基于数学过程的教学实践

☉江苏省张家港市塘桥初级中学 范文华

基于数学过程的教学实践

☉江苏省张家港市塘桥初级中学 范文华

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在知识技能目标中首次出现了过程性的目标，将获取知识和技能的过程本身作为课程的重要目标之一.那么“数学过程”是什么？数学教学中有哪些过程值得关注？又该如何更好地去体现这些过程呢？这些都是我们每一位数学教师必须面对和需要思考的问题.

一、关于“数学过程”的理解

何良仆先生指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.数学是世界的本质，世界具有数学描述的形式.数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数及数的关系的和谐系统.”

从教育角度来说，数学是一种精神，一种理性的精神.应该把掌握数学当作掌握自然界秘密的一把钥匙.将其作为陶冶精神，训练心智的一种工具.数学教育中重要的问题，不是教什么题材，而是教给学生更珍贵的东西——如何掌握题材.数学教育（尤其是基础教育）的价值核心，不在于数学知识的掌握，而在于“数学过程”，在于经历数学概念、公式、定理、法则的提出过程，数学结论的形成过程，数学思想方法的探索及概括总结过程，以及用数学的过程.即“抽象—符号变换—应用”的过程.学生通过数学教育，掌握基本的数学思想方法，学会数学式地思考.

从数学学习的角度来看，数学是学习者个人建构的过程，他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考和与他人交流等，去建构对数学的理解.

二、实施“数学过程”的路径

数学教学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的过程，所以构建合适的数学活动，是实施“数学过程”的重要路径.下面结合苏科版新课标七年级下册“三角形内角和”第1课时的教学设计，谈谈自己的一些实践和思考.

1.架设“已知”与“未知”之间的桥梁，经历新知的形成过程

在数学新授课中，每一节课的开始，总是先探究新知的产生与形成，然后理解与应用.而让学生亲身经历新知的形成过程，通过思维与情感的投入，能促进知识的理解，积累数学活动经验，形成主动探究的意识.

而要学生能顺利有效地投入到整个过程，必须以学生已有的生活经验和知识经验为基础，架设“已知”与“未知”之间的桥梁，设计有趣而有序的问题情景.

教学片段1：探究新知.

师：小学时，我们是如何得到三角形的内角和？

生1：先画一些不同的三角形，再利用量角器测量三角形的三个内角的度数后求和.

生2：先画一些不同的三角形，将三角形的角分别剪下来，然后将他们拼起来，发现构成了平角.

师：其实我们还可以画出无数个三角形，但不可能对所有的三角形都进行这样的操作，那么我们怎么去说明所有的三角形的内角和都是180°呢？

设计意图：这个问题是进行下面探究的起因.操作只是对部分对象进行的探究，那么由部分对象获得的结论是否适合所有的对象呢？我们可以利用所学的数学知识进行推理论证，这样将隐藏在学生内心深处无法表达的问题显现出来，能有效地培养学生的问题意识，激发进一步探究的欲望.

师：如图1，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，a∥b.这个图形与“三角形内角和为180°”有联系吗？

图1

设计意图：这个问题对学生来说，有一定的挑战性，因为平行线与三角形在图形上根本无明显的联系可言，同时七年级学生还没有接触过这样形式的问题，课堂上也很可能遭遇冷场，但是只有不断地把思考的主动权交给学生，学生的主体地位才能得以保障，才能不断地激发学生的认知潜力.而为了后继教学，教师应充分做好预案，促进教学活动的有序开展.

预案：图1的图形与三角形虽然没有任何联系，但是由a∥b，你可以得到哪些结论？这些结论中有与“三角形内角和为180°”相似之处吗？

生：两直线平行，同旁内角互补，互补即180°.

……

设计意图：运用元认知的发问，渐进地促进学生的认知发展，以使学生的思维活动尽可能地处于其能力的极限状态，达到合理而高效的建构.

