函数之美

李迎春

【摘要】函数以变化为主线，呈现出独特的美.笔者从一元函数的角度出发，探讨由函数本身以及其延展出的极限、导数、微分、不定积分、定积分在变化的各个维度进行诠释时所释放出的美.本文为函数正名，为微积分的教学提供了精神上的支持.

【关键词】函数；美；变化

对很多人来说，函数的概念，是晦涩难懂的.这主要是因为它把人的思维上升到了一个新的台阶.函数应属高等教育范畴，是有别于初等函数的思维产物.作个比喻，两个人在一起交谈，对于这一现象，初等数学关注的是这两个人的独立个体——他们是做什么的？他们的家庭情况怎么样？年龄、性别、身材、体型怎么样？家里是哪里的？他们谈话的内容是什么？是这些显而易见的东西.而高等数学关注的则是他们之间的关系——为什么要在这里谈？是谁促成了他们之间的谈话？为什么要选择这个话题谈话？这次交谈会对他们自身，还有别人产生什么样的影响？初等数学关注的对象是看得到、摸得着的东西，高等数学研究的对象是与人们感受到的关系、影响之类的抽象东西有关.正因为如此，很多人刚接触函数时，无法从固有的思维模式摆脱出来，对函数的学习会产生很大的抵触情绪，会觉得函数这一概念纯粹是形而上的无病呻吟，学习、研究它纯粹是浪费生命、浪费资源.殊不知，函数之美是不可估量的，它所产生的能量也是无穷的.

众所周知，（一元）函数代表的是两个变量之间的对应关系.笔者认为，这种对应关系是从实际生活中提炼出来的.人与人之间，乃至宇宙万物都存在这千丝万缕的联系，正如“生物链”一样，这种联系、关系对于我们来说都非常重要，揭示出这种关系对我们看清问题的本质、分析问题、解决问题是至关重要的.而函数作为这种至关重要的抽象的数学语言形态，它用简洁的字母、数字、等号揭秘了那存在于工业、农业、服务业等各行各业中的让我们苦苦寻觅的实际存在的关系，为各个学科的发展作出了重要贡献，直接体现了数学的简洁美.

函数之美还体现在它那完美无瑕的解析式与函数图像的匹配.函数的解析式与图像之间的完美结合让我们着迷.一个解析式就对应一个独一无二的图像，一张图像又对应一个独一无二的解析式.这种特性让我们执着去追求两者之间的相互转化和对应.由函数解析式运算得出的f（x）与f（-x）的关系，可以得出函数的奇偶性.而f（-x）=f（x）与f（-x）=-f（x）所对应的奇偶性可以直接表现在图像上的对称上来，f（-x）=f（x）与“图像关于y轴对称”相对应，f（-x）=-f（x）与“图像关于原点对称”相对应.两者之间的契合达到的完美程度让我们惊叹.

而两者之间的转化，蹭出多少火花来，又生出多少惊天动地的大事件来.极限作为函数研究的一个产物，如果仅从那晦涩的定义出发，是没有办法深深抓住人们的心的，微积分的研究和运算，对数学家和数学教师来说也没可能是顺畅的.因为那严格的证明就已经让人望而却步.幸而有图像的存在.因为有图像，人们能够感受到极限的存在.人们相信，那个唯一确定的极限值是存在的，人们更能够轻松找出那个极限值.譬如对于y=arctanx，当x无限增加时，我们从那关于原点对称的图像上，可以清晰地看出图像的走势.极限的美妙在于，我们从图像观察出来的和我们严格用文字、符号证明出来的完全一致.数学的严谨性由此可见一斑.

