基于Cramer法则的区间灰数预测模型参数优化方法研究

曾 波, 石娟娟，周雪玉

(1. 重庆工商大学 a.工商务策划学，b.装备系统服役健康保障重庆市级国际联合研究中心，重庆 400067；2.渥太华大学 机械工程系， 渥太华 安大略 K1N 6N5 加拿大)

基于Cramer法则的区间灰数预测模型参数优化方法研究

曾 波1a,1b, 石娟娟1b,2，周雪玉1b

(1. 重庆工商大学 a.工商务策划学，b.装备系统服役健康保障重庆市级国际联合研究中心，重庆 400067；2.渥太华大学 机械工程系， 渥太华 安大略 K1N 6N5 加拿大)

以改善区间灰数预测模型的模拟及预测性能为目的，对区间灰数预测模型的参数优化方法进行研究，应用Cramer法则推导了核序列GM(1,1)模型通用形式的参数无偏估计新方法，从理论上证明了新方法对非齐次指数“核”序列的模拟无偏性，并在此基础上构建了一种新的区间灰数预测模型；通过与优化前的区间灰数预测模型模拟精度进行比较，结果表明新模型具有更为优秀的模拟及预测性能。此研究成果对丰富和完善灰色预测模型方法体系与拓展灰色模型应用范围，具有积极意义。

灰色理论；预测模型；Cramer法则；区间灰数；参数优化

一、引 言

灰色预测模型是灰色理论的重要分支，是处理小样本不确定性预测问题的常用方法[1]，区间灰数预测模型是灰色预测模型体系中的重要组成部分，它实现了传统灰色模型建模对象从实数到灰数的延伸，对拓展灰色预测模型的应用范围、促进灰色预测模型与现实问题的有效对接、丰富灰色预测模型理论体系，均具有重要价值[2]。

方志耕等人较早对区间灰数预测模型建模方法进行了研究，定义了标准区间灰数和第一与第二标准区间灰数的概念，设计了普通区间灰数与标准区间灰数之间的转换规则，构建了基于GM(1, 1)的区间灰数预测模型[3]；孟伟基于区间灰数标准化处理的研究思路，通过将区间灰数进行标准化处理，推导并构建了基于区间灰数标准化的区间灰数预测模型，将该模型成功应用于城市外来工数量的预测[4]；曾波以区间灰数的“核”为基础，以“灰度不减公理”为理论依据，推导了面向区间灰数的模拟及预测模型[5]；曾波等人又提出了基于灰数带及灰数层的区间灰数预测模型[6]；吴利丰等人在避免区间灰数之间代数运算的前提下，通过区间灰数认知度构建了一种新的区间灰数预测模型[7]；袁潮清等人将区间灰数序列转化成相应的发展趋势序列和认知程度序列，充分利用了区间灰数序列自身所包含的有效信息，所构建的区间灰数预测模型具有较好的实用性[8]；刘解放等人提出了基于核与灰半径的连续区间灰数预测模型，在不破坏灰数整体性的前提下,实现了对于连续区间灰数的预测[9]；王大鹏等人提出了合成灰数灰度的定义及其性质，据此分析了模型存在的问题，并建立灰度序列的预测模型实现灰度预测，以代替原有模型中灰度预测值的确定方法，从而改进和完善了原有区间灰数预测模型[10]；郭晓君等人结合动力系统自忆性原理，构建了基于合成灰数灰度的区间灰数自忆性耦合预测模型[11]；还有学者组合了区间灰数序列的几何特征与代数特征，并根据区间灰数的取值分布信息，对区间灰数预测模型及区间灰数白化方法进行了研究[12-14]。目前，区间灰数模型已经被应用于经济指标预测、用水量预测、客运量预测、地下水位预测、电力负荷预测等领域[15-19]。

目前，由于现有区间灰数之间的代数运算将导致结果灰度增加，因此为了规避区间灰数之间的代数运算，上述区间灰数预测模型均是从不同角度将区间灰数序列转换成实数序列，之后再建立这些实数序列的GM(1,1)或其他单变量灰色模型，以实现对区间灰数上界及下界计算公式的推导。然而，大量的理论研究与实际应用证明，GM(1,1)模型是有误差的，因此建立在该模型之上的区间灰数上界及下界模拟及预测值，同样也存在误差。为了解决该问题，本文拟应用Cramer法则对区间灰数“核”序列的无偏估计方法进行研究，在此基础上构建一种新的区间灰数预测模型，并通过与参考文献[5]中的区间灰数预测模型的模拟精度进行比较，证明本文所提出的区间灰数预测模型具有更好的模拟及预测性能。

