提出问题是实现数学思考的显性表现——“图形的旋转复习课”的教学实践与思考

●傅瑞琦 (金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

提出问题是实现数学思考的显性表现
——“图形的旋转复习课”的教学实践与思考

●傅瑞琦 (金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

近日，笔者所在教研室组织了一次九年级复习教学研究活动，内容是“图形的旋转”，其主题是“有效促进数学思考”.

“数学思考”作为一种“过程性目标”，是课堂教学组织实施的一个基本出发点，需要创设问题情境，引导学生在观察探究、独立思考、合作交流中经历“做数学”，通过发现问题、提出问题和分析解决问题，形成数学的思维方式.“图形旋转”的复习，其目的是回忆旋转概念、识别旋转图形、运用旋转性质解决有关图形变换问题，学会思考与表达，形成内在的知识联系，落实“数学思考”的目标.

为了使活动能够聚焦话题，理解“数学思考”的内涵，采用“同题异构”的形式，2位教师选用同一个例题，力求经过对教学素材不同的处理方式，产生不同的教学效果，引起听课教师的关注，通过进一步地研究和探讨，寻求复习教学的有效途径.

1 教学素材选择

例1 如图1，E是正方形ABCD的边CD上一点，延长CB至点F，使BF=DE，联结AE，AF，能通过旋转△ADE得到△ABF吗?请说明理由.

本素材为浙教版教材“3.2图形的旋转”后的作业题，“在正方形背景下赋予旋转的内容、呈现的基本图形”为学生所熟悉，容易与三角形、四边形和圆等知识相联系，有很大的可塑性和进一步拓展的空间.

图1

图2

2 教学片段回顾

教师A

教师引导学生回顾旋转的概念、条件和性质后，呈现例题:

例2 如图2，在正方形ABCD中，E是边CD上任意一点，将△ADE顺时针旋转得到△ABF.旋转中心是哪一点?旋转了多少度?旋转角有哪些?

生1:旋转中心是点A，旋转了90°，旋转角是∠DAB.

生2:还有∠EAF也是旋转角.

师:若正方形ABCD的边长是8，DE=6，点E在旋转时经过的路径长是多少?生3:该路径是一段弧长，其长度是5π.

师:△ADE在旋转过程中扫过的是什么图形?你能求出它的面积吗?小组讨论3分钟.

生4:△ADE在旋转过程中扫过的是以AE为半径、圆心角为90°的扇形.

生5:不对，扫过的图形是“扇形+△ADE”.

生4:不对，旋转过程中不应该包括△ADE.

面对2位学生的争论，教师指出△ADE在旋转过程中扫过的部分应该包括三角形，求解后呈现练习，在学生练习巩固中完成这节课的教学.

教师B

图3

例 3 如图 3，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE顺时针旋转.

画一画 自己给定旋转的角度，你能够画出图形吗?

想一想 如图2，请你用直角三角板操作，观察旋转过程，从旋转的概念、性质出发，你能够提出什么问题吗?

(学生画图，教师将一位学生的作品即图2呈现在黑板上.)

生1:这一过程中，旋转中心是什么?旋转了多少度?旋转角有哪些?

生2:旋转后可以得到哪些等量关系?

师:你能回答吗?

生3:旋转中心是点A，旋转了90°，旋转角有∠EAF，∠DAB.

生4:有△ADE≌△ABF，AE=AF，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=∠AEF=45°等.

算一算 如果正方形边长为8，DE=6，你能提出几个问题让大家求解吗?独立思考后，与同桌交流.

2分钟后，学生汇报得到以下问题:

问题1 AE的长是多少?

问题2 EF的长是多少?

问题3 点E在旋转时经过的路径长是多少?

问题4 线段AD扫过的面积是多少?

……

生5:在Rt△ADE中，AE=10;在等腰Rt△AEF中，点E在旋转时经过的路径长是

师:除了在等腰Rt△AEF中可以求得EF，还有其他方法吗?

生7:在Rt△EFC中，

师:类似问题3，你还可以提出什么问题?

生8:点D在旋转时经过的路径长是多少?

师:类似问题4，你还可以提出什么问题?

生9:线段AE扫过的面积是多少?线段 DE扫过的面积是多少?

师:线段DE扫过的图形与前2者是否一样?你能画出图形吗?

生10:线段DE扫过的图形是图4中阴影部分.