函数实质上是变量与变量之间的一种对应关系，依靠这种关系，它又生出多少美妙的子孙，这些子孙因自己独特的能力为人类解决了许多实际问题.对函数发展趋势的研究，使人们得出了极限的概念.极限以其身体的敏捷、轻盈和魅力无穷，把人们的思维、视野又引向了一个更加广阔的天地.从静态向动态的转变，是函数的一大突破，极限穿越了时空，把人类研究的视角转变过来.人们早已关注到变化的存在，早已想伸进变化去进行研究，但是长时间以来，一直无从下手.函数是以简洁的装扮和丰富的内涵，把人们带进了变化的领域，凡是不喜欢变化，害怕变化的人，都没办法接受函数，而把函数看作是一个怪物，函数本身蕴含的多种可能性，为研究变化提供了沃土.极限是个很好的产物，极限同时又成为研究变化的一个非常重要的工具.导数、定积分这些概念都是极限的子孙，这些子孙又成为人类研究世界、解决变化难题的工具.这些完全都基于极限的美轮美奂.极限与“无限接近”这种似乎具有数学特色的词语联系在一起，更具有了神秘性.就像人和人之间的关系，虽然看不见，但却实际存在一样.极限也是一种不能看到，但却能实际掌握的一种东西.极限之美，是一种中庸之道的美.极限渗透着人生的哲理，为人们抓住变化提供了一个非常重要的工具.以函数为研究对象的微积分就是以极限为工具进行研究的.

事物的变化总有一定的品质，譬如它的稳定性、它的变化率等.导数正是反映了事物变化的速率问题.y随x变化而变化的瞬时变化率，即是导数，它的产生源于实际问题，应用于实际问题，却又高于实际问题.初等数学只能研究匀速问题，而对变速问题的精确研究，还必须依靠高等数学的导数.没有试图包囊一切，只想要完美的契合.那种精神，只有数学才有.而在导数概念的研究过程中，数形结合、以形推动数的理解的贯彻更是彻底.导数的几何意义让人更加笃信这一点.增量Δx的给出，使得自变量x从x0变到x0+Δx，自变量的变化导致因变量y从f（x0）变到f（x0+Δx），因变量的增量Δy应运而生.对应的图像上面的点从M0变化到M.当|Δx|逐渐变小时，变化紧随其后.Δx、Δy逐渐发生变化.M点逐渐向M0点滑动，直线MM0的倾斜角逐渐减小（假设倾斜角为锐角时）.这一切的一切，最终促成了作为数的ΔyΔx与作为形的直线MM0斜率的契合，而这一契合最终有了perfect ending，极限的介入使得变化最终定格于那一条确定直线，即割线的极限位置切线的斜率.无法言喻的美，值得我们喝彩的美，函数缔造的变化的王国在此得到了精彩的体现.变即是不变，不变即是变——对于函数来说，这恐怕是其意义最好的诠释了.

复合函数作为函数中最具特色的存在，对它的形式的剖析，对于其求导有着与生俱来的本事.复合函数可以比作是由层层叠叠包裹起来的洋葱，要想看透它，必须剥掉一层，再剥一层，直到不能再剥为止.每一层函数都是基本初等函数或简单函数.复合函数的求导法则严格契合复合函数的层叠特征，由内而外，层层求导，每求一层导，就像给里面点亮了一盏灯，逐渐呈现在我们面前，层层推进，直到看到真正的光明（指导数）.这种过程就是我们人生的生活成长的过程.人活着其实也不过如此.

微分的概念更是奇妙，微分的概念来源于实际问题中对函数改变量的近似计算，但它却与函数的导数有着不解之缘.微分公式dy=AΔx中那个不依赖于Δx的常数A最后竟是一个导数值.当dy=AΔx最后归结为dy=f′（x）Δx，并得出dydx=f′（x）时，这种契合就更加绝妙了.

洛必达法则作为导数应用的一个重要方面，把导数与其源头极限联系起来，来源于极限，最后又用于极限，这从根本上符合了研究工作的精髓.

变化中求生存，这是微积分的根本.变速直线运动瞬时变化率的求解最终在导数那里找到了答案；而逆向思维形成了另一问题：变速直线运动的路程，又促成了定积分概念的形成.数学分析的基本方法，从量的方面研究事物运动变化，在这里得到集中体现.定积分的求法又促成了不定积分概念的形成.牛顿—莱布尼茨公式的诞生使得原函数成了求解定积分的关键.而已知导数或微分求原函数，正是微分学的逆问题.逆向思维实质上是人类思维的飞跃.思维飞跃的结果使数学历史上出现了很多奇迹.求导公式反转为基本积分表，复合函数的求导法则变身为凑微分法，函数乘积的微分公式变身为分部积分法.变身促成了函数史上的大革命，微分变积分，微分积分自此不分家.思维的飞跃同时成就了实际问题的解决.

函数的痴在于变，变中求生存，人类的生存又怎知不是如此？因为变，函数凸显出极具生命力的美.