浅谈如何培养尖子生

窦本旺

【摘要】 尖子生，顾名思义，就是成绩拔尖的学生.平时学习中尖子生的一个重要体现是在解题能力上，教师在教学中如何培养学生的解题能力？运用转化与化归数学思想来解决问题是一个常用的思路，这就要求教师要注意解题教学的安排，可见教师引领的好坏决定了一名学生能否成为尖子生的可能性.

【关键词】 培养;尖子生;能力

1. 严格要求，培养学生坚强的意志品质

这是成为尖子生的一个必要条件. 学生要经得起挫折，看到不会做的试题，要有战胜它的决心和毅力，百折而不挠，抓已知，审条件，深联想，愈挫愈勇， 直至问题的解决.

2. 合理引导培养学生自学、总结、反思的能力

这是成为尖子生的基石.新课标提倡学生自主学习，自我反思，自我总结.既要通晓高中数学全部教材的知识内容，给予必备的知识储备，又要通晓知识间的横向联系与纵向联系，更要在知识的交汇处发散自己的思维.如指数与对数、指数函数与对数函数、等差数列与等比数列等的横向联系，平面几何与立体几何、函数与导数等的纵向联系，向量与三角函数、框图与数列等的交汇处的联系.教师不仅要会解题，更要会改、编一些数学试题来增加学生的数学视野.

3. 教师的提问要有艺术性

这是学生是否成为尖子生，教师的提问最能体现教师的桥梁和纽带作用. 下面以2014年宿州市第一次质量检测的一道学生解答受阻的试题，来体现教师提问时，对学生的桥梁和纽带作用.

设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x） + xf′（x） > x2，下面不等式在R上恒成立的是 （      ）.

A. f（x） > 0      B. f（x） < 0      C. f（x） > x      D. f（x） < x

解答完毕后，培养了学生的类比与归纳的能力，留给学生充分的探索欲望，从而圆满完成本题所要解决的任务，为尖子生的培养建了一座质量上乘的桥梁.

4. 充分利用一题多解，培养学生思维发散、等价转化的能力

这是成为尖子生的训练场.下面以2014年高考新课标卷文21为例来给与说明.

（2014年高考新课标卷文21）已知函数f（x） = x3 - 3x2 + ax + 2，曲线y = f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（1）求a值;（2）证明：当k < 1时，曲线y = f（x）与直线y = kx - 2只有一个交点.

解法一（官方解答）：（1）易求得a = 1.

（2）由（1）知f（x） = x3 - 3x2 + x + 2.

设g（x） = f（x） - kx + 2，即g（x） = x3 - 3x2 + （1 - k）x + 4.

由题设知1 - k > 0.

当x ≤ 0时，g′（x） = 3x2 - 6x + 1 - k > 0，g（x）单调递增，

又g（-1） = k - 1 < 0，g（0） = 4，

所以g（x） = 0在（-∞，0]有唯一实根.

当x > 0时，令h（x） = x3 - 3x2 + 4，则g（x） = h（x） + （1 - k）x > h（x），h′（x） = 3x2 - 6x = 3x（x - 2），则h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，所以g（x） > h（x） ≥ h（2） = 0，即g（x）在（0，+∞）上没有实根.

综上g（x）在R上有唯一实根，所以k < 1时，曲线y = f（x）与直线y = kx - 2只有一个交点.

这种解法显然在x > 0构造不易想到，能不能让学生转化成我们熟悉的分离参数呢？于是可得解法二和解法三.

解法二（分离参数）：（1）略.

（2）依据题意，本题可转化为：当k < 1时，方程x3 - 3x2  + x + 2 = kx - 2只有一个根.

① x = 0时等号不成立;

② x ≠ 0 时，分离变量得：

k =

令g（x） =

所以g′（x） = .

当x < 0时，g′（x） < 0，所以g（x）在（-∞，0）递减;

当0 < x < 2时，g′（x） < 0，所以g（x）在（0，2）递减;

当x > 2时，g′（x） > 0，所以g（x）在（2，+∞）递增，

则g（x）的大致图像如上图，当x < 0时g（x）无最小值，当x > 0时，g（x）min = g（2） = 1，所以kmin = 1.所以k < 1时，曲线y = f（x）与直线y = kx - 2只有一个交点.

根据方法二，稍加变形，可得方法三.

解法三（切线法）：依据方法二，本题可转化为：当k < 1时，方程x3 - 3x2 + x + 4 = kx只有一个根.

令y1 = kx，y2 = x3 - 3x2 + x + 4，如图，设曲线y2过（x0，y0）的切线为y1 = kx，利用导数知识可得

3x02 - 6x0 + 1 = kkx0 = x03 - 3x02 + x0 + 4

得2x03 - 3x02 - 4 = 0，

所以x0 = 2，y0 = 2，

从而得k = 1.

所以k < 1时，曲线y = f（x）与直线y = kx - 2只有一个交点.

让学生仔细观察方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2，易知直线y = kx - 2恒过（0，-2），从而根据方法三可得解法四.

解法四（切线法）：因为本题可转化为：当k < 1时，方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2只有一个根.

令f（x） = x3 - 3x2 + x + 2，

由直线y = kx - 2恒过（0，-2），

过点（0，-2）可求得f（x） = x3 - 3x2 + x + 2图像上的切线的斜率为1，如图，数形结合，当k < 1时，y = f（x）与y = kx - 2只有一个交点.

著名数学特级教师周沛耕曾说过：“学数学有两个层次：听懂别人的话只是第一个层次，而悟出，才是第二个层次.”教师在教学中，首先要勤于钻研业务，熟悉知识内在的脉络和联系，对问题和教学要有一个宏观的把握.培养尖子生是一个循序渐进的优化过程，不能一蹴而就，课堂中的解题教学对尖子生的培养只是其中一个方面，重要的是让学生慢慢体会到解题的三个层次：“想转化”“能转化”“转化对”.哪怕碰到再难的试题，我们的学生也会知难而进，分析探索.