谈对反函数概念的理解

张永清

摘 要：一个函数的反函数以及什么样的函数才有反函数，函数的反函数怎样正确地求解，从正确理解反函数的概念出发，优先考虑函数的定义域，结合案例进行概述。

关键词：反函数；定义域；值域；自变量

反函数概念是中学数学中的一个重要内容，在反函数概念的学习中，要重视对概念的本质剖析，应从不同角度深刻理解其内涵、性质。

一、正确理解反函数概念中的有关符号

课本中的定义为：函数y=f（x）（x∈A）中，设它的值域为C。用 y把x表示出来，得到x=φ（y），这里y是自变量，x是自变量y的函数。我们把函数x=φ（y）（y∈C）叫做y=f（x）（x∈A）的反函数，记作 x=f-1（y），在x=f-1（y）中，y依然表示自变量，x依然表示函数。

而把x，y互换，把x=f-1（y）改写成x=f-1（x），纯粹是习惯上用 x表示自变量，y表示函数。

故：在反函数的概念中，关键是看清谁表示自变量。

我们知道在平面直角坐标系中，横轴表示自变量轴，纵轴表示函数值轴。而我们通常认为x轴为横轴，y轴为纵轴，就是由于习惯上用x表示自变量，y表示函数。故有人认为y=f（x）和x=f-1（y）揭示的（x，y）的同一关系，则为同一圖象。这种观点是不恰当的。它们的图象就应该关于直线y=x对称，原因就是在y=f（x）中，x表示自变量；在x=f-1（y）中，y表示自变量。而用哪一个字母符号表示自变量并不重要，关键是只要认为横轴表示自变量轴就足够了。

二、y=f（x-1）与x=f-1（x-1）是否互为反函数

因为y=f（x-1），则f-1（y）=x-1，x=f-1（y）+1，将x，y互换即得y=f（x-1）的反函数为y=f-1（x）+1，此函数显然与y=f-1（x-1）是不相同的。

因此，y=f（x-1）的反函数不是y=f-1（x-1）。下面例题1中的解法一是错误的，解法二是正确的。

三、坚持“定义域优先”原则

例2：求函数y=x2（x<0）的反函数。

四、几个重要结论

1.只有一一映射的函数才存在反函数。

2.单调函数一定有反函数，且互为反函数的两个函数同增减。

3.有反函数的函数不一定是定义域上的单调函数（例如y=）。

4.函数与其反函数的图象有公共点，则它们的公共点不一定全在直线y=x上（例如y=-x；y=；y=-x+2，x∈（0，+∞）等）。

5.分段函数的反函数是由分别求出各段逆表达式后合成的。

编辑 董慧红