基于数学三个世界的数学概念高效教学

吴 华，崔艳姣

（1．辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029；2．辽宁师范大学 教师教育研究中心，辽宁 大连 116029）

基于数学三个世界的数学概念高效教学

吴 华1，崔艳姣2

（1．辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029；2．辽宁师范大学 教师教育研究中心，辽宁 大连 116029）

数学三个世界包括具体化世界、过程概念化世界和形式化世界3个认知发展方式，数学三个世界理论反映了人类学习数学的认知发展过程．并将数学分为3个发展阶段：实用数学，理论数学，形式数学．根据数学三个世界的认知发展过程，从概念—具体化、符号—过程概念化、公理—形式化3方面探索基于数学三个世界理论的数学概念高效教学．

数学三个世界；认知发展；数学概念；高效教学

英国华威大学教授韬尔（Tall）2004年以认知主义、建构主义、新皮亚杰主义和认知科学等理论为基础提出了数学三个世界理论．数学三个世界理论下的数学教学着眼于学生的认知发展过程，根据学生的年龄特点，考虑学生原有的经验能力组织教学，促进学生对知识的内化过程．这里主要介绍韬尔近年来关于数学三个世界的研究成果，以及在数学三个世界理论支持下的数学概念高效教学．

1 数学三个世界理论

韬尔尝试了解从儿童到数学家认知发展的基本特征，包括怎样、为什么不同个体以不同的方式进行数学思考？他发现存在3个明显的方式：

（1）现实世界中个体的感官知觉和自然活动，个体对这些知觉和活动进行思考．

（2）算术、代数和一般解析形式中符号的使用，个体通过计算和操作得到答案．

（3）数学的形式公理世界，利用量化集合论命题中的公理和定义进行逻辑证明．

随着不断地探索研究，这些方式已经具体成为一种理论：数学三个世界．不同的世界有不同的操作方式，判断三个世界的有效性和真实性有不同标准．这里数学三个世界使用的“界”不是指范围，是指不同的思维发展方式，它们的定义和特征如下[1～4]：

1.1 感知与活动的具体化世界

具体化世界是对客观世界知觉和活动的反思，以对世界的感知为基础．由对外部世界和精神世界的感知和认识组成，通过反思和使用日益丰富的语言，专注于感官体验，形成对概念的理解．在这个世界中数学学习的对象是具体的、形象的、可见的，称为“概念——具体化世界”，简称“具体化世界”．

1.2 符号的过程概念化世界

过程概念化世界是算法、代数及微积分等学科中估计和运算的符号世界，开始于概念概述（如数数），通过符号运用实现从操纵数学过程到数学思考的有效转换．算术中的符号（如2+3）有双重内涵：过程（加法）和概念（和），韬尔从“process”（过程）和“concept”（概念）中各取一部分创造了一个新词“precept”（过程性概念），因此，将第二个世界称为“符号——过程概念化世界”，简称“过程概念化世界”．

1.3 定义和证明的形式化世界

形式化世界以对象性质为基础，根据形式化定义利用公理建立数学体系（如群、域、向量空间、拓扑空间等），这个世界称为“公理——形式化世界”，简称“形式化世界”．

2 数学三个世界的认知发展过程

数学三个世界的认知发展顺序：首先具体化世界来源于对自然的感知和活动．然后，过程概念化世界开始于具体的行动，如计数、加法、分组和分配，到发展数字的符号形式，如总和、乘积、除法等，这个世界以既是过程又是概念的双重性符号的运用为特征．最后，个体会到达公理、定义和证明的形式化世界．

具体化包括感知和活动，对客观对象进行活动操作引出它们的性质，然后在欧几里得证明中发展它们的形式化方面．具体化和符号化的重叠部分主要是关于对象的具体活动，如计数，并发展为数的符号操作．代数运算依据算术法则发展得到符号的形式化证明．两者都能从集合论定义得到形式化的数学证明，如图1．

图1 数学三个世界的认知发展过程

韬尔将数学分为3个发展阶段：最初的阶段涉及算术中空间、形状和计算的实践经验，称作“实用数学”，这一阶段包括认识和描述图形性质中的初始经验；下一阶段称为“理论数学”，包括复杂的具体化和符号化水平，称为具体的形式化和符号的形式化；第三个阶段称为“形式数学”，指代数学中基于集合论定义和推理的“形式体系”．

