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基于“四基”理念的教学目标的实践与反思*

2015-05-25甘肃省张掖市第三中学李永明

中学数学杂志 2015年1期
关键词:四基反证法一元二次方程

☉甘肃省张掖市第三中学 李永明

基于“四基”理念的教学目标的实践与反思*

☉甘肃省张掖市第三中学 李永明

一、问题的提出

教育部制定的《义务教育数学课程标准(2011年版)》的课程目标是从四个维度进行阐述的:知识技能、数学思考、问题解决与情感态度(以下简称“四基”).如何才能在课堂教学中更有效地实现“四基”目标?如何才能在教学活动中把“四基”目标展示出来?如何才能在课堂教学中发挥“四基”目标的核心地位?笔者结合四个具体的案例来谈一谈课堂教学中是如何实现“四基”目标的.

二、实践与案例

1.以“知识技能”为目标的基础训练

知识技能就是我们长期以来所说的“双基”,即基础知识和基本技能,是具体的教学内容,是学生思考和学习的对象,是教师关注的重点.教师对于“双基”的传授,通常采用“启发式”讲授为主的教学方法,根据教学内容可适当采用“精讲多练”“自主探究”“小组合作”等教学方法.学生对于“双基”的掌握,应该在理解的基础上掌握,一般可采用模仿、记忆、适当重复和变式练习等行之有效的学习方式,尽可能达到扎实和熟练的程度.

案例1:估计一元二次方程的解.

知识技能:体验一元二次方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力.

数学思考:在观察、操作等活动中,能建立数感,初步形成“夹逼”的思想和估算能力,会独立思考问题,表达“夹逼”的思想,发展估算意识.

问题解决:从两个日常生活实例中发现和提出简单的数学问题,并能用“夹逼”的思想尝试解决;知道解一元二次方程有不同的解决方法;体验与他人合作交流解决问题的过程;尝试回顾解决问题的过程.

情感态度:感受估计在生活中的应用价值;树立积极参与、勇于探索的科学态度.

为了完成“四基”目标,在课堂教学中,教师可预设如下三个问题:

问题1:有一根外带有塑料皮长为200米的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查,你怎样快速地找到这一断裂处?与同伴进行交流.

问题2:在前一节课的问题中,我们若设地毯花边的宽为x(m),得到方程(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+11=0.

(1)x可能小于0吗?说说你的理由.

(2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由,并与同伴进行交流.(3)完成下表:

x 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 2 x2-1 3 x + 1 1

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流.

问题3:估计方程x2+2x-10=0的解.

设计意图:问题1,目的在于激发学生的学习兴趣,同时让学生体会和理解“夹逼”的思想,为问题2的解决做铺垫.问题2,顺应第1环节,设法求出花边的宽度,这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程,所求出的解是整数,为后续其他问题的解决提供了范例.问题3,设计了一个更加开放灵活的题目,让学生感受到当解不是整数时的情况,可以利用把一个数代入方程左边得到的值为负,把另一个数代入得到的值为正,则在这两个数之间可能有方程的解.根据这个原理,用二分法可以估计出方程的解.

案例反思:通过对问题1提出的方法进行讨论,学生能够比较自然地得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法.

问题2的第(1)问,因为x表示的是地毯的宽度,学生能意识到x不可能小于0;第(2)问,学生大多数能够从实际情况出发,意识到当x大于4和当x大于2.5时,将分别使原地毯的长和宽小于0,不符合实际情况;第(3)问,学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现,当x=1时,代数式2x2-13x+11的值等于0;花边的宽度为1m.

由于方程的解是整数解,学生都能通过列表计算直接找到方程的解,这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙,从而增强了学生学习的积极性,同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.

问题3是分析这个一元二次方程,当x的绝对值较大时,方程的左边必然为正,如-5和3;当x的绝对值较小时,方程的左边必然为负,如2.因此,在-5和2之间,以及在2和3之间方程可能有解.进一步,可以将解的范围缩小,使我们估计的解尽可能精确,如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算,如果得到的值为正,则在-1.5和2之间有解,否则在-5和-1.5之间有解.可以借助计算器来完成上述的计算过程.

估计方程的解,不仅仅在于求解,也有利于学生直观地探究方程的性质,初步感悟通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径.

2.以“数学思考”为目标的思维训练

数学思考是指运用“数学方式的理性思维”进行的思考,它重在培养学生独立思考的能力和从数学的角度去分析问题的素养,让学生学会独立思考,体会数学思想和数学思维方式,使学生终生受益.特别是学会独立思考,是数学课程培养学生创新能力的核心.

