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洞察学生思维状况,提升数学思考能力

2015-05-30黄荣楣

课程教育研究 2015年12期
关键词:数学思考

黄荣楣

【摘要】数学思考是2011年版《义务教育数学课程标准》的四大目标之一,其在促进学生终身发展中的重要作用已经被广大教师所重视。因此,我们要深入了解学生的思维状况,及时发现学生思考中存在的问题,对癥下药,使学生逐步学会数学思考的方法,养成良好的思考习惯,不断提高学生的数学思考水平。

【关键词】思维状况 数学思考 分析推理能力 自我取舍能力 自主建构能力

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)12-0111-02

数学思考是2011年版《义务教育数学课程标准》的四大目标之一,其在促进学生终身发展中的重要作用已经被广大教师所重视。但在实际教学中,我们仍然能发现学生浅层思考、被动思考等现象——正如著名教育家肖川先生所指出,如今的课堂“想一想”多了,而真正独立、深刻、富有创造的“思考”却较少。面对这种现象,部分教师却缺乏关注及应对之策。因此,在教学时,我们要深入了解学生的思维状况,及时发现学生思考中存在的问题,对症下药,使学生逐步学会数学思考的方法,养成良好的思考习惯,不断提高学生的数学思考水平。

一、透视“做对”背后的问题——解决思维的盲点,培养学生分析推理能力

小学生面对新的数学问题时,目标往往就是解决问题,“做对”即可,不关注过程和方法是他们常见的心理特点。作为教师不仅要关注学生解决问题的结果,更要关注学生解决问题过程中是否深入思考分析,有效地培养学生分析推理的能力。

1.质疑变式,将学生浅层的思考引向深入

苏教版五年级下册《解决问题的策略——转化》的综合复习中,有这样一道题:比较图中两个阴影部分面积。如图:■。备课时,我预计这道题会是一个教学难点。可在检查作业中,发现同学几乎都做对了。倍感欣慰之余,特意请一位学习程度中等的学生说说怎么想的,他为难了半天说道:“老师,我是用尺子量出长和宽,算出来的。”而这种方法居然是班上大多数孩子的方法。多么出乎意料的答案,虽然能解决问题,但与提高数学思考能力的目标却相差甚远。于是,我先肯定了这位学生的做法,随即指出:“刚才量的结果只针对这幅图,如果将这个图形随意拉长,变短,结果阴影部分是不是还是一样呢?”说完,我利用课件将图形分别拉扁、拉高。突如其来的质疑,促使大家开始反思这种方法的局限性。通过几分钟的独立思考和相互交流,学生们发现:因为长方形的对角线,把长方形平分了,外边的大三角形一样大,里边两组小三角形也一样大,相减剩下的部分自然一样。无论怎么变化,只要里边的结构不变,结果都一样。在上述的教学环节中,学生最初的测量只是停留在浅层的直观判断,他们的思考依赖于数据的直接计算,而没有真正触及问题的本质。而此时学生们自己并末意识到这个思维盲点。正是因为老师的有效追问、质疑,才使学生深入思考,透过现象看本质,将直观的判断和严密的推理相结合,数学思维品质真正得以提高。

2.类比归纳,将学生单一的思考有效提升

教学中,常常出现如:“圆的半径扩大2倍,则周长扩大2倍,面积扩大4倍”等此类知识点改编的选择题、判断题或填空题,有部分的学生往往用举出一个例子的方法,直接填写答案,而且在作业、考试中屡试不爽,正确率高,学生也因此而沾沾自喜,认为找到了解决问题的捷径。随着学生认知水平的逐步提升,如果学生始终满足于停留在低层面的单一举例,将大大阻碍学生思维能力的提升;同时随着计算的难度加大,问题的复杂化(如探究圆锥的半径和高的变化,体积如何变化等问题),举例的方法也会出现数据不容易计算,因此正确率下降等诸多局限。此时,教师应适时根据学生的思维水平,给学生充裕的时间,让喜欢举例的学生多举出一些例子。通过一系列丰富的数学素材的观察比较、分析异同,发现其中的数学规律;最后,在规律的应用体会规律的普适性。这样学生学习到的不是单一的数学知识,而是独立探究后的数学规律。学习后,引导学生在反思中领悟到:通常在单一的例子中,产生了初步的判断后,我们不能就此满足,更应该对这一结论进行分析、演绎、论证,逐步学会利用已有知识经验,科学严谨地诠释自己发现的结论。

