例谈数学教学中的创新型问题

吴明帅

【摘要】每年数学高考中很多试题具备了一定的新颖性，或是背景新颖，或是题干新颖，或是包装新颖，或是问法新颖等，这些略带有一定创新的试题往往是数学试题中的亮点，如何解决这些带有亮点的试题？这是复习教学中值得教师关注的一个教学点，本文通过具体实例例谈这些创新问题，对其进行了归类和小结.

【关键词】复习教学；数学；高三；创新；试题；新颖性

高考试卷每年力主在稳定的基础上推陈出新，试题不断在进行创新.大量研究表明，学生往往在各种应试中面对陌生的问题或新颖的问题时失分率较高，提议教师在复习教学时以专题课的形式对学生进行创新型问题的授课教学，以提升学生从陌生问题背景中提取信息的能力和反应.

从复习教学来看，近年来专门针对创新型问题的复习教学比较少，高考试题中的一些新颖的问题往往受教师关注，笔者对其进行了一些归类，与大家在教学中共享.

1.新型定义型试题

新型定义型的试题往往受到高考试卷的青睐，因其背景新颖，具有时代感，对陈旧问题进行了包装，使得形式化数学问题的本质得到了合适的隐藏，其主旨要求学生在应试有限的时间内对数学问题的本质进行挖掘，理解数学问题给出的新定义，进而在适当的背景下解决问题的一种新型题型.这类数学试题广受高考试卷的青睐，在各地高考试卷中层出不穷，其考查了学生数学知识运用的能力、知识迁移的能力都比较明显，是学生层次的区分上显得尤为明显的一种题型.

例1记maxx1，x2，…，xn表示为实数x1，x2，…，xn中的最大数，最小数用minx1，x2，…，xn.现△ABC的三边长分别为a，b，c（a≤b≤c），给出倾斜度定义：l=maxab，bc，ca·minab，bc，ca，则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的条件.（填写充分、必要相关条件）

解析若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则maxab，bc，ca=1=minab，bc，ca，则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=b=2，c=3时，则maxab，bc，ca=32，minab，bc，ca=23，此时l=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以应该是必要不充分条件.

评析对新型定义型问题的理解，本题首先是理解题中给出的概念“倾斜度”！从给出的定义来看，倾斜度其实是数据最值之间的乘积，学生对表达式maxx1，x2，…，xn、minx1，x2，…，xn的理解也非常关键，这是一种数学定义符号，只有在理解数学符号语言的基础上，才能进一步理解倾斜度，这类数学问题难度一般，但是因其有稍显抽象的数学符号和新定义，在学生区分度上达到了一定的效果，教师教学中要指导学生仔细审题，提高分析问题和解决问题的能力.

2.能力探究型试题

能力探究型试题往往较第一种类型的问题稍难，这里的数学问题在表述上基本通俗易懂、言简意赅，但是命题组在对问题进行适度改编、开发的基础上，注重了区分学生数学能力的一些考查，使得这些问题 往往将大部分学生区分开来，其既尊崇知识来源于教材的特点，又符合学生能力层次的区分，体现考查的区分度.教师教学时建议从细微处入手，对问题进行多面化的分析，将能力型问题进行多角度、多元化的分析指导是关键.

例2定义在区间0，π[]2上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2，则线段P1P2的长为.

解析线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23，线段P1P2的长为23.

评析此题考查三角函数的图像、数形结合思想，否则，费时费力.此题考生若不从图形下手，有种茫然的感觉，问题的关键是线段P1P2的长即为sinx的值.从此题可以看出，考查学生运用已知知识探究问题的能力.

3.类比推理型试题

类比推理型问题近年受到某些省份的重视，这是考查学生推理能力的一种问题，试卷中对推理的考查往往以类比推理为主，注重学生从特殊到一般的能力的考查区分，体现学生数学知识运用、归纳演绎能力，获得新发现新规律的区分度，教师授课时注重对学生问题规律的引导和发现是关键.

例3设n≥2，n∈N，2x+12n-3x+13n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，将ak（0≤k≤n）的最小值记为Tn，则T2=0，T3=123-133，T4=0，T5=125-135，…，Tn，…，其中Tn=.

解析近年各地高考卷都有此类合情推理试题，考生一般都能答正确，属于容易题.

答案Tn=0，n偶，12n-13n，n奇.

评析本题主要考查了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，这是一种需类比推理方法破解的问题，解答本例的关键，是要从一些特殊的式子中寻找系数规律，从不变中找变化和规律进行类比、归纳、推理.当然，作为教师我们更应该从二项式角度分析其系数规律化的成因.

总之，高考复习教学中对创新型问题的积累需要教师不断地总结，将这些问题以专题的形式在课堂教学中给予学生呈现，使其在应试中以较为轻松的心态应对，是数学教学的一种成效.限于才疏学浅，恳请读者对创新型问题予以补充.