师：下面看如何利用这个联系，来说明“三角形内角和为180°”.如图2，把木条a绕点A转动，使它与木条b相交于点C.从图1到图2，图形发生了什么变化？你能利用图2说明“三角形内角和为180°”吗？

图2

设计意图：为什么要通过活动而不是直接引导学生作平行线进行证明呢？学习要建立在学生已有的经验基础上，只有建立在已有的经验基础上的学习，才能促进学生主动地建构.七年级学生还是以形象思维为主，直接证明过于抽象，学生不易想到，所以通过这个活动，让学生能直观地感受到两者之间的联系，从而为解决问题提供思路.只有关注学生经验基础的教学才是有效的.

师：已知△ABC，你如何说明“△ABC的内角和为180°”呢？

生：“构造图2的形状”来说明，……

师：你还可以从别的地方作平行线来说明吗？

……

师：很好，我们刚刚把一个陌生的问题（三角形的内角和问题）转化为熟悉的问题（平行线问题）来解决的，这就是转化的思想方法.转化思想是初中数学中常见的一种思想，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，常需运用将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将难以解决的问题转化为容易解决的问题，将待解决的问题转化为已解决的问题.

设计意图：为什么还要重新画一个三角形，要求学生去“构造图2”或用其他的方法再来说明三角形的内角和等于180°呢？上面的操作过程，学生只是感受到两者之间的联系，思维中并没有形成“转化”的思想方法的应用结构，所以要撇开原型，利用前面的数学活动获取的经验，进行重新建构，从而深刻理解“转化”的过程，并能在以后的学习中主动地运用.

从操作中获得猜想，引导发现猜想的结论与已有的知识之间的联系，从而获得结论成立的理由，学生在探究中获得三角形内角和是180°的结论，学会了有条理地思考和表达，更主要的是获得了解决问题的方法和策略——操作、观察、猜想、说理，这必定对其以后的学习产生积极的影响.

2.构建“有序”且“跳跃”的问题，以便形成解决问题的方法

在获得相应的结论后，巩固与练习是课堂活动的另一个重要的内容，这个内容的特征是设计一系列问题，让学生来解答，而这些问题的设计要在难度上注意层次性，在解决上注意暗示性与递进性.

教学片段2：练习与巩固.

练习1.出示问题：根据图3填空.

（1）n=________；（2）y=________；（3）x=________.

（4）△ABC中，∠A+∠B=80°，∠A=2∠C，求△ABC的三个内角.

练习2.（1）如图4，AC、BD相交于点O.∠A与∠B的和等于∠C与∠D的和吗？为什么？

图4

图5

图6

（2）如图5，你能发现与（1）类似的结论吗？

（3）如图6，已知∠B=30°，∠C=30°，则∠HED与∠GDE的和等于多少？

设计意图：练习1是三角形内角和的简单应用，其中（1）、（2）是已知角的度数，直接加减求解，（3）、（4）不是直接已知角的度数，而是已知角之间的关系，可通过列方程进行求解.这些问题在方法上具有递进性，学生在解答时，通过对比，发现异同，加深对方法的理解.

练习2的第（1）题是课本例题，目的是渗透初步的演绎推理，让学生感受到说明图形的一些性质也可以运用演绎推理的方式获得.引导学生得出正确的结果后，还要引导学生应用所学知识正确地表述求解（推理）过程.为了达到这一目的，可让学生先“说”，“说”是一种出声的思维，“说”是一种数学交流，实践证明会“说”的一定会“写”.

练习2的第（2）题是第（1）题的“变式”，是为了培养学生将新旧知识进行迁移的能力，迁移能力是学习的一种重要的能力.

练习2的第（3）题是第（2）题“变式”，是为了培养学生的转化问题的能力，通过第（2）题的“原型”启发，希望学生将其转化为第（2）题的形式进行求解，进一步体验转化思想的应用.这些问题在方法上具有暗示性.学生在解答时，通过不断地对比、转化，能激发学生探究的欲望，自主形成科学的思维方法.

