浅探构造法在高中数学教学中的应用

周红芹

[摘 要]“教学有法，教无定法.”教学方法的提炼与选择有助于提高教学效益.构造法可以帮助学生将各种数学知识联系起来，使学生达到融会贯通、提高效率的目的.有机地将构造法运用于数列、几何图形、函数的教学之中，可以事半功倍地培养学生的思维能力，提升学生的解题水平.

[关键词]构造法 数列 几何图形 函数

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230035

在数学教学中，教师需要给学生传授具有针对性的解题方法，其中构造法就是一种值得推广的方法.无论是学习数学知识还是解题，构造法都能够帮助学生将各种数学知识联系起来，相互转化，使学生在熟练、掌握数学知识的情况下学会举一反三、融会贯通，从而提高学习效率.下面笔者谈谈构造法在高中数学教学中的应用.

一、构造法在数列中的运用

构造法解题的过程就是将未知转化为已知的过程，转化是解题的重点.数列的内涵就是按照固定的规律排列成一列数，此种规律一般就是通项公式.因此求数列的通项公式是最为常见的题型，也是教学的重点.除了求数列的通项公式外，求数列的前n项和也是较为常见的题型，此时可以根据具体的问题采用相应的构造法.

以构造法在数列通项公式中的运用为例，此类题目通常给出的是递推公式，运用构造法能够构造出新的数列，从而求出原数列的通项公式.例如这样一道题：在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an-（2n+1）an+1an=0，求通项公式an.在解题时，首先应当考虑到对递推式进行移项，将（2n+1）an+1an移到等式的右侧；其次，考虑在等式两边同时除以an+1an，由此构造出新的等差数列.由递推式an+1-an=（2n+1）an+1an，两边同时除以an+1an（an+1an≠0，否则会与a1=1相互矛盾）得

1an+1-

1an

=-（2n+1）.采用构造法构造辅助数列{bn}，令bn=

1an+1-

1an

，则{bn}是以-3为首项，-2为公差的等差数列.

1an-1a1

=（1an+1an-1）+

（1an-1-1an-2）+…+（1a2-1a1）=bn-1+bn-2+…+b1=-3n-

2×（n-1）（n-2）2=

-n2+1.

将a1=1代入公式，得an=12-n2.在解题中需注意，一般学生通常会将{1an}构造成新的数列{bn}，但这里则是将{1an+1-

1an

}当作新的数列.在引导学生运用构造法解题时，还需注意叮嘱学生在运算时应当注意对应的项，不要弄错.

二、构造法在几何图形中的运用

代数运算虽然较为直接，但多数情况下较为抽象，且运算具有一定的复杂性，很容易出现错误.而合适的构造法能够将求解的问题变得更加简洁明了，使学生从其他角度找到全新的解题方法.例如这样一道题：一个周长为6，面积是整数的直角三角形存在与否？假如不存在，请证明；假如存在，请证明一共有几个.在解题时，先假设两直角边长为a、b，斜边则为c，面积S为整数，可利用原题中的条件列出方程：a+b+c=6；a2+b2=c2；12ab=S.因为题目是证明面积S为整数，因此可由前两个公式得出ab=18-6c.由韦达定理可构造出以a与b为根的方程：x2-（6-c）x+（18-6c）=0.Δ=（6-c）2-4×1×（18-6c）=c2+12c-36.假如方程有解，则Δ≥0，即c≥-6+62.因为c三、构造法在函数中的运用

构造函数思想属于数学中的一种较为重要的思想方法.在数学教学中，教师应当注意引导学生掌握这一数学方法，帮助学生开拓思路，解决问题.构造法在函数中的运用一般是通过特定的手段，设计并构造出一个与待解决问题有关的函数，借助函数自身的性质或者运算结果来解决原有的问题.构造函数法的思想范围较为广阔，具有一定的灵活性，因此需要灵活运用.例如，假如函数满足以下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点g，使f′（g）=

f（b）-f（a）b-a

.证明：做辅助函数F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）.F（a）=F（b）=0，且F（x）在[a，b]上满足罗尔定理的条件，因此g∈（a，b），F′（g）=

f′（g）-f（b）-f（a）b-a

=0，移项得f′（g）=f（b）-f（a）b-a.在证明的过程中需注意函数与变形式，构造函数法可帮助学生开拓思路，最终解决问题.

综上所述，在高中数学教学中，运用构造法能够有效地帮助学生整合所学的数学知识，使学生学会从不同的角度看待问题，有效地培养学生的思维能力.

（责任编辑 钟伟芳）