关于若干个不同形式的极限性质及其相互等价性质的证明
2015-05-30杨兆兰杨荣
杨兆兰?杨荣
摘 要：对数列和函数极限的保号性给出了一个等价的形式，并证明了其与若干个极限性质的相互等价性，对各种形式的极限性质给出了它们之间等价的本质关系，便于初学者更好地学习和理解极限及其性质。
关键词：极限；保号性；保不等式性；等价性
极限理论是微积分的理论基础，而极限的保号性是极限理论中重要的性质，因此深刻理解这些性质，对学好极限理论起着十分重要的作用。本文给出了数列和函数极限保号性等价的一种结论，并证明了各种极限性质之间的等价性。
一、数列极限保号性及与其他极限性质的等价性
性质1
（1）若liman=a，则对任何a′ 存在正数N，使得当n>N时有an>a′。 （2）若liman=a，则对任何a′>a，存在正数N，使得当n>N时有 an 证明（1）：设a′ （>0），存在正数N，使得当n>N时有—an-a—<ε=a-a′=an>a-ε=a′。结果得证。 对（2）的情形可类似证明。 命题1：性质1与下列数列极限的性质是等价的。 性质2 （数列极限的保号性） （1）若liman=a>0，则对任何a′∈（0，a），存在正数N，使得当n>N時有an>a′。 （2）若liman=a<0，则对任何a′∈（a，0），存在正数N，使得当n>N时有an 性质3（数列极限的保不等式性） 设an，bn均为收敛数列，若存在正数N0，当n>N0时有an≤bn，则存在liman≤limbn[1]。 性质4 （1）若liman=a>0，则存在正数N，使得当n>N时有an>0。 （2）若liman=a<0，则存在正数N，使得当n>N时有an<0[2]。 性质5 若liman=a，limbn=b，a 性质6 （1）若存在正数N，当n>N时有an≥0，且liman=a存在，有a≥0。 （2）若存在正数N，当n>N时有an≤0，且liman=a存在，则a≤0[2]。 证明：性质1=性质2：设liman= a>0，对任何a′∈（0，a），即有 a′ 性质2=性质3：反设结论不成立，即有liman>limbn，则对数列an-bn有，lim（an-bn）=有liman-limbn=c>0，由性质2（2）可知，对任何a′∈（0，c），存在正数N0，使得当n>N0时有an-bn>a′>0，即有an>bn矛盾，原结论成立。 性质3=性质4：设liman=a>0。若结论不成立，即对任意的正数Nk，都存在nk>Nk，但有an ≤0，由性质3可知，liman≤lim0=0，但an又为an的子列，所以有liman =liman=a>0，矛盾， 同理可证a<0的情况。 性质4=性质5：设cn=an-bn，则limcn=lim（an-bn）=a-b<0，由性质4（2）存在正数N，使得当n>N时有cn=an-bn<0，即an 性质5= 性质6：若存在正数N，当n>N时有an≥0，且liman=a存在，而a<0，则由性质5，取bn=0时，存在正数N，当n>N时有an 性质6= 性质1：设liman=a，及任何a′ 二、函数极限保号性及与其他极限性质的等价性 性质1 （1）若limf（x）=A，则对任何r （2）若若limf（x）=A，则对任何r>A，存在U0（x0），使得对一切x∈U0（x0）有f（x） 证明（1）：由r f（x）>A-ε=r。 对（2）的情形可类似证明。 命题2：性质1与下列函数极限的性质是等价的。 性质2 （函数极限的局部保号性） （1）若limf（x）=A>0，则对任何正数r （2）若limf（x）=A<0，则对任何正数r<-A，存在U0（x0），使得对一切x∈U0（x0）有f（x）>-r>0 [3]。 性质3（函数极限的局部保不等式性） 设limf（x）与limg（x）都存在， 且在某邻域U0（x0；δ）内有f（x）≤ g（x），则limf（x）≤limg（x）[4]。 性质4 设limf（x）存在，若limf（x）= A>0（或A<0），则存在U0（x0；δ），有limf（x）>0（或f（x）<0）[5]。 性质5 若limf（x）=A，limg（x）=B，若A
性质6
设limf（x）=A存在，且在某邻域U0（x0；δ）内有f（x）≥0（或f（x）≤
0），则A≥0（或 A≤0）[7]。
可仿照命题1的证明方法证明如下：
性质1=性质2：若limf（x）=
A>0，则对任何正数r
性质2= 性质3：反设结论不成立，即有limf（x）>limg（x），则对函数f（x）-g（x）有，lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）=C>0，由性质2（1）可知，对任何正数r
性质3=性质4：设limf（x）=A>
0，若结论不成立，即对任意的δn=—，
都存在xn>δn，但有f（x）≤0。由性质3可知，A=limf（xn）≤lim0=0，但由归结原则，有limf（xn）=limf（x）=A>0，矛盾。同理可证A<0的情况。
性质4=性质5：设c（x）=f（x）-g（x），则limc（x）=lim（f（x）-g（x））=
A-B<0。由性质4，存在U0（x0；δ），有c（x）<0，即f（x） 性质5=性质6：若limf（x）=A存在。且在U0（x0；δ）内有f（x）≥0，而A<0，则由性质5，取g（x）=0时，则存在U0（x0），有f（x） 性质6=性质1：设limf（x）=A， 及任何r f（xn）≤r，则f（xn）-r≤0，由归结原则及性质6可知，a-a′=lim（f（x）-r）≤0。但又由函数f（x）-r可知，lim（f（x）-r）=A-r>0，矛盾。同理可证r>A的情形。 在《数学分析（第四版）》中给出了数列极限性质1、3、5（函数极限性质2、3、5），但未给出它们之间相互等价的证明；同济大学应用数学系编的《高等数学》中给出了数列极限性质4、6（函数极限性质4、6）。也未给出它们之间相互等价的结论；相关论文也证明了数列极限性质2、3、4、6（函数极限性质2、3、4、6）的相互等价性，但未证明数列极限性质1、5（函数极限性质1、5）和其他极限性质的等价性。这些极限性质相互等价关系的证明，旨在帮助学习者更好地理解和掌握极限的性质。 参考文献： [1][3][4][6]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：29—30. [2][5][7]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001：23—30. （作者单位：杨兆兰 兰州文理学院师范学院；杨 荣 西北师范大学数学与统计学院）