图4

图5

师:从刚才同学们提出问题的角度看，点旋转后可以求其经过的路径长，线段旋转后可以求其扫过的面积.你还可以提出什么问题?

生11:△ADE扫过的面积为多少?

师:△ADE扫过的图形由哪几部分组成呢?

生12:△ADE扫过的面积由△ADE与扇形EAF组成，面积是50π+24.

理一理 上述的问题解决过程中，你有哪些经验?

生13:旋转前后的图形是全等图形，存在的等量关系计算时可以利用.

生14:旋转画图的关键是找旋转中心、旋转方向和旋转角度.

……

议一议 以正方形的2条边建立如图5所示的直角坐标系，正方形ABOD的边长为8，点E是y轴上一点，将△ADE顺时针旋转90°，AE与x轴交于点F.

师:你能提出什么问题让大家思考?如果你感觉困难，可以在点E的坐标为(0，10)条件下提出问题，先独立思考，再小组交流.

3分钟后，小组汇报结果如下:

1)当点E(0，10)时:

问题5 求直线AF的解析式.

问题6 求AD与EF的交点G的坐标.

问题7 求△OEF的面积.

2)当点E在y轴上时:

问题8 若EF与线段AD交点为G，△AGF能否为等腰三角形?

……

生15:对于问题5，利用点A(－8，8)和F(－6，0)联立方程组，就可以求出直线AF的解析式为y=－4x－24.生16:对于问题6，由于，即解得，所以点G的坐标是

师:我们先研究问题8，根据你的经验，△AGF为等腰三角形有几种情况?

生17:根据顶点的不同分类，有AG=AF(图6)，GA=GF(图7)，FA=FG(图8)这3种情况.

图6

图7

图8

师:你是如何画出这些图形的?

生18:用三角板旋转就会发现△AGF为等腰三角形时的各种情况.

师:下面我们重点研究图8，你用什么方法求点E的坐标?

生19(方法1):如图8，过点F作FH⊥AD于点H，设BF=DE=t，由△EGD∽△GHF得，即，解得，故 E(0，

师:还有其他方法吗?

生21(方法3):由△DEG∽△ADE，利用DE2= DG·DA得到t2=(8－2t)×8.

师:问题7如何求?

生23:△OEF的面积是

师:对于△OEF的面积问题，我们发现:当点E位于点D时(如图6)，△OEF的面积为正方形面积的一半，即为32，你能进一步提出问题吗?

生24:点E是否还存在其他位置，使得△OEF的面积也为32?

师:说说你的求解思路，由于点E在y轴上，求解时还需要注意什么?

生25:旋转三角板发现，△OEF的位置除了如图8所示的情况，还有图9和图10这2种情况，只要设点E(0，t)，根据面积为32得到关于t的方程.

图9

图10

师:刚才我们研究Rt△OEF的数量关系，对于Rt△OEF，你还可以从哪些角度提出问题?

生26:点E在y轴上运动的过程中，以E，O，F为顶点的三角形与△ADE是否相似?

师:好，这是从相似角度提出问题，请画出2个三角形相似的状态，具体求解可以课后完成.

生27:我发现有4种可能(如图11～14所示):

图11

图12

图13

图14

师:你是如何画的?怎样才能做到全部找出来?

生28:用直角三角板，将直角顶点放在点A，旋转一周，观察点E的位置，来判断2个三角形相似的可能性.

说一说 通过这节课的复习，说说你对旋转的理解，可以从哪几个角度去总结?

教师引导学生从知识内容、性质结论和思想方法等角度概括总结.

3 教学片段分析

3.1 就题论题，难于发展学生的数学思考

教师A组织学生回忆旋转概念、性质，使知识条理系统化，有层次地呈现问题，引导学生分析，在问题的逐步解决过程中，完成对旋转的复习.但在这一过程中，关注更多的是旋转知识，忽视了学情，没有按学生多发错误进行编拟，学生也就是按部就班地解答教师提出的问题.虽然也组织了学生合作交流，但辩论的焦点是三角形扫过图形的认定，与旋转本质关联不大.一问一答，更多的是进行即时思考，难于消除学生对旋转知识的模糊认识或错误理解，来进一步认清知识的本质和发展数学思考.

