案例分析在常微分方程教学中的应用

吴楚芬

【摘要】“常微分方程”作为一门实践性很强的基础课程，案例教学能提高学生对基本原理的理解，调动学生学习的主观能动性.在本文中，我们以一阶线性微分方程讲授过程中引入的案例“范·梅格伦伪造名画案”为例，探讨了案例教学的实施步骤.案例教学的实施，进一步培养学生理论联系实际，分析问题和解决问题的能力.

【关键词】常微分方程；案例分析

【中图分类号】O175.1；G642.0；G642.1【文献标识码】C

【基金项目】佛山科学技术学院教研项目“理论与建模相结合的‘常微分方程实践教学”

案例的选取并非随心所欲，而应与教学大纲、教学内容同步，起到画龙点睛的效果.

案例教学需要全新的教学技巧和实验教具的辅助支持，在日常教学过程中主要体现在使用多媒体设备进行教学，这样才能使教学更加形象生动，激发学生的兴趣.否则，案例讲解就只能停留在建模思路和数学模型的分析上，却无法对具体模型作进一步深入直观的动态趋势分析，不能给出具有现实意义的诠释.下面我们将通过一阶线性微分方程讲授过程中引入的案例案例“范·梅格伦（Vanmeegren）伪造名画案”为例，阐明案例教学的实施过程.

范·梅格伦（Vanmeegren）伪造名画案

问题提出：第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家范·梅格伦曾将17世纪荷兰著名画家Jan Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人.范·梅格伦被捕后宣称所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》.当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证.为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X光线透视等，对颜料成分进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹.这样，伪造罪成立，但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为范·梅格伦在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意.下面利用微分方程理论分析范·梅格伦出卖给德国纳粹分子的油画中是否全部是他自己伪造的.

分析问题：注意到，物质的放射性正比于现存物质的原子数.

白铅是油画中的颜料之一，白铅中含有少量的铅（Pb210）和更少量的镭（Ra226）.白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取出来的.当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止.

基本假设：

（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经三百多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用r表示.

（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的三百多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等.

解决问题：

设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y（t），y0为制造时刻t0每克白铅中含铅210的数量.α为铅210的衰变常数，则油画中铅210含量y（t）满足如下的一阶微分方程初值问题：

其中α，y（t），r均可测出.故可算出白铅中铅的衰变率αy0，再与当时的矿物比较，以鉴别真伪.矿石中铀的最大含量可能 2%～3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过30000个原子，则矿石中含铀量超过 4%.

测定结果与分析：

由于铅210每分钟每克衰变不合理，故为赝品.

同理可检验第二、三、四幅画亦为赝品，而后两幅画为真品.

在常微分方程的教学过程中，坚持引入案例分析，由“案例引方法” 再“ 用方法做案例”，以学生为主体，教师起诱导作用，有效地激发了学生去快乐学习、主动学习和创新性学习，同时也培养了学生分析问题和解决问题的素养.