3 基于数学三个世界的数学概念高效教学

3.1 数学概念教学

数学概念有以下几个方面的特征[6]：（1）概念发展的抽象性．数学本身的一个基本特点就是抽象性，数学概念的发展也是一个抽象的结果；（2）概念表征的多元性．表征是用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到交流目的，当表征的意义被熟悉以后，表征转化为思维材料，进一步简化过程；（3）概念理解的层次性．数学概念理解的层次性是由数学本身的特点有关，也与学习者个体的心理发展水平有关．（4）概念联结的系统性．数学概念的前3个特征直接导致了它的第四个特征，那就是：数学概念具有广泛的联系．既包括概念与其背景的联系，也包括概念之间的联系；既有纵向的联系，也有横向的联系．因此，数学概念的一个最重要的特征是他们都被嵌入到组织良好的概念体系中．

不同的数学概念有其自己的背景和内涵，概念之间的联系也是错综复杂的．要理解和掌握这些概念，就是要理解和掌握这些概念的内涵和外延以及它们的表达形式（包括定义、术语、符号等），了解这些概念的来龙去脉（它们的实际背景，是如何产生和发展的），还要了解相关概念的区别和联系，并逐步学会如何运用这些数学概念来分析和解决数学问题和实际问题，这必然是一个漫长而复杂的认识和实践过程，而且这个认识过程还要受到学生的认识水平和能力的制约，因而对不同的教学对象和不同的教学阶段就有不同的教学要求[9]．

3.2 基于数学三个世界的数学概念高效教学

高效教学要求在整个教学过程中，以学生为主体，教师引导学生探索发现，使新的知识得到充分内化，学生能力和认知水平得到充分发展．因此要根据学生的认知发展特点及过程组织教学活动，实施高效课堂．

韬尔通过多年研究发现学生在学习中存在两种建立数学概念的方式：（1）关注特定对象性质，首先描述性质的特征，然后给出定义；（2）关注数学程序的过程和步骤，如将加法、减法、乘法、函数计算、求导等过程，压缩为相应的可想象的概念如和、差、积、函数、导数．因此，数学概念教学应考虑学生学习数学概念的方式，结合数学概念的特征组织教学．

数学三个世界采用联结主义的课堂方式，教师作为导师精心安排课堂活动，鼓励学生沿着基本思路，进行小组讨论，交流思想和挑战问题建立对知识的联结，进行快速高效的教学[5]．下面以椭圆、双曲线的概念教学为例，探索基于数学三个世界的数学概念教学过程．

3.2.1 概念—具体化

在具体化世界，个体通过对外部世界的感知和操作认识事物，教学中要将概念与具体情境联系在一起．具体化图形演示可以促进学生对相关知识的认知，提高教学高效性．

根据概念发展的抽象性，教师可以利用动态几何软件分别演示椭圆和双曲线的形成过程，并通过演示a＞c、a=c和a＜c时的图形情况，帮助学生理解定义内容以及椭圆与双曲线之间的联系和区别．

因为概念表征具有多元性，随着学生对椭圆和双曲线概念的初步了解，之后的教学需要引入符号方程，但利用具体化图形推导椭圆和双曲线方程变得尤为困难，需要用具体的符号进行计算推导．因此可见，随着数学内容变得越来越复杂，由具体化向符号化的转化是必要的．

3.2.2 符号—过程概念化

在过程概念化层面，个体通过符号操得到概念的符号形式．通过具体化层面的教学，学生已经习得椭圆的定义：平面内到两定点的距离的和等于定长的点的轨迹是椭圆．教师可以引导学生在直角坐标系中设轨迹上的任意点为P(x,y)，两定点为F1(-c,0)、F2(c,0)（a＞c），根据椭圆定义PF1+PF2=2a，得到

推导得出椭圆方程

学生在掌握椭圆和双曲线的定义和符号过程后，为拓宽学生对概念的理解，可引导学生思考：到两定点距离的积和商为定值的点的轨迹是什么？学生通过推导，得出新的函数方程，并使用图形计算器画出函数图像，探索函数性质．这一过程是由符号过程概念化回到具体化的过程，是符号的具体化．最后使学生得到圆锥曲线系统的相关概念，建立概念间的联结．

上面的表达式

是完全不同的程序，但给出的是同样的结果，可以看作是一个对象．知识的压缩是从关注程序的步骤转移到程序产生的结果．通过以上可以看到，等价的程序有同样的结果，两个程序代表的是同一个对象，并形成可想象的概念，最后达到对过程性概念中过程和概念的灵活转换，从而促进学生对所学概念认知的高效性．

