浅谈中学数学化归思想方法

陈珊珊

【摘要】数学思想是数学的灵魂.化归思想是中学数学重要的思想之一，学好化归思想对于中学数学的解题具有重要的意义.本文对化归的基本思想、基本方法进行了论述，通过典型例题对化归的原则进行了很好的说明，着力探讨了化归思想方法在中学数学中的应用以及该思想的教学策略.

【关键词】化归思想; 中学数学; 解题; 教学策略

一、前 言

化归是解决数学问题的一种重要思想方法.莫斯科大学教授C.A.雅诺夫斯卡娅有一次向奥林匹克数学参加者发表《什么叫解题》的演讲，她回答说：“解题就是把题归结为已经解过的题！”这个答案的简单震惊了在场的所有人.匈牙利著名数学家露莎.彼得曾指出：数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经得到解决的问题.

回首数学题目的解决过程，就会发现我们通常用转化的方法把生疏的、复杂的问题归结为熟悉、简单的问题，以便我们可以运用自己所学的知识，通过简单的方法去解决问题.这就是解决问题的基本思想方法——化归.

在中学数学中机会处处都贯穿着化归的思维，作为一个最基本的思想——化归，在其他的众多思想中也占主导地位.这就要求对化归思想的掌握要透彻，对其运用必须灵活，合理.所以掌握好化归思想的教学、方法等对于学习和研究数学的意义相当地重要.因此本文对化归的基本思想、基本方法进行了阐述，通过典型例题对化归的原则进行了很好的说明，着力探讨了化归思想方法在中学数学中的应用以及该思想的教学策略.

“化归”是转化和归结的简称.化归就是在不易解决或者难以从正面找到解决路径的问题A时，我们经常变动问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到把它化成熟悉的或者能够解决的问题B.

化归思想包括三个要素：对象，目标，方法.化归的对象就是待解决的问题中需要转化的成分，化归的目标就是转化后所要达成的规范化问题，化归的方法就是规范化的手段，措施.其中，化归方法是实现化归的关键.

二、化归思想方法在中学数学中的应用类型

化归思想在中学数学解题中的应用十分广泛，而化归思想几乎渗透整个中学数学思想.学好数学必须学会解题.由此可见，化归思想的掌握对数学学习有着至关重要的作用.下面阐述化归在中学数学应用中主要涉及的应用类型.

（一）正与反的相互转化

有时候，直接从条件入手，正面解决问题，可能会加重解题难度，甚至无法找到解题思路.这时候，可以考虑反面求解，会有意想不到的收获.

例1 已知函数f（x）=4x²-ax+1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a 的取值范围.

解法一（反面法）

当函数f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内没有零点时

4x2-ax+1=0 在（0，1）内没有实数根，

即在（0，1）内，a≠4x+1x.

而当x∈（0，1）时，4x+1x≥24x·1x=4，得

4x+1x∈[4，+∞）.

要使a≠4x+1x，必有a<4.

故满足题设的实数的取值范围是[4，+∞）

解法二（正面法）

设f（x）=4x2-ax+1，对称轴是x=a8，注意到f（0）=1>0，所以对称轴一定是在y轴的右边.

（1）当0

有Δ=a2-16≥0，

f（0）>0a≤-4或a≥4，

a∈R.a≤-4或a≥4，此时4≤a≤8;

（2）当a8≥1时，有f（1）<05-a<0a>5，此时有a≥8.

综合（1）（2）得实数的取值范围是[4，+∞）.

由以上两种解法，很明显可以看出第一种解法，也就是反面推正面的解法更加简单，第二种解法要求数形结合与分类讨论相结合，较第一种稍难.所以说化归中的正难则反可以为我们的解题带来方便.

（二）数与形的转化

1.几何问题代数化

例2 如图所示，已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1， M是的BC中点. 在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1 .

解 在平面BCC1B1内过B1作B1D⊥AB1交CC1的延长线于D，

AB21=AB2+BB21=5.

B1D2=B1C21+C1D2=1+C1D2.

AD2=AC2+BD2=1+（2+C1D）2.

5+1+C1D2=1+4+4C1D+C1D2.

C1D=14.

MN∥B1D. CNCM=C1DC1B1. CN=18.

当CN=18时，MN⊥AB1.

2.代数问题几何化

例3 求函数f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.

解析 f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37

=（x-2）2+（0-3）2+（x-6）2+（0-1）2.

设A2，3，B（6，1），P（x，0），

则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值，

如图所示，点A关于x轴的对称点为C（2，-3），

因为|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|=42，

所以f（x）的最小值为42.

这类问题首先要明确已知函数的几何意义，其次是把代数问题转化为函数或几何问题，然后利用图像来解决.

3.不等与相等的转化

一些数学问题看似相等的数量关系，但根据这些数量关系又很难解决这些问题.如果能从中找出一些不等的数量关系，从而建立不等式（组）进行转化，这样的做法往往可以获得事半功倍的效果.

例4 已知a，b都是实数，且a21-b4+b21-a4=1，求证：a4+b4=1.

分析 利用均值不等式再结合题目中的条件，就可以找出a与b之间的关系.

解 由均值不等式有a21-b4≤a4+1-b42，

b21-a4≤b4+1-a42，

等号成立的条件是a2=1-b4，b2=1-a4.

所以有a21-b4+b21-a4≤1，

又题目有a21-b4+b21-a4=1.

所以a4+b4=1.

4.变量与常量的转化

在解题中，若出现的变量较多，可以采取将变量转化为常量的方法，减少变量，简化运算.

例5 在△ABC中，求证cosA+cosB+cosC≤32.

解析 A，B，C都是变量

在△ABC中，A+B+C=π，令y=cosA+cosB+cosC，则

y=2cosA+B2cosA-B2+1-2sin2C2=-2sin2C2+2cosA-B2sinC2+1，所以有2sin2C2-2cosA-B2sinC2+y-1=0 将sinC2看成变量，y、 cosA-B2看成常量，那么该式子则为关于sinC2 的一元二次方程.因为sinC2为实数，所以该方程有实根，所以2cosA-B22-8y-1≥0，所以y≤1+12cos2A-B2≤1+12=32 .当且仅当A=B=C=π3时，等号成立，故cosA+cosB+cosC≤32.这里通过变量的转化，将问题转化为一元二次方程有解得问题，使之得到解决.

三、结束语

化归思想是中学数学解题的重要思想方法，贯穿于整个中学数学思想方法，我们必须灵活地掌握、运用它，才能更好地学好数学，提高数学学习的效率.虽然该方法被广泛地使用，但是它并不是万能的，不是所有的数学问题都可以通过化归来解决.化归思想以“数学发现”前提.因此，我们不能只停留在目前的阶段，而必须要具有创新精神，不断研究，并从中获得新方法、新理论.

【参考文献】

[1]彭启科.化归思想方法探讨[J].当代经理人，2006，05.

[2]李天刚.论化归思想与中学数学教学[D].辽宁师范大学.2011.