案例2:反证法.

知识技能:掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;进一步理解,以及总结证明的步骤、格式、方法.

数学思考:学生能从事物的结论的反面出发,进行推理,使之引出矛盾,从而证明事物的结论成立,进一步发展合情推理能力,培养学生的观察、探究、发现能力和空间想象能力、逻辑思维能力.

问题解决:从两个问题实例的反面出发,提出简单的数学问题,使之引出矛盾,学生能进行推理,并能尝试解决;了解反证法的一些基本证明方法,知道同一个问题可以有不同的解决方法;体验与他人合作交流解决问题的过程;尝试回顾解决问题的过程.

情感态度:渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想;让学生在观察、探究、发现中学习,在自主合作、交流中学习,体验学习的乐趣,增强自信,树立积极的学习态度,提高学习的自我学习能力.

教材设计了如下两个问题:

问题1:用反证法证明:△ABC中不可能有两个直角.

问题2:用反证法证明:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.

设计意图:这两个证明可以利用反证法完成,一方面使学生了解结论的证明;另一方面可以帮助学生了解反证法.问题1,难度低,易理解,学生通过图形和三角形内角和定理,很容易推出矛盾.问题

2,设计了一个更加灵活的题目,让学生动脑思考,画出图形(如图1),分析证明过程,在动手证明的过程中体会反证法的内涵,进一步建立应用反证法的意识.

案例反思:反证法是新课程理念下定理教学课的课堂模式的探索.概念学生易理解.但应用反证法证明命题的方法不易掌握,要突出本节的难点,应从反证法的概念入手.推理的基本思维方法是:否定结论会导致矛盾,即“否定—推理—矛盾—肯定”.以问题解决为中心,通过提出问题,完善问题,解决问题,拓展问题,采用自主学习的研究性学习方式,重点放在反证法的思想上,努力挖掘教学中蕴含的思维价值,培养学生的逆向思维能力,改变了传统的解决问题的模式.

图1

3.以“问题解决”为目标的能力训练

“问题解决”与“解决问题”不同,它是一种课程目标和教学方式,是展开课程内容的一种有效形式.其内容包括从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题四个方面.在实施过程中,教师应该注意引导学生学会交流、学会合作,教师还应该创设各种情境,让学生去观察、去思考,使他们面对各种现象时都有机会从数学的角度发现问题和解决问题.

实现“问题解决”的课程目标,能够让学生学会数学思考,还能够让学生积累思维的经验,并且能够成为培养学生应用意识和实践能力的重要方面.

案例3:为什么是0.618.

知识技能:体验从具体问题中分析数量关系,建立方程模型并解决问题的过程;探索具体问题中的数量关系,掌握用一元二次方程解决实际问题的一般过程及方法.

数学思考:在参与、观察、操作等活动中,体会数形结合的思想,并能建立方程模型,初步形成用方程的思想解决问题,体会方程的思想和思维方式;会独立思考问题,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,从中感受到学习方程模型的意义.

问题解决:初步学会在具体的情境中能够从方程的角度发现问题和提出问题,并能利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,增强分析问题、解决问题的意识和能力,提高实践能力.

情感态度:积极参与数学活动,在问题解决中,经历一定的合作交流活动,发展学生合作交流的意识和能力,体验解决数学问题的过程,养成合作交流等学习习惯,形成严谨求实的科学态度.

问题1:记得黄金分割中的黄金分割点和黄金比吗?是多少?怎么求出来的?

问题2:学习了一元二次方程之后,能否从方程的角度来解决这个问题呢?

设计意图:问题1,以学生所熟悉的黄金分割中的黄金比的求法为素材,设立问题串,将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解.问题2,目的是用一元二次方程的角度来解决黄金比.

案例反思:学生联系以前学过的黄金比的作图(如图2),以及和黄金分割有关的知识对这三个问题进行思考,能够在老师的引导下主动地思考问题,取得了比较理想的效果,而且也调动了学生的学习热情,激发了学生的思维,并进一步让学生体会数形结合的思想,为后面的探索奠定了良好的基础.

4.以“情感态度”为目标的兴趣培养

“情感态度”是指让学生能积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.并在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,体会数学的特点,了解数学的价值,锻炼克服困难的意志,建立自信心,养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯,形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度.“情感态度”是在达成知识技能、数学思考、问题解决目标的过程中获得的,它对促进学生的全面成长和可持续发展有重大意义.

案例4:用图像表示变量间的关系.

知识技能:体验从图像中分析变量之间关系的过程,进一步体会变量之间的关系;结合具体情境理解图像上的点所表示的意义.能从图像中获取变量之间关系的信息,感受几何直观的作用,并能用语言进行描述.

