圆锥曲线中一条过定点直线的探究之旅

王立振 袁清雯

本文讨论在圆锥曲线上两点M，N与左顶点A，有MA⊥NA的关系，直线MN是否过定点的问题.

探究1 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A（-a，0），M，N两点分别在椭圆C上且MA⊥NA，求证：直线MN过定点.

验证：（1）当直线的斜率不存在时，即MN⊥x轴时，记直线可设直线MN：x=m，可得Mm，baa2-m2，Nm，-baa2-m2.又由MA⊥NA， 则 baa2-m2=m-（-a），经化解可得m=-a（舍，记得A点）或m=-a（a2-b2）a2+b2.

所以直线MN的方程为x=-a（a2-b2）a2+b2，故其定点坐标为-a（a2-b2）a2+b2，0.

（2）当斜率存在时，令M（x1，y1），N（x2，y2），设MN：y=kx+m，得y=kx+m，

x2a2+y2b2=1， 化解：（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0.有x1+x2=-2a2kmb2+a2k2， x1·x2=a2（m2-b2）b2+a2k2;因为MA⊥NA，所以x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m） =（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+（a2+m2）=0，将上述x1+x2，x1x2代入上式中，化解可得（a2+b2）m2-2a3km+a2k2（a2-b2）=0，解得m=ak或m=ak（a2-b2）a2+b2.

当m=ak时，直线MN的方程为：y=kx+ak=k（x+a），恒过（-a，0），不符题意;

当m=ak（a2-b2）a2+b2时，直线MN的方程为：y=kx+ak（a2-b2）a2+b2=kx+a（a2-b2）a2+b2 恒过点-a（a2-b2）a2+b2，0.故：在椭圆中，直线MN恒过点-a（a2-b2）a2+b2，0.

那么双曲线是否也有椭圆这样的性质呢？

探究2 双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A（-a，0），M，N两点分别在双曲线C上，且MA⊥NA，求证：直线MN过定点.

证明：（1）当直线的斜率不存在时，即MN⊥x轴时，设直线MN：x=m，可得Mm，bam2-a2，Nm，-bam2-a2.又由MA⊥NA， 则 bam2-a2 =m-（-a），经化解可得m=-a（舍，记得A点）或m=-a（a2+b2）a2-b2.

（注：当a2-b2=0时，由MA⊥NA，有-2a2=2ma，得m=-a，即直线MN与x轴的交点为A点，不符题意.）

所以直线MN的方程为x=-a（a2+b2）a2-b2，故其交点坐标为（-a（a2+b2）a2-b2，0）;

（2）当斜率存在时，令M（x1，y1），N（x2，y2），设MN：y=kx+m，得y=kx+m，

x2a2-y2b2=1，

化解（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2（m2+b2）=0.

（注：当b2=a2k2时，k=±ba，直线MN与渐近线平行，所以MN与双曲线有两个交点，舍）有x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1·x2=-a2（m2+b2）b2-a2k2;

因为MA⊥NA，所以 x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+（a2+m2）=0，将上述x1+x2，x1x2代入上式中，化解得（b2-a2）m2+2a3km-a2k2（a2+b2）=0，解得m=ak或m=-ak（a2+b2）a2-b2.（注：当a2-b2=0时，由MA⊥NA，有2a3km-2a4k2=0，得k=0或m=ak.当m=ak时，即直线MN与x轴的交点为A点，舍;当k=0时，即直线MN与x轴平行，与x轴无交点，舍）.

当m=-ak（a2+b2）a2-b2时，直线MN的方程为y=kx+ak（a2+b2）a2-b2=kx+a（a2+b2）a2-b2.

恒过点-a（a2+b2）a2-b2，0.故：在双曲线中，直线MN恒过点-a（a2+b2）a2-b2，0.

结束语

著名诗人雪莱说：“除了变，一切都不能长久”.中学数学教师要有一种简单而执着的追求——将运动变化进行到底，解法的变化、问题的变化、教法的变化，通过对数学“变化”的执着追求.体现数学家的思维方式，折射教师的理念和智慧，用行动去感染学生、激励学生.