3.2 经历探究，让学生真正体会知识的发展与联系

教师B的教学，其显著特点是引导学生提出问题.在“想一想”动手操作中，教师引导学生从旋转的概念、性质角度提出问题;“算一算”引导学生从旋转知识的直接应用提出问题，在求解过程中建立知识之间的联系;“理一理”引导学生总结解题经验，体会其中的数学思想、研究方法，为进一步解决问题拓宽思路;“议一议”变定点为动点，让学生从运动观点提出问题进行思考，将旋转的相关知识(包括方法和技能)自然、顺畅、扎实地联系起来，并有序地延展，使知识得到深化发展;“说一说”引导反思，从概念、结论、方法和思想4个层面来总结概括，优化对旋转的认识，在深入思考的过程中，深化对数学知识的理解，规范思维的逻辑，做到“思之有法”，为以后的问题解决提供了思路和方法.通过6个问题的引导，让学生充分经历了“动手操作—自主探究—合作交流—概括归纳—拓展应用”的过程，真正体会旋转相关知识的发展、联系和应用.

因此，教师A的知识呈现形式平铺直叙，难于发展学生的数学思考;而教师B引导学生提出问题让学生思考，曲径通幽、引人入胜，很好地发展了学生的数学思考.

4 复习课中数学思考的实践

4.1 实施数学思考的主要途径

旋转的定义、旋转的条件以及旋转的性质构成了一个完整的单元知识结构.而复习教学，就是要把平时相对独立的知识，以再现、整理、归纳的方式串起来，通过引领学生自己提出问题唤醒知识，进而加深对知识的理解.

1)动手操作，学会数学思考.图形旋转中回忆旋转性质、复杂图形中寻找相似三角形，都先让学生动手操作，有了自己动手的亲身经历，其思考过程是直观、真实、可靠的，经历自己建构知识的过程.

2)独立思考，体会数学思考.教师 A一问一答，缺少的是独立思考的时空，学生的回答是即时、浅薄的;教师B每一个问题的提出，都先让学生独立思考，如“算一算”中从计算角度提出问题，“议一议”从运动观点提出问题，学生都有自己独立思考的空间，在此基础的交流，是思维的碰撞，容易产生共鸣，这样为知识联系、数学创新打下基础.

3)合作交流，完成数学思考.教师B在面对思考空间较大的问题时，如“议一议”中△AGF是等腰三角形存在性问题探究，引导学生从不同的角度思考、交流后得出5种解决方法，体现思维的多元性;从数量上研究△OEF的面积问题，交流中引导学生操作，发现解的多样性，进一步从形状上研究△OEF的相似问题，从“操作中的发现”、“问题解决的不同思路”、“猜测得出的结论如何进行证明”、“在解题中你使用的方法”等角度进行交流，形成共识，从而获得知识和经验，共同完成数学思考.

4)及时反思，发展数学思考.教师B在“理一理”中引导学生反思自己的解题过程，“说一说”从内容、结论、方法和思想4个层面来引导学生反思.对于学生来说，这些及时的反思，能够帮助他们举一反三、触类旁通、领悟方法，比做题、解题本身更能发展学生的数学思维.

在每一环节中，教师B在引领学生自己提出问题上下足功夫，从其教学效果看，让学生提出问题，是一种有效的学习方法，是一种认知过程，也是一种认知策略，培养了学生积极思考的习惯，促进了学生的数学思考.

4.2 设计问题系列，引导学生有序提问

“数学方式的理性思维”的培养，需要学生积极地参与到每一个学习活动过程中，需要教师设置符合学生认知规律的问题系列，在一个不断进行问题提出、逐步探索、问题解决的过程中让学生体验、发现和归纳旋转的特征以及解决问题的思维方法，学会提出问题.如“想一想”中的问题是操作后直接的知识联系，“算一算”中的问题是旋转知识的直接应用，并在“理一理”中对求解思路进行反思，有了这些问题的铺垫，在“议一议”中让学生自己提出问题，并引导学生对等腰三角形、三角形面积最值以及相似三角形进行研究，特别是教师“你是如何寻找(相似三角形)?怎样才能做到全部找出来?”等问题的引导，不仅是反思解题的思路，更重要的是反思解决问题的过程.

在一组有层次、有梯度的问题引导下，学生思维循序渐进;在学生不断提出问题、解决问题的过程中，让学生充分感受到有序的数学思考，进而激活数学思维.