轴向运动载流梁磁弹性强迫振动分析

张立保，胡宇达，∗（1.燕山大学建筑工程与力学学院，河北秦皇岛066004；2.燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北秦皇岛066004）

轴向运动载流梁磁弹性强迫振动分析

张立保1，2，胡宇达1，2，∗
（1.燕山大学建筑工程与力学学院，河北秦皇岛066004；2.燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北秦皇岛066004）

摘 要：研究轴向运动载流梁在磁场环境下的磁弹性强迫振动。首先推出系统的动能、势能以及电磁力的表达式，进而应用哈密顿变分原理推出轴向运动载流梁在磁场环境中的磁弹性强迫振动方程。依据设定的位移函数，应用伽辽金积分法分别推出轴向运动载流梁在3种不同边界约束条件下的强迫振动微分方程，并对方程进行求解。通过算例，绘制出不同边界条件下轴向运动载流梁的频率变化曲线图、响应图和相图，分析磁场、电流密度以及轴向运动速度等对振动特性的影响。

关键词：载流梁；强迫振动；轴向运动；磁场；伽辽金法

0　引言

工程领域中许多结构可以简化为轴向运动结构模型进行研究，如发射电磁的轨道器件、运动的通电导线和轧制成型件等。这些结构处于磁场环境下会出现复杂的振动情况，因此研究磁场中轴向运动结构具有重要的理论和实用意义。Pellica⁃no［1］研究了轴向运动系统在外激励作用下的动态响应问题，并对试验和理论结果进行了分析。陈立群等［2⁃3］研究了轴向运动粘弹性梁的速度和粘弹性阻尼对稳定性区域的影响。陈树辉等［4⁃5］采用多元L⁃P法对轴向运动梁的内共振问题进行了研究。Baghania和Malekzadeh等［6⁃7］应用伽辽金法推导了梁的大幅强迫振动方程，研究结果表明轴向运动和惯性的影响可降低非线性频率。针对结构在磁场环境中的动力学问题，Wu［8］对热负荷和横向磁场作用下梁的大幅振动问题进行了研究。郑晓静等［9］研究了横向脉冲磁场环境下悬臂导电薄板的动力稳定性问题。Hu等［10⁃12］建立了轴向运动导电薄板和导电梁的磁弹性耦合振动方程，并对非线性共振及动力稳定性问题进行了分析。本文研究轴向运动载流导电梁在磁场环境下的强迫振动问题，讨论电流密度、磁场以及轴向运动速度等物理量对轴向运动载流梁强迫振动特性的影响。

1　轴向运动载流梁的磁弹性振动方程

考虑一导电梁在外加磁场B＝［0，By，0］环境中沿x方向以速度c做轴向运动，并受到轴向拉力F0x作用。如图1所示，梁长为l，高为h，宽为b，通入交变电流的密度矢量为J1＝［J0sinωt，0，0］，并记梁的横向振动位移为w（x，t）。

图1　轴向运动载流梁模型Fig.1　Model of current⁃carrying beam with axial movement

对处于磁场中做轴向运动的载流梁，其动能和势能的表达式分别为

为截面惯性矩，截面面积A＝ hb。

依据电磁理论［12］，Lorentz力的表达式为

其中，i、j、k表示各坐标轴的单位向量，Jx表示导电梁内感应电流强度沿x坐标轴方向的分量，且有

其中，σ为电导率。

根据式（3）和（4）可得梁在单位长度所受电磁力为

这样，基于以上动能、势能及电磁力的表达式并根据哈密顿变分原理，可得轴向运动载流梁的磁弹性振动方程为

2　不同边界条件下载流梁的振动微分方程

下面应用伽辽金法推导不同边界条件下载流梁的振动微分方程。

2.1两端铰支约束

轴向运动梁在两端铰支约束下的边界条件为

设满足两端铰支梁边界条件关于方程（6）的位移解为

将式（7）代入式（6）中，采用伽辽金法进行积分，得到两端铰支边界下轴向运动载流梁的强迫振动微分方程为

2.2两端夹支约束

轴向运动梁在两端夹支约束下的边界条件为

设满足两端夹支梁边界条件关于方程（6）的位移解为

其中，X＝cosh px－cos px－C（sinh px－sin px），

将式（9）代入式（6）中，采用伽辽金法进行积分，得到两端夹支约束下轴向运动载流梁的强迫振动微分方程为

2.3铰支⁃夹支约束

轴向运动梁在铰支⁃夹支约束下的边界条件为

设满足铰支⁃夹支梁边界条件关于方程（6）的位移解为

其中，X＝cosh px－cos px－C（sinh px－sin px），

将式（11）代入式（6）中，同样采用伽辽金法进行积分，得到铰支⁃夹支约束下轴向运动载流梁的强迫振动微分方程为

3　振动方程的解

将载流梁的振动微分方程（8）、（10）、（12）写成如下统一形式：

其余系数为

1）两端铰支情况：

2）两端夹支或铰支⁃夹支情况：

通过对方程（13）的求解，可得表征系统振动的振幅放大因子为其中，频率比

4　算例分析

下面针对轴向运动铝制材料梁进行计算分析，主要参数为：密度ρ＝2 670 kg/m3，弹性模量E＝71 GPa，电导率σ＝3.63×107（Ω·m）－1，梁长l＝1 m。

4.1放大因子随频率的变化特征

图2～4为不同边界条件下轴向运动梁的幅频特性曲线。图2～4的（a）中，梁的轴向运动速度取为c＝10 m/s，比较不同磁感应强度对放大因子的影响；图2～4的（b）中，磁感应强度取为By＝0.12 T，比较不同轴向运动速度对放大因子的影响。