练习3.如图7，在△ABC中，AE是角平分线，且∠ABC=30°，∠ACB= 80°.你能求出图中哪些角的度数？

练习4.如图8，在△ABC中，AE、BD是角平分线，且∠ACB=80°.你能求出∠AOB的度数吗？

设计意图：难度上具有层次性，先引导学生分析练习3，并归纳解题经验：寻找图形中有哪些三角形，然后结合条件，确定已知角的度数，再利用三角形的内角和，求出未知角的度数.如果找不到，可以根据图形想办法构造出三角形（如练习2第（3）题）.对于练习4，让学生学会将复杂图形分解为简单的图形后再进行思考.

图7

图8

3.暴露自己的“智慧”与“不足”，形成良好的情感体验

教师不要急于分析解题思路，这时，教师可通过巡视，确定有多少人不会做.而提问时，不要直接提问会做的学生，可提问那些不会做的学生，看看他们的思维过程，这时教师可结合学生的思维进行引导与交流.

教学片段3：对话与交流.

请看下面解决练习4时，师生的对话.

师：你觉得这道题不好做是吗？那你能说说不好做的原因吗？

生：要求∠AOB，必须求出∠BAO与∠ABO的度数，但只知道∠ACB=80°，无法求出∠CAB和∠CBA，所以我觉得做不出来.

设计意图：我们就是要看看学生是怎么想的.这是这个学生做不出这道题的原因，也是解决这道题的关键，他的问题也在启发其他的同学进行思考.以这样的方式得到解决这道题的关键，要比教师直接说出来的效果好很多倍！我们教学的目的是要将那些不会的学生教会，而不是让会的学生进行表演；我们的教学，应是促进学生主动建构，而不是直接给予.

我们要关注问题，不但要关注教师如何设计问题，还要引导学生学会提出问题，更要关注学生在解决问题时，使思维受阻的原因在哪里？“让学生说说不会解的原因”是我们获取学生在解决问题时思维受阻原因的一个直接而方便的方法，然而在我们的课堂上，这一个环节是最易被教师所忽视的.

先留给学生一定的思考时间，只有在学生思考了并发现自己在什么地方出现障碍以后，教师的提示才能纳入学生的认知结构.

方法只有经过一定的体验，才能有深刻的感受，才能感觉其可贵，我们一定要为学生提供自我建构的时间和空间.在学习中，有创见，当然予以表扬，但是能勇于承认自己不会，并能说出自己失败的原因，更是难能可贵，经历了失败、反思的成功过程，必能形成对数学良好的情感态度与价值观.

4.学会反思，点燃学生的智慧

弗赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力.”反思就是用新的数学观念去重新审视已经积累起来的知识、技能和方法，重新组合形成一个新的知识结构.在数学教学中，要让学生感受反思的必要性，培养反思的习惯，学会反思的方法.

教学片段4：回顾反思，主动建构.

为了使学生对本节课有一个完整而深刻的认识，设计以下问题结束本课教学.

问题1：本节课你学到了哪些知识？

问题2：在探求三角形内角和为180°时，你获得哪些经验？是如何获得说理思路的？

问题3：在利用三角形内角和解决问题时，你遇到过什么困难？你自己想到了什么方法？现在你学会了几种方法？这些方法是怎样获得的？

设计意图：小结既要注重引导学生对知识与技能的再认识、再回顾，更要注重对过程与方法的再思考、再升华、再提炼，将研究问题的策略性知识与思想通过小结加以再现，以促成知识与方法的有机融合.

我们要明确每一节课的反思任务，不仅是对知识简单的复述，还要注意数学活动经验和数学思想方法的反思，要反思知识的形成过程，要反思知识之间的联系，反思解决问题的方法与技巧.在教学中如果经常设计反思的教学环节，长此以往，学生将逐渐意识到反思的必要性.在课堂教学中，我们不能仅仅把学生置与“活动”之中，还要置于“反思他们的活动”之中，才能促进理解，从而更好地进行建构活动，实现良好的循环.W