Exchange的GCN环

屈寅春，魏俊潮

（1.扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225002；2.无锡职业技术学院，江苏 无锡 214121）

Exchange的GCN环

屈寅春1，2，魏俊潮1＊

（1.扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225002；2.无锡职业技术学院，江苏 无锡 214121）

研究了GCN环的相关性质及应用，并证明了如下结论：1）设R为一个exchange的GCN环，如果R的每个素理想是左本原的，则R为强π－正则环；2）一个环R为强正则环当且仅当R为半素的exchange的GCN环且每个素理想是左本原的；3）完全左幂等的exchange的GCN环是强正则环；4）设R为一个exchange的GCN环，则群环R［G］是von Neumann正则环当且仅当R［G］是完全左幂等环.

exchange的GCN环；强正则环；完全左幂等环；左V－环；约化环

0 引言

本文中，R表示有单位元的结合环，J（R），N（R），Z（R）分别表示环R的Jacobson根、幂零元集合和R的中心.近年来，环的局部交换性成为环论研究的热点之一.Awtar［1］证明了定理：已知环R，若对任意x，y∈R，有xy2x－yx2y∈Z（R）且R是半素环，则R是交换环.基于该判定定理，李德才等［2］对GCN环及其局部交换性进行了初步探讨.本文将进一步研究GCN环的相关性质及其应用.

一个环R称为GCN环［2］610，若对每个a∈N（R），b∈R，有ab2a－ba2b∈Z（R）.一个环R称为exchange环［3］，若对每个x∈R，存在e2＝e∈x R，使得1－e∈（1－x）R.一个环R，若N（R）＝0，则称环R为约化环［4］.一个环R称为von Neumann正则环［5］，若对每个a∈R，有a∈aRa.一个环R称为强正则环［6］，若对每个a∈R，有a∈a2R.一个环R称为左MC环［7］，若对每个a∈R及R的每个极小左理想Re，其中e2＝e，当aRe＝0时有eRa＝0.一个左R－模M称为 YJ－内射的［8］，若对每个0≠a∈R，存在正整数n使得a n≠0，且任意左R－同态Ra n→M可扩张到R→M，特别地，若a∈N（R），n＝1，则称M是nil－内射的.强正则环总是von Neumann正则环，但反之不成立；因此，von Neumann正则环成为强正则环的条件备受关注.Yu［9］证明了左quasi－duo的von Neumann正则环是强正则环.Wei［10］证明了GWS的von Neumann正则环是强正则环.本文拟借助GCN环的部分性质，证明GCN的von Neumann正则环是强正则环.

1 主要结果

引理1 设R为GCN环，I为R的诣零理想，则R／I为GCN环.

设R为一个环，若对每个a∈R，存在正整数n＝n（a），使得an∈an＋1R，则称R为强π－正则环.

定理2 设R为exchange的GCN环，每个素理想是左本原的，则R为强π－正则环且R／J（R）为强正则环.

证明 设Q为R的任一素理想，由题设可知Q为左本原理想.由于只有两个幂等元的exchange环是局部环，故先证R／Q为局部环.设a∈R，满足a－a2∈Q，由于R为exchange环，故有e2＝e∈R，使得e－a∈Q.任取x∈R，有［ex（1－e）］2＝0，进而由文献［2］612知［Rex（1－e）］4＝0，故ex（1－e）∈J（R）⊆Q，从而eR（1－e）⊆Q.由于Q为素理想，故e∈Q或1－e∈Q，从而a∈Q或1－a∈Q，所以R／Q只有两个幂等元.因R／Q为exchange环，有R／Q为局部环，但R／Q为左本原环，故R／Q为除环，R为强π－正则环，从而R／J（R）也为强π－正则环.由于R为强π－正则环，故J（R）⊆N（R），由引理1知R／J（R）为GCN环.因R／J（R）为半素环且由文献［2］612知R／J（R）为约化环，故R／J（R）为强正则环.

推论3 设R为exchange的GCN环，则下列条件等价：

1）R为半素环，每个素理想极大；

2）R为半素环，每个素理想左本原；

3）R为强正则环.

证明 1）⇒2）：显然.

2）⇒3）：由定理2知R为强π－正则环，又因R为半素的GCN环，故由文献［2］612知R为约化环，所以R为强正则环.

3）⇒1）：设P为R的素理想，a∈R但a∉P，则a＝aba，其中b∈R.记e＝ab，则e2＝e，a＝ea.由于R为Abel环，故（1－e）Ra＝0⊆P，1－e∈P，即1－ab∈P，同理，1－ba∈P，从而R／P为除环，因此P为极大理想.

显然，一个环是完全左幂等环当且仅当对每个a∈R，存在b∈R，满足a＝ba，因此对每个完全左幂等环R，有J（R）＝0.

定理4 设R为exchange的GCN环，若R为完全左幂等环，则R为强正则环.