数学思考:通过从图像中分析变量之间关系的过程,体会变量之间的关系,感受几何直观的作用;在研究图像上的点所表示的意义的过程中,进一步发展空间观念;经历借助图像思考问题的过程,初步建立几何直观.

问题解决:初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.

情感态度:积极参与数学活动,体会数学与现实生活的密切联系,并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神;敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成严谨求实的科学态度.

问题1:每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗?

问题2:汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的,图3表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.速度/(千米/时)

图2

图3

(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间?它的最高时速是多少?

(2)汽车在哪些时间段内保持匀速行驶?时速分别是多少?

(3)出发后8分到10分之间可能发生什么情况?

(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.

问题3:设计两个不同问题情境,使情境中出现的一对变量满足图示的函数关系.结合图像,讲出这对变量的变化过程的实际意义.

设计意图:问题1,以问题的形式引导学生逐步深入地思考速度变化的条件.问题2,培养学生从图像中获取大量信息的读图能力,并通过亲身体验归纳总结图像表示法的特点,以及在现实生活中的实际意义.问题3,通过这个活动,激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例,以加深对函数的理解.目的是反映出学生善于观察事物发现分析问题的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观.

案例反思:教师可以鼓励学生,创设不同的符合函数关系和实际情况的情境,在一个开放的环境下展示、讲解生活中的图表,从中获取大量的信息.而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使图像信息的获取更加全面.

三、建议与感悟

1.注重“双基”知识,重在理解掌握

知识技能既是学生发展的基础性目标,又是落实数学思考、问题解决、情感态度目标的载体.所以,教师在课堂教学中,不仅要让学生掌握技能操作的程序和步骤,还要让学生理解程序和步骤的道理.也就是说,数学基本技能的教学应该注重让学生“理解和掌握”.首先,关注学生是否理解算理和推理.其次,关注学生能否有条理地说理及演绎推理.第三,“双基”的评价应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用,而不仅仅是记忆和使用的熟练程度.例如:教师可以安排一些探索规律和解决实际问题的题目,以评价学生对“双基”知识的理解和应用.

2.感悟数学思想,积累活动经验

数学思想的形成需要在过程中实现,只有经历问题解决的过程,才能积累丰富的活动经验,才能理解数学思想的精髓,才能进行知识的有效迁移.首先,在教学中,教师应该创设问题情境让学生经历和体验一些数学知识的获取过程,让学生“读——理解”、“疑——提问”、“做——解决问题”、“说——表达交流”,并在其中获得数学思想方法的感悟,积累丰富的活动经验.其次,在教学中,教师应该设计一些“有效的数学活动”,让学生在“做一做”、“剪一剪”、“拼一拼”等数学活动中获得丰富的活动经验,这种活动经验只是教学的起点,它还需要学生在探索、交流等过程中不断地反思总结,从而内化成为自身的活动经验,获得成功的体验.第三,要重视学生的主体地位,爱护、信任、尊重学生,以平等、民主的态度对待他们,引导他们积极参与、经历数学活动过程,让他们在观察、测量、折叠、画图等活动过程中感悟数学思想,积累数学活动经验.

3.关注情感态度,增强学习兴趣

数学教育不但要关注全体学生智力的发展,也应该关注全体学生情感态度的发展.义务教育阶段的数学课程是面向全体学生的,每一个身心发育正常的学生都能够学好数学.所以,教师在课堂中应该照顾到大多数学生,给每一个学生发言展示的机会,让一些有困惑的学生也有机会表达自己的想法,带领他们一点一滴地建立信心,增强学习兴趣,真正学懂学会,让全体学生的情感态度都向正面发展,向好的方向发展.

总之,“四基”目标是相互促进的,是一个密切联系的整体.它需要教师精心设计教学活动,认真分析教学内容的特点和学生的认知规律,才能有条理地整体实现.它的整体实现是“学生受到良好数学教育的标志”.要达到四个目标统筹兼顾的理想效果,就要求我们教师认真研读课程标准,领会教科书的编写意图,正确把握和落实“四基”目标,从思想上认识到位,在常态的课堂教学中千方百计地融入和渗透数学思考、问题解决、情感态度的课程目标,在课堂教学中努力提高自己的教学效率和教学艺术,这样“四基”目标才能落实到位,才能让每一同学都能获得良好的数学教育.W

*本文为甘肃省教育科学“十二五”规划2013年度立项课题《基于“四基”理念高效课堂的案例研究》的阶段性成果,课题编号:GS[2013]GHB0764.

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