从常量数学到变量数学

王华

【摘要】高等数学中的微积分思想，是从常量数学到变量数学的必经之路，对培养学生的思维素质、创新能力起十分重要的作用.本文从牛顿、莱布尼兹创立的微积分思想获得启示，把握了微元法是将变量问题转化为常量问题进行处理的核心思想，并引入解析几何笛卡尔坐标概念，为工程技术中涉及与变量相关的许多几何、物理定积分应用问题提供了一种方法和思路.作为算例，对物理学中的变速运动物体的动能和转动惯量的计算问题应用微元法进行了求解，方法简洁、通用.

【关键词】微积分；微元法；极限

1.引言

从数学的发展史看，17世纪前由古希腊、印度、巴比伦、中国、埃及等创立的代数学、几何学所研究的对象“数”是常量，研究的对象“形”是不变的规则几何形体，然而，客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动变化着，且运动变化的过程在空间形式上都存在着一定的数量对应关系，这种建立在以不变“数”“形”及其相互关系之上的初等数学无法解释自然界事物变化的根本内在规律.

17世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650）和德国数学家费马（1601—1665）在几何学上引入了直角坐标系，建立了坐标法，即用代数方程研究和表示曲线，从而创立了一门用代数方法研究几何问题的数学学科——解析几何，沟通了数学中的两个基本研究对象“数”和“形”之间的联系，研究的“数”是变数，研究的“形”是不规则的几何形体，如曲线、曲面、曲边形和曲面体等，别开生面地开创了数形结合的研究方法.解析几何学的诞生标志着人类从常量数学进入了变量数学的新阶段.

同时，17世纪的工业革命，诸如天文学、航海学、测量学、造船业等的发展需求，迫切需要数学上提出更好的方法去解决工程实际中出现的应用问题，这些问题主要涉及运动学的速度问题、曲线的切线问题、函数的最值问题、与曲线及曲面相关的弧长面积的体积计算问题等.在这一背景下，进入17世纪下半叶，英国科学家牛顿（1643—1727）和德国数学家莱布尼兹（1646—1716）在许多著名的数学家、物理学家、天文学家诸如法国的费尔马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等研究切线问题、求积问题、瞬时速度、函数极值等问题的基础上，将古希腊求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，完成了微积分发明中最关键的一步.牛顿为解决运动问题从运动学的角度创立了这种和物理概念直接联系的数学理论——微积分，而莱布尼兹则是从几何学的角度进行研究，达到的效果却是异曲同工，他们把切线的微分问题和求积的积分问题联系在一起，破天荒地为变量建立了一种运算规则，用以描述因变量对于自变量的瞬时变化率以及在自变量的某个变化过程中因变量作用的整体积累效果，但是牛顿和莱布尼兹在处理无穷小量的问题上却不能自圆其说，直到19世纪初，法国科学家柯西建立了极限理论，又经德国数学家维尔斯特拉斯的进一步严谨化，牛顿和莱布尼兹的微积分思想方法才在极限理论的支持下形成了数学上优美完善的微积分学.

无论是欧氏几何，还是上古和中世纪的代数学，都是常量数学，只有微积分的问世才为变量数学奠定了基础，微积分学为近代科学的快速发展提供了最有效的数学工具，开辟了数学上的新纪元.

从研究常量到研究变量，从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体，是人类对自然界认识的一大飞跃，今天，我们可以通过微积分理论的一系列公式和定理去求解工程实际中出现的应用问题，然而，在培养学生的创新思维意识、能力方面，牛顿—莱布尼兹的微积分原始创立思想在分析问题和解决问题上则具有重要的学术价值.

2.瞬时速度问题的处理方法到导数的产生

牛顿在1671年“流数法和无穷级数”中提出两个中心问题：第一个问题是已知连续运动的路径，求给定时刻的速度；第二个问题是已知运动的速度，求给定时间内经过的路程.其求解过程分析如下.

尽管平均速度和瞬时速度是两个不同的物理概念，但是时间增量Δt在无穷小极限的条件下，平均速度可以转化为瞬时速度，这就是以“匀速代变速”无穷小极限的处理思想，可用微元法描述如下：

从上述瞬时速度的处理方法可以看出，在短暂的时间段内，变速的问题将近似为简单的匀速问题处理，由此，根据瞬时速度由增量比取极限的方法可推论出函数的导数定义的一般形式，即设函数y=f（x）在点x0的导数定义为函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋于零时条件下的极限，表示如下：

微分的几何意义是函数y=f（x）在笛卡尔直角坐标系所描述的曲线在点P（x0，y0）处切线的纵坐标的增量.