证明 由于R为完全左幂等环，故J（R）＝0，R为半素环，进而由文献［2］612知R为约化环.设P是R的任一个素理想且a∈R使得a－a2∈P.由于R为exchange环，故有e2＝e∈R使得e－a∈P.又因R为约化环，所以R为Abel环，eR（1－e）＝0⊆P，e∈P或1－e∈P，a∈P或1－a∈P，从而R／P是只有两个幂等元的exchange环，R／P为局部环.由J（R／P）＝（J（R）＋P）／P＝0知R／P是除环，故R为强π－正则环.又因R为约化环，所以R为强正则环.

推论5 设R为exchange的GCN环，若R为左V－环，则R为强正则环.

证明 由于左V－环是完全左幂等环，故由定理4知R为强正则环.

定理6 设R为左MC2的GCN环，若每个奇异单左R－模是nil－内射的，则R为约化环.

证明 由文献［2］612知仅须证R为半素环.设a∈R满足aRa＝0，若a≠0，则aR⊆l（a）≠R，有R的极大左理想M，使得l（a）⊆M.若M并非R的本质左理想，则有R的左极小幂等元e使得M＝l（e），故aRe＝0.由于R为左 MC2环，故有eRa＝0，从而e∈l（a）⊆M＝l（e），矛盾，因此a＝0，R为约化环.

定理7 设R为左MC2的exchange环和GCN环，若每个奇异单左R－模是YJ－内射的，则R为强正则环.

证明 由定理6知R为约化环，由文献［11］知R为完全左幂等环，由定理4知R为强正则环.

设R为一个环，G为一个群，由文献［9］25知：1）群环R［G］为von Neumann正则环当且仅当①R为von Nenmann正则环；②G为局部有限的；③G的每个元素的阶为R的可逆元；2）R［G］为完全左（右）幂等环当且仅当①R为完全左（右）幂等环；②G为局部有限的；③G的每个元素的阶为R的可逆元.

推论8 设R为exchange的GCN环，则下列条件等价：

1）R［G］为von Neumann正则环；

2）R［G］为完全左幂等环；

3）R［G］为完全右幂等环.

证明 1）⇒2），1）⇒3）：显然.

2）⇒1）：定理4的直接推论.

3）⇒1）：由定理4可证R为强正则环，故R为von Neumann正则环，R［x］为von Neumann正则环.

［1］AWTAR R.A remark on the commutativity of certain rings［J］.Proc Amer Math Soc，1973，41（3）：370－372.

［2］李德才，范志勇，魏俊潮.GCN环的一些性质 ［J］.河南大学学报（自然科学版），2013，43（6）：610－613.

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［5］WEI Junchao，LI Nanjie.Strong regularity of SF rings［J］.Acta Math Vietnam，2011，36（3）：677－683.

［6］周颖，李敏，魏俊潮.Abel环的一些刻画（Ⅱ）［J］.扬州大学学报（自然科学版），2015，18（1）：1－3.

［7］WEI Junchao.MC2 rings［J］.Kyungpook Math J，2008，48（3）：651－663.

［8］WEI Junchao.Certain rings whose simple singular modules are nil－injective［J］.Turk J Math，2008，32（3）：393－408.

［9］YU Huaping.On quasi－duo rings［J］.Glasgow Math J，1995，37（1）：21－31.

［10］WEI Junchao.Generalized weakly symmetric rings［J］.J Pure Appl Algebra，2014，218（5）：1594－1603.

［11］WEI Junchao.On simple singular YJ－injective modules［J］.Southeast Asian Bull Math，2007，31（5）：1009－1018.

Exchange GCN rings

QU Yinchun1，2，WEI Junchao1＊

（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Wuxi Inst of Tech，Wuxi 214121，China）

This paper is a further study of GCN ring.The main results are as follows：1）LetRbe an exchange GCN ring，if every prime ideal ofRis left primitive，thenRis a stronglyπ－regular ring；2）A ringRis a strongly regular ring if and only ifRis a semiprime exchange GCN ring and every prime ideal ofRis left primitive；3）Full left idempotent exchange GCN ring is a strongly regular ring；4）LetRbe an exchange GCN ring，group ringR［G］is a von Neumann regular ring if and only ifR［G］is a full left idempotent ring.

exchange GCN ring；strongly regular ring；full left idempotent ring；left V－ring；reduced ring

O 153.3；O 154

A

1007－824X（2015）04－0013－03

2014－12－09.＊ 联系人，E－mail：jcweiyz＠126.com.

国家自然科学基金资助项目 （11471282）；江苏省高等职业院校国内高级访问学者计划资助项目（2014FX079）.

屈寅春，魏俊潮.Exchange的GCN环 ［J］.扬州大学学报（自然科学版），2015，18（4）：13－15.

（责任编辑 林 子）