谈高中数学解题教学中的释疑策略

庄元奋

[摘要]高中数学学习中学生会提出很多问题，这些问题往往是学生经过深思熟虑之后仍然不能解决的学习难点，值得师生去探讨，寻找解决问题的一般方法.面对学生的问题和困惑，教师应既能答疑解惑，又能使这些问题发挥更大的作用，使更多学生受益.以最近学生问的一道题为例探析高中数学教学中的释疑策略.

[关键词]高中数学 释疑策略 问题

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）080018

一、引导学生主动探究

《普通高中数学课程标准》倡导积极主动、勇于探索的学习方式.笔者十分注重学生学习能力和思维能力的培养，在实践中充分结合自己的教学风格，引导学生进行有意义的探索，在面对学生的问题时，不直接告诉学生答案，而是引导学生去探索，鼓励学生多尝试，不怕失败，解决问题后不满足问题本身，多联系与此有关的问题.最近有两位成绩不错的学生问了笔者这样一道题.

【例1】 椭圆x2a2+y2b2=1，上顶点A（0，b），若直线l与椭圆相交于M、N（不同于A），设直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，若k1·k2=-1，求证：直线l过定点，并求定点坐标.

笔者没有回答这个问题，而是考虑到学生的知识基础和运算能力等，将这个问题中的椭圆特殊化，引导学生将椭圆方程变为x24+y2=1，

让学生思考.这样会避免繁杂的演算，使学生敢于尝试.然后，笔者问学生：“能否猜出定点坐标呢？”这时学生甲说：“我猜定点在y轴上.”学生乙说：“如果定点在y轴上，那么当M、N关于y轴对称时直线MN与y轴的交点就是所求的定点.”两位学生判断直线的斜率分别为±1，求得这个点为（0，-35）.通过画图简单求解，猜出答案，猜想是学生学习过程必不可少的环节.接着，笔者又问：“这个结论只是猜想，一定正确吗？”两位学生又通过直线AM取不同的斜率验证出直线MN都过定点（0，-35）.如果是求定点坐标问题，这样通过特殊的两条直线MN求出交点就可以了，但作为证明题还不能算完成.于是，笔者问：“这只是验证结论是成立的，你们能给出证明吗？”学生陷入沉思，纷纷去尝试证明，根据题目的条件AM⊥AN，两位学生讨论决定设其中一条直线的斜率为k，结果给出了以下的证明方案.

二、引导学生多联系，发现问题本质

问题解决之后，教师要根据问题反问学生，使得学生对问题的理解更为深刻，同时也培养学生主动去发现问题、勇于探索问题的习惯.如笔者给出例1的逆命题作为推论，让学生去思考探究.

推论1 已知椭圆x24+y2=1，上顶点A（0，1），过定点的直线l与椭圆相交于M、N（不同于A），求证：AM⊥AN.

在前面例题解答的基础上，学生很快就给出了问题的解答，同时对这个问题产生了很大的兴趣.笔者提问两位学生：“在双曲线或抛物线中有无类似的结论呢？”经过一番讨论，学生得到在抛物线中的如下命题.

【例2】 设坐标原点为O，抛物线y2=2px与不过坐标原点O的直线l交于A、B两点，则OA·OB=0的充要条件是直线l过定点（2p，0）.

例2概括了例1和推论1中的结论，笔者引导学生利用例1中的方法证明例2中的必要条件，利用推论1中的方法证明例2中的充分条件.与椭圆相比，抛物线中的计算过程要简单得多，笔者没有给任何提示，两位学生就完成了例2的证明.上述两道例题与推论都是经典的解析几何题，教师应当多引导学生探究，当然，“特性”只是我们自己找到的规律，教材中没有把它们作为定理，考试时还要加以证明.最后，笔者留给这两位学生两个探索性问题供学生带回去探究.

问题1 设坐标原点为O，抛物线y2=2px与不过坐标原点O的直线l交于A、B两点，且OA·OB=c（c为常数，且c≥-1），问：直线l是否过定点？如果过，求定点坐标；如果不过，说明理由.

解析：这是将问题推广到了更为一般的情况，直线过定点（p±p2+c，0）.

问题2 已知抛物线y2=2x上一点M（x0，y0），是否存在定点P，使过P的直线l与抛物线y2=2x交于A、B两点，且OA·OB=0恒成立，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

解析：利用前面例题的解题方法可以求得到定点P（x0+2，-y0）满足题意.

到这里才算完成释疑，笔者从学生所问的椭圆问题逐渐拓展、延伸到了抛物线问题，引导学生学会在学习中联系相关知识，达到“知一点明一片”的效果.

三、释疑后的体会

面对学生提出的疑难问题，教师首先要根据学生的情况，抓住学生的知识生长点，给出与此相关的较简单的问题让学生去探究，然后逐渐向问题靠近，从而解决问题；其次联系与原题有关的逆命题或类比推论，作为拓展训练；最后，给学生一些一般化的变式作为巩固练习.通过释疑过程，使学生掌握解决问题的方法，并能举一反三、触类旁通.

（责任编辑 钟伟芳）