移动重叠构造全等

来林芳

摘 要：辅助线的添加，一直是几何教学中的难点，而构造全等三角形是一种常见的构造方法，就已知线段相等时，通过经历移动重叠的探索过程，探究出构造全等三角形的一些方法。

关键词：辅助线；构造；重叠；全等三角形

人人都说几何难，难就难在添辅助线，如何让学生既快又准地添加辅助线，一直是一个教学难点。当已知条件中含有线段相等时，我们经常引导学生通过构造全等三角形来解决问题。构造两字说起来简单，可对大部分学生来说却比登天还难。如何突破构造全等三角形的难点？让移动重叠来揭开它神秘的面纱吧！

一、题目呈现和解答

例1：如图1所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求 y关于x之间的函数关系式。

【分析】题目要求y关于x之间的函数关系式，而四边形ABCD的形状为不规则四边形，因此需要把不规则图形利用割或补的方法转化为规则图形。此题涉及全等三角形的性质与判定、勾股定理、求二次函数解析式等知识。解此题的关键在于如何通过添加辅助线，将求不规则四边形面积的问题转化为规则图形的面积来求。通过构造全等三角形来转化，可得如下解题方法。

这是二次函数第一讲作业中的最后一题。从学生的完成情况来看，全班37位学生，仅3位学生做正确，另有2位学生把全等三角形构造出来了，但将3∶4∶5对应错误，导致解题不完全正确。而大部分学生则是将题目空在那里，束手无策。和学生交流后我发现学生的主要问题集中在不知道如何去添辅助线，而此题的突破口就是通过构造一个全等三角形，把不规则四边形面积问题转化为规则图形的面积来求。

从例1及以往的经验，我们可以发现，构造全等三角形是添加辅助线的一种常用方法。如何去构造全等三角形？为什么这样去构造？只能这样构造吗？这就成了我们需要思考的问题。为什么大部分学生总是构造不出来？是否可以把更为简单的已知条件作为突破口让学生去尝试构造？既然是构造全等，那就应该有最基本的线段或角相等，能否以此为突破口，找到此类题型添加辅助线的共同方法呢？

二、移动重叠论构造

在例1中，我们发现有已知条件线段AB=AD，是否能以此为思维突破口呢？既然这两条线段相等了，那么这两条线段就可以重叠了。接下来是线段AB不动，让线段AD及所在图形（一般是三角形）移动过去重叠，还是线段AD不动，让线段AB及所在图形（一般是三角形）移动过来重叠呢？我们发现，这样的重叠图形都可以构造出4个，如图3、图4所示。

观察图3这四种移动方案，发现当移动到如图3所示的△ AED时，能把已知条件中的∠BAD=90°利用起来，使点A、E、C三点共线，根据全等三角形线段之间的关系，又能把已知条件AC=4BC利用起来，得到两直角边之比为3∶4的Rt△CED，利用方程思想和勾股定理就能把不规则图形中的各边表示出来，进而表示四边形ABCD的面积，因此确定构造方案如图2所示；另外，我们还可以发现，当移动到如图3所示的△AE′′D时，不规则四邊形ABCD的面积问题可转化为求梯形ACDE′′的面积问题，根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底E′′D、下底AC、高AE′′分别用含x的代数式表示，可表示四边形ABCD的面积，所以还可以有如图5所示的构造方案。

同样，观察图4这四种移动方案，发现同样有两种构造方案有利于题目的解决，在这里不再一一展开。

三、归纳与感悟

从上面的探索中，我们可以发现，移动重叠的方法是一个经历探索的过程。它是根据全等的性质对应边相等，联想到线段相等就有可能是全等三角形的对应边，就可以重叠。而线段重叠是学生比较容易操作和模仿的，关键在于带着图形（一般是三角形）去重叠时相等线段的端点如何去对应，第三个端点在这条线段的哪个方向。于是就产生了4种构造全等三角形的辅助线了。观察哪种图形更有利于沟通已知条件与求解目标的内在联系，有时会有多种构造法，此时就产生了一题多解，选择最优的构造方法，把构造出的图形用辅助线的形式表述出来，完成求解过程。

下面利用移动重叠的探索方法，让我们来感悟经典构造法名称的由来，而不是如参考答案或教师讲的突如其来的“像是帽子里跑出一只兔子”式的证明方法。

1.中线倍长法

例2：如图6，已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2，求BC的长.

