变量进行描述。实践中可以看到，客观存在的很多变量本身都表现出一定的离散性，比如细胞分裂、股市等，均具有函数关系的离散性特点。同时，还存在着很多连续函数关系，无法用解析式对其进行表示，比如河流的水位变化等，只能通过测得相应数值来得到数列。在不影响研究结果的情况下，为了更加方便分析研究，通常将对连续函数的研究有效地转化成对数列的研究。

第二，差分是对数列变化进行描述的一种工具。比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}这一数列中的第n项一阶差分，并将“△”称作差分算子，此时有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}这一数列的第n项二阶差分。对于二阶差分△2an而言，其中的2代表差分两次运算。{an}这一竖列的二阶差分，构成了一个新的数列，即{△2an}。事实上，高中数学数列与差分之间存在着一定的关联性，具体表现在以下几个方面：当{an}={2，2，2，2，2}时，一阶差分△an为{0，0，0，0}；此时数列的一阶差分为各项是零的常数列；再如，当{an}={3n-5}时，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一阶差分△an为常数列 {3，3，3，3，3，3，3}，通项an=3n-5（线性函数）。当{an}这一数列是由线性函数定义的等差数列时，一阶差分即为常数列；当{an}= {n2-3n+5}= {3，3，5，9，15，23}时，一阶差分为{0，2，4，6，8}，二阶差分为{2，2，2，2}，通项an=n2-3n+5（二次函数）。当{an}这一数列由二次函数定义时，二阶差分为常数列。若将上述由二次函数、线性函数或者指数函数定义的不同阶差分结论作为定理，则这些结论对基于数列的一阶和二阶差分，对研究数列遵循变化情况、数列通项，意义重大。

2. 高中数学“数列与差分”教学策略

本文以待定系数法求解差分方程为例，对如何进行数列与差分教学深入分析。所谓待定系数法求解差分方程、常微分方程思想，可以对比分析；在非齐次线性差分方程求解过程中，采用待定系数法应用效果也非常的好。从应用实践来看，采用待定系数法对差分方程进行求解，主要是基于方程自身的特点，设一般模式，然后再根据相关条件，确定解之后将其代入方程之中，从而求得待定系数。比如，当K≠1时，一阶非齐次差分方程可表示为xn+1=kxn+b①，此时得到一个特定解，即xn=A；将xn=A代入公式①中，则可得A=kA+b，A=b/（1-k），此时xn=b/（1-k），一阶非齐次差分方程通解：xn=knc+ b/（1-k），（其中c代表任意常数）；当k=1时，xn+1=xn+b的一阶差分是一个常数，设xn=An特解，然后将其代入原方程之中，此时A（n+1）=An+b，即A=b；xn=bn；方程①的通解：xn=knc+ bn=c+bn（其中，c代表任意常数）。以下可通过具体的例子来说明上述理论分析。

例1：某教室内的座位布设过程中，如果每后一排均比前一排插座数量多出2个，而且已知首排插座数量为30，求以下四个问题的解。

①用yn表示n排插座的数量，试求yn与yn+1的关系；

②试求第九排插座的数量是多少？

③以Sn来表示第n排之前插座的总数，试求Sn与Sn+1的关系？

④若该教室共有20排插座，试问可以同时坐多少个学生？

解：①yn+1=yn+2；其中n=1，2… ②从题目中可知，k=1，b=2，此时yn=2n+c，（其中c代表任意常数）；已知y1=30，则可求出c=28，此时的特解方程为yn=2n+28，即y9=46；③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，此时Sn+1= Sn+30，n=1，2… ④通过③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30，即Sn=2n+30，此时可得到数列Sn一阶差分表达式二次函数，将这一二次函数设为：Sn=An2+Bn+C，可得Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30；A=1，B=29，结合条件可得y1=30=S1，30=A+B+C， Sn=n2+29n，n=1，2… 由此可得S20=980.

3. 结语

总而言之，数学这门学科的实用性非常的强，将数列与差分教学纳入新课改下的高中数学教学过程之中，既是课程改革和教学的需求，又是学科发展的必然，因此应当重视和不断创新教学模式，只有这样才能提高教学质量和效率。

[参考文献]

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[2] 李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程、教材、教

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