图2　放大因子随频率变化曲线图（两端铰支）Fig.2　The change curve of the amplification factor with frequency（both ends hinged）

图3　放大因子随频率变化曲线图（两端夹支）Fig.3　The change curve of the amplification factor with frequency（both ends clamped）

图4　放大因子随频率变化曲线图（铰支⁃夹支）Fig.4　The change curve of the amplification factor with frequency（hinged⁃clamped）

由图2～4可以看出，不同边界条件下放大因子随频率比的改变呈现相似的变化规律，即在≈1的左侧，放大因子随频率比的增大而增大，在≈1的右侧，放大因子随频率比的增大而减小，最终趋近于一个定值。由图2～4的（a）可知，在选取参数相同的条件下，放大因子随磁感应强度的增大而减小；由图2～4的（b）可知，在选取参数相同的条件下，放大因子随轴向速度的增大而减小。放大因子的极值随磁场和轴向速度的增大而减小。当s→0时，即电流密度频率远小于系统固有频率时，放大因子β→1；当s→1时，此时出现共振现象，放大因子明显增大。

4.2放大因子随磁场的变化特征

图5～7为不同边界条件下放大因子随磁场的变化曲线图。图5～7的（a）中，梁的轴向运动速度为c＝20 m/s，电流频率为ω＝314 rad/s，比较不同轴向力对放大因子的影响；图5～7的（b）中，电流频率为ω＝314 rad/s，轴向力F0x＝500 N，比较不同轴向速度对放大因子的影响。由图5～7可以看出，放大因子随磁感应强度的增大而减小，且当磁场增大到一定值时放大因子趋近于一个相同值。由图5～7的（a）可以看出，不同边界条件下，放大因子随轴向力的增大而增大；图5～7的（b）则表明，放大因子随轴向速度的增大而减小。

4.3响应图和相图

图8～10绘制了不同边界条件下轴向运动导电梁的振动响应图和相图，并选取不同的电流值进行比较。其中给定梁的轴向运动速度为c＝20 m/s，电流频率为ω＝314 rad/s，磁感应强度为By＝0.3 T。由图中曲线可以看出，电流值越大轴向运动梁的振幅越大；当各参数选取相同时，载流梁在两端铰支边界约束下的振幅最大，而在两端夹支边界约束和铰支⁃夹支边界约束下的振幅较小，且两种情况下的数值比较接近。

图5　放大因子随磁场变化曲线图（两端铰支）Fig.5　The change curve of the amplification factor with magnetic field（both ends hinged）

图6　放大因子随磁场变化曲线图（两端夹支）Fig.6　The change curve of the amplification factor with magnetic field（both ends clamped）

图7　放大因子随磁场变化曲线图（铰支⁃夹支）Fig.7　The change curve of the amplification factor with magnetic field（hinged⁃clamped）

图8　两端铰支边界响应图和相图Fig.8 The response and phase graphs at the boundary of both ends hinged

图9　两端夹支边界响应图和相图Fig.9 The response and phase graphs at the boundary of both ends clamped

图10　铰支⁃夹支边界响应图和相图Fig.10 The response and phase graphs at the boundary of hinged⁃clamped

5　结论

本文对磁场中轴向运动载流梁强迫振动问题进行了研究，推导出了3种不同边界约束条件下的强迫振动微分方程。计算结果表明：

1）不同边界条件下放大因子及其极值均随磁感应强度的增大而减小，随轴向速度的增大而减小；

2）在频率比一定时，轴向运动载流梁的振幅随磁感应强度的增大而减小，随电流密度的增大而增大；

3）当各参数选取相同时，载流梁在两端铰支边界约束下的振幅最大。

参考文献

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［12］胡宇达 张立保.轴向运动导电导磁梁的磁弹性振动方程 J .应用数学和力学 2015 36 1 70⁃77.

Analysis of forced vibration of conductive beam with axial movement

ZHANG Li⁃bao HU Yu⁃da
1.School of Civil Engineering and Mechanics Yanshan University Qinhuangdao Hebei 066004 China 2.Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures of Hebei Province Yanshan University Qinhuangdao Hebei 066004 China

AbstractThe forced vibration of the conductive beam with axial movement in the magnetic field environment is described in this paper.Firstly the expressions of the kinetic energy potential energy and the electromagnetic force of the system are concluded and then the equation of magneto⁃elastic forced vibration of the conductive beam with axial movement in the magnetic field environment is obtained by applying the Hamilton variational principle.Based on the displacement function set forced vibration differential equa⁃tions of the conductive beam with axial movement at the three different boundary conditions are acquired by using the Galerkin method.The graphs of the frequency change response and phase of the conductive beam with axial movement under the different boundary conditions are drawn and the influences of magnetic field current density and axial velocity on vibration are analyzed.

Key wordsconductive beam forced vibration axial movement magnetic field Galerkin integral method

作者简介：张立保（1988⁃），男，天津人，硕士研究生，主要研究方向为磁弹性动力学研究；∗通信作者：胡宇达（1968⁃），男，黑龙江牡丹江人，博士，教授，主要研究方向为磁弹性力学及非线性振动研究，Email：huyuda03＠163.com。

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11472239）；河北省自然科学基金资助项目（A2015203023）；河北省高等学校科学技术研究重点项目（ZD20131055）

收稿日期：2015⁃01⁃10

文章编号：1007⁃791X（2015）02⁃0170⁃07

DOI：10.3969/j.issn.1007⁃791X.2015.02.012

文献标识码：A

中图分类号：O442；O327