二、基于Cramer法则的区间灰数核序列GM(1, 1)模型参数估计

根据定义1与定义2可知：

(1)

式(1)可变形为：

(2)

(3)

若Ν≠0，则非齐次方程组(3)的解为：

(4)

其还原式为：

(5)

式(5)称为基于Cramer法则参数估计法的区间灰数核序列GM(1, 1)新模型，通过式(5)推导得到的区间灰数预测模型，称为Cramer区间灰数预测模型，简称CIGM(1,1)模型。

三、CIGM(1,1)模型性质

性质：CIGM(1,1)模型能实现非齐次指数序列的无偏模拟。

证明：设区间灰数核序列为非齐次指数序列：

(6)

根据式(6)可知：

在Γ1中，u、q、v均为常数，根据行列式性质对Γ1进行简化得：

Γ1=

类似地，Γ2、Γ3简化为：

Γ2=

Γ3=

根据Cramer法则得：

(7)

类似地

根据式(5)可知CIGM(1,1)模型的还原式为：

(8)

根据式(8)可知：

⋮

(9)

四、模型比较与精度分析

本节将以参考文献[5]中所提出的区间灰数序列为建模对象，分别应用CIGM(1,1) 模型及参考文献[5]中所提出的模型对该区间灰数序列的核序列、上界及下界序列进行模拟，并对模拟精度进行比较和分析，以验证CIGM(1,1)模型相对于既有模型的有效性与实用性。

计算得：

(二)CIGM(1,1)模型的构建及模拟误差的比较

表1 两个模型核序列模拟值、残差及模拟误差对比表

(三)区间灰数上下界的推导及模拟误差的比较

根据区间灰数核的定义及计算方法，可以推导出对应区间灰数上界及下界的模拟值及模拟精度，计算结果见表2。

表2 两个模型区间灰数上下界模拟值、残差及模拟误差对比表

从表1和表2看出，本文所提出的CIGM(1,1)模型，无论在核序列还是区间灰数上下界的模拟误差方面，均优于参考文献[5]所提出的区间灰数预测模型，其主要原因是CIGM(1,1)模型本身是一个能够自适应齐次及非齐次指数序列的智能模型，它能够根据建模序列的实际情况应用Cramer法则自动优化模型参数；参考文献[5]中所提出的区间灰数预测模型的核心是GM(1,1)模型，该模型的最终还原式为一个完全齐次指数函数，这限制了该模型对近似非齐次指数序列的模拟能力，而且即使对于一个完全符合齐次指数规律的序列，该模型同样存在模拟误差，所以本文提出的CIGM(1,1)模型具有更加优良的模拟性能。

五、结束语

目前，由于灰代数运算体系尚不完善，灰数间的代数运算将导致结果灰度增加，因此研究人员在构建区间灰数预测模型时为了规避建模过程中的区间灰数运算问题，通常将区间灰数序列按照不同方法转换成实数序列，然后通过建立实数序列的单变量灰色预测模型，实现对区间灰数上界及下界的模拟及预测。可见，单变量灰色预测模型性能之优劣对区间灰数预测模型之精度具有重要影响。基于此，本文从优化单变量灰色预测模型精度的角度改善原有区间灰数预测模型的模拟性能，主要通过Cramer法则对区间灰数“核”序列进行无偏估计，进而构建了能自适应齐次及非齐次指数序列的智能灰色模型CIGM(1,1)，该模型能够根据建模序列的实际情况应用Cramer法则对模型参数进行自动优化，具有较为优秀的模拟性能。如何将本文的研究思路应用于优化离散灰数预测模型及白化权函数已知条件下的区间灰数预测模型，将是本项目团队下一步研究的主要内容。

[1] Liu S F, Forrest J, Yang Y J. A Brief Introduction to Grey Systems Theory[J]. Grey Systems: Theory and Application, 2012, 2(2).

[2] Zeng B, Guo C, Liu S F. A Novel Interval Grey Prediction Model Considering Uncertain Information[J]. Journal of the Franklin Institute, 2013,350(10).

[3] 方志耕, 刘思峰.区间灰数表征与算法改进及GM(1,1)模型应用研究[J].中国工程科学,2005,7(2).

[4] 孟伟, 刘思峰. 区间灰数的标准化及其预测模型的构建与应用研究[J]. 控制与决策,2012, 27(5).

