准圆方程的几何审视

吴时月

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，解析几何的基本思想是用坐标法来研究几何问题，但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解，往往要用到繁琐的推理和计算.因此，在研究解析几何问题时，若能从几何的角度去审视研究对象，结合平面几何知识另辟蹊径，往往事半功倍、别样精彩.

文【1】通过代数方法解决并推广了2014年广东卷的第20题，并得到了以下命题：

命题1 已知椭圆x2a2+y2b2=1的两条互相垂直的切线的交点为P，则点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.

文【2】给出了椭圆的一个性质1：设直线l是过椭圆x2a2+y2b2=1上异于长轴顶点的点

M的切线，则两焦点F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1·d2=b2.

接下来，尝试从几何角度出发，重新审视该问题，得到了一个比较简洁的新求法，供读者参考.

证明 设椭圆x2a2+y2b2=1的两条互相垂直的切线为MP，NP.

点F1，O，F2到切线MP的距离分别为|F1A|，|OG|，|F2B|，

点F1，O，F2到切线NP的距离分别为|F1C|，|OH|，|F2D|.

由中位线的性质及性质1知：

|OG|2=|F1A|+|F2B|22

=|F1A|2+|F2B|2+2|F1A|·|F2B|4

=|F1A|2+|F2B|2+2b24.

|OH|2=|F1C|+|F2D|22

=|F1C|2+|F2D|2+2|F1C|·|F2D|4

=|F1C|2+|F2D|2+2b24.

所以，在矩形OGPH中，|OP|2=|OG|2+|OH|2=F1P2+|F2P|24+b2.

①

另一方面：在PF1F2中，2|OP|2+2c2=2F1P2+|F2P|2.

②

联立①②式，解得|OP|2=c2+2b2=a2+b2.

即点P的轨迹是准圆x2+y2=a2+b2.

研究完命题1，很自然地想到这个结论在双曲线中是否也成立呢？答案是肯定的.同样地，在双曲线中，也有以下性质：

性质2 设直线l是过双曲线x2a2-y2b2=1上异于长轴顶点的点M的切线，则两焦点F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1·d2=b2.

证明 设Masecθ，btanθ，则过M的切线方程为bsecθ·x-atanθ·y-ab=0.

由F1（-c，0），F2（c，0）到直线bsecθ·x-atanθ·y-ab=0的距离分别为

d1=|bcsecθ+ab|b2sec2θ+a2tan2θ，d2=|bcsecθ-ab|b2sec2θ+a2tan2θ

故 d1d2=|b2c2sec2θ-a2b2|b2sec2θ+a2tan2θ

=|b2（a2+b2）sec2θ-a2b2|b2sec2θ+a2tan2θ

=b2（b2sec2θ+a2tan2θ）b2sec2θ+a2tan2θ=b2.

命题2 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0）的两条互相垂直的切线的交点为P，

则点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2.

命题3 已知抛物线y2=2pxp>0的两条互相垂直的切线的交点为P，则点P的轨迹方程为x=-p2.

解析几何的基本思想是用代数方法来研究几何问题，但归根到底，其研究对象是几何问题.因此，在研究解析几何问题时，若从几何的角度去审视研究对象，挖掘研究对象的几何特征，是可以更深刻揭露问题的本质的，同时研究过程对提高思维的灵活性和创造性都也是有帮助的.

【参考文献】

[1]缪瑞红.高考试题中的定值“情结”[J].中学数学，2014（9）.

[2]沈文选，张垚，冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题[M].湖南：湖南师范大学出版社，2009.