二、寻找“被学习”的原因——调整教学策略,培养学生自我取舍的能力

1.激发兴趣,唤起学生的内在学习需求

教学五年级下册“转化的策略”一课时,有道习题:“小明看书,已经看了全书的3/7,还有48页没看完,小明已经看了几页?”这类问题学生已经会用分数的方法解决。问题一旦解决,思维的惰性就随之而来。此时教师如果直接引导学生思考:将条件“已经看了全书的3/7”转化成“已看的是未看的3/4”,再思考一种新的方法:7-4=3,48×3/4=36。这样的学习,于无形中学生被老师强迫学习了。都说“兴趣是最好的老师”,此时教师不妨激一激学生:这样的题目你不是会了吗?那好咱们来现场比赛,看谁快?学生发现老师最快。老师到底用了什么方法呢?在这学习的“愤”“悱”状态,老师引导学生观察题中条件,想想会有什么新方法呢?学生的学习目的从“解决问题”,转向了“解决此问题有什么好方法”上,方向明确,热情高涨。此时,老师再引导学生抓住问题“小明已经看了几页?”利用已看完、未看完和全书页数之间关系,把条件转化成“已看的页数就是未看的3/4,问题即求48页的3/4是多少?”问题解决后,引导学生进行反思对比,总结转化方法与其他方法的异同,体会该方法的优越性及转化时的注意点。这样的学习过程,学生的探究需求强烈,方向明确,自主性强,自然印象深刻,有利于在今后解决问题中举一反三。

2.学会等待,留给学生选择和感悟的机会

“被学习”不仅来自老师,也常常来自反应快、成绩好的孩子。尤其是在方法多样化的时候,好孩子越说越有劲,举一反三,触类旁通。可苦了那些一知半解的孩子,本来还有点理解,结果越说越乱。教学是为了每个孩子的发展,而不仅仅是一节课堂教学的完整、成功。此时,即便有时出现一些低思维层次的方法,如果学生无法当场进行优化,教师不能放任自流也不能急于求成,而需要给学生不断体验与感悟的机会。

例如:苏教版教材第十册有这样一道习题:有三种书原来各有120本,现在《动物王国》还剩1/4,《植物世界》还剩下1/3,《地球故事》还剩2/5。哪种书卖出的本数最多?练习后汇报时,出現两种典型的解法:①直接比较每种书剩下的几分之几的大小,得出哪种书剩下的本数最少,再推想出这种书卖出的本数最多。②先算120÷4=30(本)120÷3=40(本)120÷5×2=48(本),再做比较。一般来说,第一种方法比较高效、简约、成熟。但在选择“你最喜欢的方法”时,出乎意料的是,在大部分学生选择方法1的时候,还有小部分学生在再三犹豫后选择了第二种,觉得后者好算。经过老师的仔细询问,了解到:原来,本题的120恰好是3、4、5的公倍数,帮助学生省略了通分时求公分母麻烦。对于部分学困生而言,比较1/3和1/4时,同分子分数的比较大小还未曾熟练;三个数通分,公分母又比较难找;把分数化成小数,计算相对繁琐。再加上此题还要逆向思考,剩下的越多,则卖出的越少。这么多思维活动让他们颇感吃力。所以看似幼稚、不成熟的解法二成了他们的最佳选择。此时,教师不要急于求成,而应留待学生在今后的学习中继续探究。如果相关的知识基础一一掌握并熟练化了,这时优化方法真正成为学生的一种内在需要,就会收到水到渠成的效果。因此,老师在教学时,不急于面面俱到,要给学生选择和感悟的机会。对于个体而言,别人的方法再好,如果不是学生自己主动建构的结果,没有触及学生的思维和情感领域,对学生的发展能起的作用都不大。