【分析】此题涉及勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解答此题的关键是根据题意做出辅助线。由已知条件中线AD，可得出BD=CD，进而想到尝试用移动重叠的方法，当线段BD不动时，可得图7。观察这四种移动方案，发现只有移动到如图7所示的△A′DB时，与已知图形中∠ADC形成对顶角模式，点A、D、A′三点共线，出现新的三边可知的△A′BA，利用勾股定理逆定理找出Rt△A′BA，找到Rt∠A′，再利用勾股定理求出BD，与求解目标打通。因此确定构造方案如图8所示，所添辅助线为延长AD到A′使得A′D=AD，联结BA′，这就是经典的中线倍长法的由来。

2.旋转法

例3（2012·南充第14题）：如图9，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，求AC的长。

【分析】此题涉及等腰直角三角形的性质与判定等知识，同样是需要添辅助线才能解决问题，通过上面的探索方法，发现条件中有AB=AD，进而想到用移动重叠法来探索，如图10所示，最后确定构造方法如图11所示，所添辅助线为△ADC绕点A顺时针旋转90°使得点D与点B重合，点C的对应点为C′，这就是经典的旋转法构造全等三角形。

四、直接应用

例4：如图12，在等腰△ABC中，AB=AC，顶角∠A=20°，在边 AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC的度数。

【分析】此题涉及全等三角形、正三角形、等腰三角形的性质和判定等知识点。学生解此题困难很大。但如果根据本文的探索，发现条件AD=BC，进而想到移动重叠的方法进行尝试的话，难度就不攻自破了。根据BC所在三角形有两个，考虑让BC不动，移动AD及AD所在三角形，如图13所示，发现C′和C′′点的构造方案出现了特殊图形正三角形，能够再次利用AB=AC的条件，进而求解，最后确定构造方案如图14或图15所示。以图15为例，可得如下解题方法。

解：如图15，移动△ADC，使得点A与点B重合，点D与点C重合，点C的对应点为C′′，连结AC′′。

因为AB=AC，∠BAC=20°，

所以∠ABC=∠ACB=80°.

因为△ADC≌△BCC′′，

所以∠CBC′′=20°，AB=AC=BC′′.

所以∠ABC′′=60°.

所以△ABC′′为正三角形.

所以∠BAC′′=60°，AC′′=AB=AC.

所以∠CAC′′=40°.

所以∠AC′′C=∠ACC′′=70°.

所以∠BC′′C=10°=∠ACD.

所以∠BDC=∠DAC+∠ACD=30°.

移动重叠不仅仅是构造全等的一种探索，它还包含了分类讨论的思想、图形的变换等知识，也为以后学习相似的构造做了铺垫，而在探索过程中出现的各种图形，都是全等三角形章节中常见的基本图形。因此在我们的教学过程中，特别是当几何中开始出现需要添辅助线构造全等时，要多给学生提供这个经历移动重叠的探索过程的机会，使其在探索中积累基本活动经验。这样学生才能真正明白构造两字的含义，由慢到快地去添加辅助线。辅助线添法繁多，又无定法，移动重叠仅仅是全等构造法的一种探索，并不绝对，更多的是需要我们在平时多探索、多思考、多积累。

参考文献：

[1]王亚权.一道习题解答的心理历程[J].中国数学教育：初中版，2014（12）：39-42.

[2]刘宪敏.数学探究性学习方式探析[J].中国数学教育：初中版，2013（06）：18-19.

编辑 范昕欣