向量方法在空间解析几何教学中的应用

2015-05-30程炜

数学学习与研究 2015年5期

关键词：应用

程炜

【摘要】空间解析几何是高校教学中一门重要的数学基础课.它的基本思想是用代数的方法来研究几何问题.通过举例探讨了向量方法在空间解析几何教学中的一些应用.

【关键词】向量方法；空间解析几何；应用

【中图分类号】G642.0【文献标识码】A

【基金项目】河南省自然科学基金（132300410231）

空间解析几何是我学院数学类专业的大学第一学期的专业必修课.全校公共课高等数学的教学内容中也包含了解析几何内容.由此可以看出空间解析几何是高校教学中一门重要的数学基础课.空间解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，是使用代数方法进行研究的几何学.研究工具为二维或三维的直角坐标系并借助于向量和坐标来研究平面、直线、曲面和圆的方程.本文通过一些典型适当的例题具体说明向量方法在空间解析几何中的应用.

1.向量方法在几何命题证明中的应用

用传统的综合推理法，借助图形的各种变换来解决空间几何命题，往往需较强的技巧，一旦思路受阻，则难以求证；而利用向量法则有较好的效果.

例1证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.

例2已知四面体ABCD的顶点坐标A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8），求该四面体的体积.

分析直接用立体几何的方法求四面体的体积，需要首先计算出四面体其中的一个面的面积和顶点到该平面的距离，这样运算量相当大.但利用三向量混合积的几何意义，就可以求空间四面体的体积.方法直接运算过程简单.

3.向量方法在动点轨迹求解中的应用

例3已知两个半径均为r的圆C1和圆C2外切于P点.设圆C1不动，将圆C2沿着圆C1的圆周无滑动地滚动一周，这时圆C2上的点P也随圆C2的运动而运动，P点的轨迹叫心脏线，求该心脏线的方程.

分析求动点轨迹方程的方法是不唯一的.如果直接求动点P轨迹的普通方程是难度比较大的，但采用向量法求动点P轨迹方程，容易入手且推导过程简单直接，极大降低了问题的难度.

4.结论

向量法在空间解析几何教学中有着十分重要的意义.从所举例题解决中可以看出，向量法解题思路简捷、规范，起到了化繁为简，化难为易，事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2006.