例谈《有理数》中蕴含的数学思想方法

曾祥马

[摘 要]数学思想方法是数学的灵魂和精髓.《数学课程标准》（2011版）指出：数学思想方法蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.教师在教学中适当地渗透、挖掘其蕴含在教材中的数学思想方法，如归纳推理、分类讨论、数形结合、化归与转化等，可以寻找到数学基本知识与数学思想方法的结合点.

[关键词]归纳推理 分类讨论 数形结合 化归与转化

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200014

《有理数》这一章是整个初中数学的基础.对于七年级的新生来说，传授基本的数学知识固然重要，但适当地渗透数学思想方法也是必不可少.本文就《有理数》这一章中蕴含的数学思想方法进行挖掘与整理，以期起到抛砖引玉的作用.

一、归纳推理数学思想

有理数的加减、乘除、乘方等四则运算法则是渗透归纳思想的最佳切入点.

【例1】 教材第16—18页，通过两次物体运动，借助数轴，描述物体的相应运动问题，从七种不同算式中归纳总结出有理数的加法运算法则如下.

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.

3.一个数与0相加，仍得这个数.

即

由同号的两种情况，异号的三种情况（其中包括相加为0的特例），再加上与0相加的情况，由特殊到一般归纳出有理数加法的运算法则.

通过一定量的练习训练后，为了提升学生的思维水平，使学生深刻理解“有理数加法法则”的意义，我们设计这样“用字母表示数”的习题，具体如下.

用“>”“<”“=”号填空：

1.若a>0，b>0，则a+b______a+b；

2.若a<0，b<0，则a+b______a+b；

3.若a>0，b<0，且|a|>|b|，则a+b______a+b；

4.若a<0，b>0，且|a|>|b|，则a+b______a+b.

这样的习题

进一步提高学生的判断能力，渗透归纳思想、抽象概括思想教学，加深学生对有理数加法运算法则的理解.

【例2】 探究有理数的乘方的法则，教材第41-42页先介绍乘方的定义，让学生掌握底数、指数、幂的相关知识.计算：（-4）3；（-2）4；（-23）3.

通过运算探究得到：

（-4）3=（-4）×（-4）×（-4）=-64；

（-2）4=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）=16；

（-23）3=（-23）×（-23）×（-23）=-827.

思考栏目：从例2中你发现负数的幂的正负有什么规律？归纳出负数的幂符号法则：

1.当指数是奇数时，负数的幂是______数；

2.指数是偶数时，负数的幂是______数.

教学中可以多提供一系列的负数幂的算式，

引导学生

通过观察、猜想、验证等过程，归纳总结，依次填：负、正.此后从特殊到一般引导学生根据有理数乘法法则归纳总结得出有理数乘方法则：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.

学生经过练习后，教师进一步提出：如何用字母来表示有理数乘方法则呢？通过这样提出问题，让学生探究、猜想，最后，教师适时给予归纳总结：当a>0时，an为正；当a=0时，an为0（n>0）；当a<0时，如果n为奇数时，an<0，如果n为偶数时，an>0.在学生已经熟练掌握法则的基础上，通过字母归纳法则，有效地提高学生抽象概括、归纳数学思想方法的能力.

二、分类讨论数学思想

分类讨论思想就是把问题分成若干类，转化成若干个小问题来解决，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结数学之间的知识，使所学的知识条理化.

对于《有理数》这一章，教材在讲解数学知识时多次渗透分类讨论数学思想方法.如：数轴、比较两个数的大小、|a|的化简、有理数的乘除法法则、乘方的法则等.我们利用教材帮助学生掌握这些知识的前提下，通过自己重新分类讨论，归纳出其法则规律.

【例3】 绝对值的讨论.

教材第12页，由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

（1）当a是正数时，|a|=______；

（2）当a是负数时，|a|=______；

（3）当a是0时，|a|=______.

可见，有理数a可以表示正数、负数和0.分三种情况讨论，依次填入：a，-a，0.这样，才能较清楚地认识一个有理数的绝对值.

三、数形结合数学思想

华罗庚教授曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”可见，数形结合思想就是将数学中数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略，通过深入地观察、联想，由形思数，由数想形，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换.

【例4】 数轴的引入及利用.

教材引入数轴，并利用数轴得到相反数的意义，比较有理数的大小及利用数轴得出有理数加减运算法则等都是数形结合的实例.教学中要把握好这些素材，将数形结合思想渗透落实在行动上.如，一个数加上正数或负数，其和将会变大或变小的问题，往往利用的教学手段是计算体验进行总结，忽略了加法法则与数轴的联系.有理数a加上正数或负数，在数轴上，即表示有理数a的点分别向右或向左移动若干单位长度后对应的数，从而能很直观地理解其变大或变小.

如解方程|a-3|=2时，可利用数轴理解为：数轴上到表示数3的点的距离等于2的点对应的数，这样数形结合起来处理问题，非常直观易懂.

如探索式子“100±1n”.随n的不断增大时，它的值有怎样的变化趋势？可利用数轴，随n的不断增大，100±1n的值分别从数轴的左右两侧向100接近，得到随n的不断增大，100±1n的值不断接近100的结论.

由此可见，借助数形结合思想，可以让复杂的问题变为简单的问题.

四、化归与转化思想

化归与转化思想就是将一种数学问题在一定条件下化归为另一种数学问题的数学思想方法.在实际教学中，转化就是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题.

【例5】 《有理数》这一章的有理数减法法则和有理数的除法法则分别是通过加法法则和乘法法则来转化的.

教材第22页有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数；有理数减法法则也可以表示成：a-b=a+（-b）.

教材第34页有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；这个法则也可以表示成：a÷b=a·1b.

教材中类似这样的例子还很多，我们这里不多叙.

综上所述，教师要充分分析和研究教材，理清和把握教材的整体脉络，挖掘蕴含在教材中的数学思想方法，除了寻找数学的基本知识与数学思想方法的结合点外，还要建立丰富的教学范例，为渗透数学思想和方法奠定基础.

（责任编辑 黄桂坚）