由活动（action）到结果再到可想象概念的转换发生在具体化和符号化中，这给出了从关注常规程序转移到建立日益复杂的数学思考上的基本途径，一些学生属于越来越熟练地使用程序，另一些则更善于进行灵活的思考．教师的主要作用是作为引导者鼓励大多数学生一起通过复杂或简单的方法将知识压缩为可想象的概念．

3.2.3 公理—形式化

在形式化层面，个体改变大脑的先前经验，运用量化集合论命题下定义，进而得到相关的概念．在椭圆和双曲线概念教学中并没有太多接触形式化层面，在上一层面中，探索到两定点距离的积和商为定值的点的轨迹的过程就是形式化推理过程，在此就不作赘述．

韬尔的同事和他的博士生Marcia Pinto（1998）跟踪调查学生学习形式化数学分析的概念时发现，有两种截然不同的学习方式[4]：一个是“自然的”方式，根据个体概念意象的前变量（包括具体和符号）解释定义，另一个是“形式化”方式，提取概念定义的含义．自然思维建立在具体化和符号象征的基础上，而形式化思维建立在概念定义的基础上，如图2．因此，教师应根据不同学生的思维方式组织安排教学活动，以达到高效教学的目的．

图2 概念学习的途径

4 结 束 语

数学三个世界理论给出了人类学习数学的认知发展过程，为认知发展研究提供了新的方向，为教育工作者进行数学教学研究和提高数学教学高效性提供理论基础和框架．随着对数学三个世界不断深入的发展和研究，相信一定会带来许多对学生认知方式和数学教学模式的新思考．

[1] David Tall. The Transition to Formal Thinking in Mathematics [J]. Mathematics Education Research Journal, 2008, 20, (2): 5-24.

[2] David Tall. Building Theories: the Three Worlds of Mathematics [J]. For the Learning of Mathematics, 2004, 24(1): 9-32.

[3] David Tall. Differing Modes of Proof and Belief in Mathematics [C]. International Conference on Mathematics: Understanding Proving to Understand, 2002.

[4] David Tall. Encouraging Mathematical Thinking That both Power and Simplicity [C]. APEC-Tsukuba International Conference, 2006.

[5] David Tall. Teachers as Mentors to Encourage Both Power and Simplicity in Active Mathematical Learning [C]. Plenaryat the Third Annual Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics and Computing, 2007.

[6] 鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[7] 周士民，聂立川，王君．认知发展研究新成果——David Tall的“数学三个世界”理论[J]．数学教育学报，2013，22（3）：8-11．

[8] 索云旺，张启华，廖爽，等．高效数学教学行为特征指导下的数学课堂教学设计——以“函数概念教学设计为例[J]．数学教育学报，2013，22（5）：91-96．

[9] 匡继昌．如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J]．数学教育学报，2013，22（6）：74-78．

[10] 王光明．高效数学教学行为的特征[J]．数学教育学报，2011，20（1）：35-38．

[11] 杨田，王广辉．透视高效数学课堂教学行为——基于优秀初中数学教师的个案研究[J]．数学教育学报，2011，20（2）：37-40．

[12] 李吉宝．数学概念教学应帮助学生形成七种数学观念[J]．数学教育学报，2011，20（2）：88-89．

High Effective Mathematics Concept Teaching Based on the Three Worlds of Mathematics

WU Hua1, CUI Yan-jiao2
(1. Mathematics College, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China; 2. Teacher Education Research Center, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China)

The Three Worlds of Mathematics includes three methods of cognitive development: the embodied world, the proceptual world, and the formal world. The theory of the Three Worlds of Mathematics reflects the human cognitive development process of mathematics, and the development of mathematics can be divided into three stages: “practical mathematics”,“theoretical mathematics”, “formal mathematics”. According to the cognitive development process of the Three Worlds of Mathematics, we explore the high effective mathematics concept teaching based on the Three Worlds of Mathematics, from three aspects of conceptual-embodied, symbolic-proceptual and axiomatic-formal.

the three worlds of mathematics; cognitive development; mathematics concept; high effective teaching

G420

：A

：1004–9894（2015）03–0048–03

[责任编校：周学智]

2014–12–31

辽宁省高等教育教学改革研究项目——现代教育技术与学科课堂教学方式改革的研究与实践——以数学学科为例

吴华（1964—），女，辽宁沈阳人，教授，硕士生导师，主要从事数学教学论和现代教育技术与数学教学整合的相关研究．