一道不等式习题的探究性学习

●黄兆麟 (天津水运高级技工学校 天津 300456)

一道不等式习题的探究性学习

●黄兆麟 (天津水运高级技工学校 天津 300456)

求差法是证明不等式最基本的理论方法之一.虽然是最基本的，但其中也同样能孕育出创新元素.例如人教A版《普通高中课程标准实验教科书(数学选修4-5)》“不等式选讲”第41页习题3.2第6题:

例1 设x1，x2，…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求证:

本题是教材柯西不等式的课后习题，编者的目的很明显，是希望人们能用柯西不等式解决该题.今天我们希望有所创新，看看不用柯西不等式，只用简单基本的求差法，到底能不能解决该题.

数学家华罗庚在他的名著《数学归纳法》中曾教导我们，要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍!

1 探究

1.1 退

我们先“退”到三元的情形.

例2 设x1，x2，x3∈R+，且x1+x2+x3=1，求证:

证明 由不等式(2)的全对称性，不妨设x1≥x2≥x3，则

故不等式(2)成立.

师:以上证法有2个关键点:一是三元排序后，不等式左、右2边必须平均分配作差;二是平均作差后，表达式M1中有左、中、右3项，其中的左项非负，中项符号不确定，而其中的右项非正，以中项为平衡点(即中项不动)，左、右2项可同时同向放缩即达目的，我们不妨称这种放缩法为“正负同向放缩法”(或称为“左右平衡放缩法”).有道是:有正项，有负项，放缩之后同方向;左右正负不相同，放缩中间找平衡.

生1:此法很实用，回避了利用高等不等式以及绝妙的配凑技巧，连初中生都能接受.

1.2 进

我们再“进”到四元的情形.

例3 设x1，x2，x3，x4∈R+，且x1+x2+x3+x4=1，求证:

生2:老师，在四元不等式中，我们到底应该选哪一项为平衡点，是第2项还是第3项?

师:这个问题问得好，在三元情形中，肯定是选中项，因为中项的符号不确定，是不进行放缩的.但对于四元情形，首次排序后，应该有2项符号不确定，即第2项和第3项，故应有2个平衡点.

证明 由不等式(3)的全对称性，不妨设x1≥x2≥x3≥x4，则

故不等式(3)成立.

师:以上证明过程原来要进行2次放缩!其中第1次放缩后需要将前2项及后2项分别合并，合并后的新2项符号可确定，前项非负，后项非正，再进行一次放缩，不等式右边即可归零.

1.3 证明

现在我们来证明n(其中n≥3)元情形.

生3:老师，对于n(其中n≥3)元情形，是不是应该有n－2个平衡点，这样就将要放缩n－2次，是否太麻烦了?

师:你的担心也不无道理，如果是这样的话，左右平衡放缩法在多元情形中就将失去生命力，那么只能解低元情形了.但车到山前必有路，对于n元情形，我们可以根据n个元的算术平均值来确定一个平衡点的位置，这个平衡点可以在n元中，甚至可以不在n元中!

至此，表达式M中共有n个差项，其中前m个差项分子均非负且递减，同时后n－m个差项分子均非正且递减.又注意到

故不等式(1)成立.

生4:太棒了!老师，我觉得对于证明n元情形，这种证法叫“正负同向放缩法”很恰当，其中共有m个非负项，n－m个非正项，可同时同向放缩，而更神奇的是，这个m，我们并没有求出其值，而是设而不求!数学真是太美妙了!

师:说得好!对于三元情形，求差后表达式M中共有左、中、右3项，故可称此法为“左右平衡放缩法”.而对于n元情形，称为“正负同向放缩法”更贴切!在n元情形中，正是由于这个n并未给出具体的数值，具有抽象性，理论上我们才得以确定出相应(抽象的)m的位置;如果给出n的具体数值，反而不好确定相应(具体的)m的值了.这正是数学的抽象性给人带来的美感!

对于数学美，我们应该及时体会它，不断认识它，处处挖掘它，积极利用它.有道是:雅怀深得花中趣，妙虑时闻笔里香.

2 应用

正负同向放缩法具有较大的应用空间，它特别适合全对称代数不等式或三角不等式的证明.下面先证明一道含上界的全对称代数不等式.

例4［1］已知x，y，z为正实数，证明:

原证法利用了2次代数换元，又通过构造三角形的方法，最后利用了一个三角不等式才完成证明，过程曲折繁复，人为地抬高了难度.现在我们利用正负同向放缩法给出其初等简证.

即可.由不等式(5)的全对称性，不妨设x≤y≤z，则

且y2+z2－2x2≥0及x2+y2－2z2≤0.设不等式(5)左、右2边之差为M2，则

即不等式(5)成立，从而

即不等式(4)成立.

下面再证明一道全对称三角不等式题.

例5 在△ABC中，已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则

文献［2］利用一个引理以及许多三角公式才给出以上不等式链(6)的一个证明，这里仅用正负同向放缩法即给出不等式链(6)的优化简证.

证明 首先证明链(6)中第1个不等式.

由链(6)中第1个不等式的全对称性，不妨设a≥b≥c，则

且a2－bc≥0及c2－ab≤0.又设链(6)中第1个不等式左、右2边之差为M1，则

即链(6)中第1个不等式成立.下面再证链(6)中第2个不等式.由链(6)中第2个不等式的全对称性，不妨设a≥b≥c，则

即链(6)中第2个不等式成立.

3 总结

正负同向放缩法具有一般性，特别适合一类全对称三角(或代数)不等式的证明，以证明三角不等式为例，我们可归纳总结出如下4个主要步骤: 1)利用全对称性，首先不妨设3个内角满足A≥B≥C，且同时有及，并令待证不等式左、右2边之差为M;

2)将不等式2边各项对应地平均分配作差得M=h(A，B，C); 3)利用及将h(A，B，C)中含A和C正负(符号)相反的左、右2项同时进行一次同向不等式放缩(含B的中项不进行放缩)，得到含B的相同因子的3项后合并(有些题目此步还需分类讨论，有些题目则不需要);

4)利用一个熟知(或已知)的不等式再进行一次不等式放缩，最终得到M≥0.

4 思考

当今的时代是需要人们不断创新的时代.所谓创新，就是要敢于打破常规，要敢前人未敢想，干前人未敢干的事!不等式(1)的证明，按照常规的解法，应该用柯西不等式的分式形式，即所谓的权方和不等式来证明的.而本文则是打破常规，以基本的求差法为平台，开创出“正负同向放缩”的新思路.数学教育家波利亚曾指出:一个思路使用一次是技巧，使用多次就是方法.正负同向放缩法正是这样诞生的新方法，其主要过程可概括为:平均分配作差，正负同向放缩.它的发现朴实自然，水到渠成，它并没有包含什么新的公式、新的理论，都是用现成的技术组装得到的.我们每一个数学工作者在日常的学习中，只要做一个有心人，都能在茫茫的解题过程中不时地、不断地发现新思路、新方法.只有这样，我们才能“有所发现，有所发明，有所创造，有所前进”.最后，写下美国阿波罗登月计划总指挥韦伯说过的一句话，与同行们共勉:阿波罗计划中没有一项新发明的技术，都是现成的技术，关键在于综合.

［1］ 李建泉.数学奥林匹克问题［J］.中等数学，2015(1):47-49.

［2］ 魏烈斌.a2+b2+c2≥bc+ca+ab≥的一个类似［J］.数学通报，2009(2):40.