三、弹性对待“难处”——把握学习起点,培养学生自主建构的能力

1.沟通知识的内在联系,突破学习中的负迁移

小学生在思考问题时,有时容易受到已有知识经验的影响产生负迁移,而在学习中又无法实现自我突破。此时就需要教师精心设计,沟通知识间的内在联系,比较异同,巧妙地帮助学生理解新知。例如:一位老师在教学三年级下册《认识分数》一课,设计了以下教学环节:①复习旧知:用分数表示图中的涂色部分:■。当学生能准确说出用1/3后,教师变动其中的阴影部分的位置,让学生再次说出分数。②变化图形:出示■,通过引导,使学生清晰、顺利形成“把几个物体看做一个整体”的概念■,并意识到把“一些物体看成一个整体”和“一个物体”一样,平均分成几份,每份就是它的几分之一。……③出现矛盾冲突:当解决完■每份是整体的1/4后,教师出示了■。现在涂色部分是整体的几分之一呢?题目从原先的“一份就是一个”变成“一份有两个”该怎么思考呢?学生的答案很多样: 1/8(最多)、2/8、1/4;学生的想法也有些混乱:a.一份分子就是1,总数是8,所以分母为8,得出1/8;b.平均分4份,分母依然是4,但分子由1个变2个了,就是2/4……由于在前面的教学中,老师已经引导学生准确理解并表述:“把一个整体平均分成4份,每份就是它的1/4”,所以当产生各种新答案时,教师并不急于纠正,而是引导学生利用前面的知识来分析:把8个看成一个整体,平均分成4份,分母就是4;表示其中的一份,分子就是1。比较两题题目有什么不同,在方法上呢?在对比反思中,学生悟出:原来不论总数几个,平均分几份分母就是几;不论每份是几个,取几份分子就是几。教师引导学生举出几个类似的例子,完善新知,清晰建立知识结构,把握分数意义的本质。

2.适时提升,完善学生的认知结构

学生的学习起点有逻辑起点和现实起点。教材多是从学生的逻辑起点出发进行编写。但教材所认为的“难”,有时并非是学生真正存在的“难点”。因此,教师还要读懂学生:对于每节课的知识,学生已经知道了什么?什么地方学生误解了还不自知?还有哪些困惑?最想知道什么,哪些是有能力研究,哪些需要教师扶持帮助?对于后续学习,当下可以做哪些训练……这样,教学时才能以教材为载体,却不囿于教材,真正为学生发展服务。例如:苏教版数学五年级有这样的习题:找出每组数的最小公倍数

8和2 3和9 5和7 8和3

5和10 4和8 9和10 1和5

你发现什么?和大家交流。(教参中明确指出不要求学生对此题中的规律做进一步的抽象)教学中,学生经过观察发现:左边的四组最小公倍数都是较大的数,右边的最小公倍数都是它们的乘积。但若就此而止,学生的思维并没有真正得到发展,体现不了规律的价值性,反而导致学生乱用规律的现象。此时,学生最想知道的规律是:什么情况下,最小公倍数都是较大的数?什么情况下最小公倍数都是它们的乘积?因此,发现结论后,老师让学生模仿举例,通过大量的例子验证,学生总结得出:两个数是倍数关系时,较大的数就是它们的最小公倍数。右边相对复杂,也分类说了一些情况:相邻的两个自然数;1和任何数;两个素数;一个素数,另一个不是它的倍数;相邻两个奇数……学生在观察、猜想、举例验证中,激烈碰撞,不断完善自我发现。思维活跃者创新发现,不足者通过倾听、质疑、领悟,个个都显得十分兴奋。最后应用自己的发现完成练习,明确什么情况下具体用什么方法,使知识结构得以完善。最后在学习到最大公因数这一知识时,简化为“两个数的最大公因数是1,则它们的最小公倍数是它们的乘积。”这条规律本身具有可探究性,规律的发现对学生的学习也有着举足轻重的作用,虽然教参不要求抽象,但多数学生有能力研究、有兴趣研究、对于后续学习又有必要研究,此时教师能及时引导学生探究,无论是对学生知识的完善,还是思维的提升都不无裨益。

总之,学生数学思考能力的提升是一个循序渐进的过程。作为教师一定要时刻关注学生的思维状况,敏锐地洞察存在的问题,科学引导,使学生的思维得到持续地发展和深化。

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