[5] 曾波. 基于核和灰度的区间灰数预测模型[J]. 系统工程与电子技术. 2011, 33(4).

[6] Zeng B, Liu S F, Xie N M. Prediction Model of Interval Grey Number Based on DGM (1, 1)[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2010, 21(4).

[7] 吴立丰, 刘思峰. 区间灰数序列的灰色预测模型构建方法[J]. 控制与决策, 2013, 28(12).

[8] 袁潮清, 刘思峰. 基于发展趋势和认知程度的区间灰数预测[J]. 控制与决策, 2011, 26(2).

[9] 刘解放, 刘思峰, 方志耕. 基于核与灰半径的连续区间灰数预测模型[J]. 系统工程, 2013, 31(2).

[10]王大鹏, 汪秉文, 李睿凡. 考虑合成灰数灰度性质的改进区间灰数预测模型[J]. 系统工程与电子技术. 2013, 35(5).

[11]郭晓君, 刘思峰,方志耕. 基于合成灰数灰度的区间灰数自忆性预测模型[J]. 系统工程与电子技术. 2014, 36(6).

[12]Zeng B, Li C, Long X J. A Novel Interval Grey Number Prediction Model Given Kernel and Grey Number Band [J]. The Journal of Grey System, 2014, 26(3).

[13]曾波, 刘思峰. 白化权函数已知的区间灰数预测模型[J]. 控制与决策, 2010, 25(12).

[14]张军, 曾波. 区间灰数序列的白化方法及其性质[J]. 统计与信息论坛, 2012, 27(8).

[15]Xie N M, Liu S F, Yuan C Q. Grey Number Sequence Forecasting Approach for Interval Analysis: A Case of China's Gross Domestic Product Prediction [J]. The Journal of Grey System, 2014, 26(1).

[16]Tian M, Cao Y, Xie N M. IN-GM(0, N) Cost Forecasting Model of Commercial Aircraft Based on Interval Grey Numbers [J]. Kybernetes, 2012, 41(7).

[17]马国梁. 区间灰数模型在工业需水预测中的应用[J]. 节水灌溉, 2014(5).

[18]陈勤. 基于区间灰数DGM(1,1)模型的客运交通量预测[J]. 数学理论与应用, 2014, 34(3).

[19]陈勤. 应用基于核序列的区间灰数模型预测地下水位动态[J]. 科技视界, 2014(32).

[20]战立青，施化吉.近似非齐次指数数据的灰色建模方法与模型[J].系统工程理论与实践,2013,33(3).

[21]刘思峰,方志耕,谢乃明.基于核和灰度的区间灰数运算法则[J]. 系统工程与电子技术,2010,32(2).

(责任编辑：郭诗梦)

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本刊编辑部

Research on the Parameter Optimal Method of Interval Grey Number Prediction Model based on Cramer Rule

ZENG Bo1a,1b, SHI Juan-juan1b,2, ZHOU Xue-Yu1b

(1a. College of Business Planning, 1b. Research Center of System Health Maintenance,Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China;2. Department of Mechanical Engineering, University of Ottawa, Ottawa K1N 6N5, Canada)

The parameter optimal method of interval grey number prediction model was studied to improve its simulative and predictive performance in this paper. It applied Cramer rule to deduce the novel unbiased estimation method of GM(1,1) model common form for interval grey numbers' kernel sequence, and the simulative unbiasedness of the novel method for nonhomogeneous exponent kernel sequences has been theoretically proven and a new interval grey number prediction model has been established. Comparing the simulative accuracy of the novel model with that of the previous interval grey model without parameter optimization reveals that the novel method has better performances in terms of modeling and prediction. The findings in this paper enrich the literature of grey prediction model and pave the way towards extending the application of grey model.

grey theory; prediction model; cramer rule; interavl grey number; parameter optimal

2015-03-30；修复日期：2015-04-21

国家自然科学基金项目《多源信息集结条件下灰色异构数据序列预测建模方法及其应用研究》(71271226)；中国博士后科学基金资助项目《灰信息数据类型异构条件下灰色系统预测建模方法研究》(2014M560712)；重庆市基础与前沿研究计划项目《面向异构数据的灰色预测系统建模对象拓展研究》(cstc2014jcyjA00024)

曾 波，男，四川威远人，工学博士，教授、博士后，研究方向：系统预测、决策及评价方法。

N941.5

A

1007-3116(2015)08-0009-07