用欣赏的眼光看“单调”

杨敏

函数是描述宏观世界变化规律的重要数学模型，是整个高中的核心概念.而函数的单调性则是刻画函数形态的一个重要特征，是学生在了解函数概念后学习函数的第一个性质，函数的单调性概念用符号语言描述，具有高度抽象性，而抽象性就是函数单调性教学的终极目标，也是最高要求.

那函数的单调性概念是如何由直观走向抽象的，它的本质又到底是什么呢？下面我们从四个思维递进层次用欣赏的眼光看单调，并对函数单调性的概念进行剖析，以期达到理顺逻辑关系，突破教学难点的目的.

一、形上直观看单调

从函数的图像入手研究单调性，比较直观，很容易被感知.图形化的“单调性”，可以理解为：函数图像“从左到右”所呈现出动态的“升”“降”.

如：让学生观察某市某一天的气温变化图，可以直观感受到图像在某些时段温度升高或降低，即变化趋势，再通过观察y=x，y=x2，y=1[]x等函数的图像，不难总结出单调性体现在形上包括三个方面：一是动态化的（即所谓的“升”或“降”），二是有方向性的（即所谓“从左到右”，“x增大的方向”），三是局部化的（即所谓“一段一段”）.

由此，我们不难得到函数单调性的直观描述性定义：设函数f（x）的定义域为I，区间DI；如果在区间D上函数值y随着自变量x的增大而增大（减小），那么就说函数f（x）在区间D上是增（减）函数.

尽管这种定义不严格，但学生初步理解到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系，这是函数单调性中最为基本和初始的思想，这是根本性的要素，也是从图形中原初思想迈向数学概念的关键性的第一步.

二、无限离散型函数的单调性

由函数单调性的直观描述定义我们易知：对一个函数，若定义域是有限集合，那么就可以把自变量x一个都不少的由小到大排列起来，看所有函数值y是否不断增加或减少即可.正因为是有限集合上的函数，我们可以一个个的比较和判断，这是没有什么难度的.

但当函数的定义域是无限集的情形，单调性又该如何表述呢？我们可以先以无限数列为研究对象，该如何表示其单调性呢？无限数列的本质是一类无限离散型的函数，若一个一个排，永远排不完，没有尽头.但由于数列是离散的，因此我们可以用n∈N*表示“每一个”，用n和n+1表示前项和后项，这样就涵盖了数列的各项，可以完成对数列单调性的描述.于是我们可以用数学语言对其定义如下：数列{an}成为是单调递增（减）数列，是指对于每一个n∈N*，都有an+1>an（an+1

三、在连续数集上的单调性

定义在连续数集上的函数，我们无法一一枚举，也无法如数列一般分出先后，比较前后两项.于是，我们再进一步定义：

对于区间D上任意两个自变量，当x1f（x2）），则称f（x）是区间D上的增（减）函数，反之同样成立.

对于这里的任意二字，很多学生会觉得较抽象，其实这一描述也是与形上的“处处”二字、数列中的“每一个”相对应的.若对于区间D=[a，b]这一无限连续集合，由于在“形”上，单调上升体现为在区间D上处处上升，一点也不能少；对单调性在“数”上的刻画，对于一个无限集合，我们自然无法一个个检验，也没有相邻两项可以检验，于是只能任取两个值做检验.即无论取哪两个自变量值x1，x2，只要x1

四、从推广联系上谈单调

经过三次思维递进后，我们得到了函数单调性的数学语言描述，但当我们利用其判断函数的单调性时，还经常出现其一些变形形式，如：（1）乘积式：对于区间D上任意两个自变量x1≠x2，若（x2-x1）f（x2）-f（x1）>0（<0），则称f（x）是区间D上的增（减）函数，反之同样成立；（2）比例式：对于区间D上任意两个自变量x1≠x2，

若f（x2）-f（x1）x2-x1>0（<0），则称f（x）是区间D上的增（减）函数，反之同样成立.

函数单调性的比例式表达与定义异曲同工，但f（x2）-f（x1）x2-x1可以表示平均变化率，从“形”的角度又可用来表示函数图像上连接（x1，f（x1）），（x2，f（x2））这两点线段的斜率，即割线的斜率.

若我们把两个任意点中的一个点看成另外一个点的变量，即f（x2）-f（x1）变成f（x+Δx）-f（x），而x2-x1变成了Δx，于是此比例式可化为：f（x+Δx）-f（x）Δx，若Δx无限小，导数的概念便产生了，由此把单调性和导数联系了起来：在某个区间（a，b）内，若

f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f′（x）<0，则f（x）在（a，b）上是减函数.

由平均变化率转变为瞬时变化率，从形的角度来看，由割线的斜率转变为切线的斜率，这也从某种程度上揭示了导数产生的过程.导数也成为判断函数单调性的一种便捷的方法.

以上分析，阐述了函数单调性逐步抽象直至完善的过程，也串起了单调性、导数等概念的纵横联系，当我们用欣赏的眼光看函数的单调性，还原它非形式化的一面，便可进一步剖析其内涵，化解难点直击其本质.