一题“三变”心心相印

朱国仙

三角形中有内心、外心、重心、垂心这“四心”。下面以一道典型例题为载体，通过一题“三变”，对三角形的“四心”问题进行举例解析。

题目 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的i个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）。

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

解：先根据题意画出图形，再根据平面向量共线的有关性质进行求解。

如图1所示，表示与同向的单位向量，设为示与同向的单位向量，设为。由向量的平行四边形法则，知

因为，所以，则共线。由于平分角，可知点P的轨迹一定通过三角形ABC的内心，选B。

变式l：已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.内心

提示：从题设条件入手，利用平面向量的数量积进行适当转化求解。

设BC的中点为D。

因为，所以。又λ∈[0，+∞），上式两边同乘以向量，可得数量积，则，所以点P的轨迹一定在BC的中垂线上，即点P的轨迹一定通过△ABC的外心，选B。

变式2：0是平面上一定点.A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足[0，十∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）.

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

提示：设Bc的中点为D，由，可利用平面向量共线的性质求解。

因为 ，所以，则与共线，也即A，D，P三点共线。由于AD是△ABC的中线.所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心，选C。

变式3：已知0是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.内心

提示：解答本题的关键是对 AB

存 AB co—B十一o

i）进行等价转化。

因为.又λ∈（O，+∞），将此式两边同乘以向量，可得数量积，所以，则动点P的轨迹一定在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，选C。