导数和微分是两个不同的概念，导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数的变化量.

3.从变速运动路程的处理到定积分的产生

对于牛顿的第二个问题，设某物体做变速直线运动，在给定的时间间隔[a，b]上，其速度（因变量）与时间（自变量）的关系即运动方程可描述为

由于速度的连续变化性，在较短的时间段内速度变化不大，运动近似于匀速，如将给定的时间间隔[a，b]进行分割，在每一小段时间内，以“匀速代变速”，求出路程的近似值，再对每一小段的路程求和并取极限，从而产生了定积分，可用微元法描述如下：

4.从微积分思想获得的启示

从上述导数和定积分产生的过程可知，牛顿—莱布尼兹的微分学和积分学中最重要的思想是无论是导数还是定积分，均采用了微元法这种无穷小量的处理方法，将变量问题转化为常量问题，在无穷小的条件下用近似代替的方法解决了变量变化问题的瓶颈，这种微元法使“变”的问题转化为“不变”的问题，使得复杂问题迎刃而解.

由此使我们联想到对于工程技术中涉及与变量相关的许多几何、物理定积分应用问题，可以采用这种微元法作为求解变量问题的有效途径.

对于由函数y=f（x）描述的一类几何、物理应用的定积分问题，微元法具体求解过程如下：

（1）首先将函数y=f（x）描述的一类几何、物理应用问题，引入合适的笛卡尔坐标系，为定义微元变量的数量关系建立基准，将函数y=f（x）转化为在笛卡尔坐标系下描述几何曲线y=f（x）的代数方程.

（2）对于具体的变量变化问题通过微元法转化为常量问题做近似处理，并借鉴数学、物理学等不同专业学科中的规律、定理建立方程.

（3）选定积分变量和积分区间，将多元被积函数用解析几何的方法转化为只与积分变量相关的单元被积函数，用牛顿—莱布尼兹定积分公式及相关的微积分运算规则进行求解.

5.算例

为了说明微元法在处理与变量相关的许多几何、物理定积分应用问题的有效性，考虑如下两个问题.

问题1：质量为M的均匀细长杆，长为L，将其折成等边三角形，选择某一边为旋转轴以等角速度ω旋转，求其动能和转动惯量.

分析物理学中定义的质量为m的质点，其速度为v的动能为1[]2mv2，属于常量计算问题，而问题1的细长等边三角形杆做旋转运动时，在不同回转半径处的速度是变化的，属于变量变化的物理问题.

同理，物理学中定义的质量为m的质点，其半径为r的转动惯量为mr2，属于常量计算问题，而问题1的细长等边三角形杆做旋转运动时，回转半径是变化的，也属于变量变化的物理问题.

分析物理学中定义的质量为m的质点，其速度为v的动能为1[]2mv2，属于常量计算问题，而问题2的等边三角形均匀薄板做旋转运动时，在不同回转半径处的速度是变化的，属于变量变化的物理问题.

同理，物理学中定义的质量为m的质点，其半径为r的转动惯量为mv2，属于常量计算问题，而问题2的等边三角形均匀薄板作旋转运动时，回转半径是变化的，也属于变量变化的物理问题.为了满足物理学中动能和转动惯量的计算规则，将问题2采用上述微元法求解如下：

（1）首先建立笛卡尔坐标系，等边三角形均匀薄板做旋转运动，如图2所示，其中A点的纵坐标根据解析几何中两点直线公式可得y=L[]6-1[]2cos30°

6.结论

本文从牛顿、莱布尼兹创立的微积分思想获得启示，对微元法处理变量问题的一般通用化方法进行了研究，并通过算例验证了微元法的有效性，这对于有效解决工程技术中由变量描述的几何、物理定积分应用问题提供了一条可行途径.

【参考文献】

[1]盛祥耀，居余马，李欧，程紫明.高等数学（第二版，上册）[M].北京：高等教育出版社，1985：125-326.

[2]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003：33-140.