2014年中考成都卷第23题分析及启示

☉四川大学附属中学 刘成龙

☉四川省成都市教育科学研究院 黄祥勇

2014年中考成都卷第23题分析及启示

☉四川大学附属中学 刘成龙

☉四川省成都市教育科学研究院 黄祥勇

近年中考成都卷布局为A卷（100分）+B卷（50分），基本意图是A卷为毕业会考水平测试，B卷为升学选拔把关.成都中考命题始终严格遵循《考试大纲》要求，在注重考查基本知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的理念下，逐步形成了“立意鲜明、背景新颖、设问灵活、层次清晰”的新特色（尤其是B卷部分），这不仅体现了试题立意的新颖性、公平性，而且在有效考查现阶段学习能力的同时，甑别了学生学习的潜质.总的来说，近几年成都中考试题，稳定不乏新意，平和不掩亮点.纵观2014年成都中考试卷，不乏一批优秀试题，如：第23、24、25、26题等.笔者认为这些好题不仅是当年中考的一大亮点，而且在未来几年都有重要的教学和研究价值.因此，对一些优秀试题加以研究非常有必要.本文中以2014年中考成都卷第23题为例，从多个视角分析，以飨读者！

一、试题再现

图1

题目（2014年中考成都卷第23题）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”.顶点全在格点上的多边形称为“格点多边形”，格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如，如图1，图中三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S、N、L分别是_________，经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=_________.（用数值作答）

二、命题立意

立意指命题者命制试题的意图.它是命题者命题思维的前端，决定考查内容的方向、难度，以及问题呈现方式，下文从三个视角分析命题者的立意.

立意1：承上启下

成都B卷填空题共5题（21~25），一般来说第21、22题属于简单题，第24、25题难度较大，而第23题（4分）刚好处于过渡位置，既需要有简单题的一面，又要有难题的味，综合在一起，笔者猜测命题者将试题难度设置为中档（难度系数约为0.5）.在此立意下，命题时将试题设置为两个小题：第1小题相对简单，在承前的同时又有送分的意图，体现了命题者的“人文关怀”和“人人都获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念；第2小题需要在第1小题的基础上，学生需要进一步自主探究得到解答，有一定难度.

立意2：能力考查

本题是一个经典的新定义探究性问题，构思巧妙，背景新颖、公平.对学生能力的考查主要在两个方面：阅读能力和探究能力.《数学课程标准》（下文简称《标准》）强调注重学生数学阅读能力和探究能力的培养，提倡阅读自学的数学学习方式.在试题的解答中，首先，需要学生通过阅读新信息（“格点”和“格点多边形”）在大脑中建构起新概念，建立了新概念后学生需要再次阅读理解“格点多边形”面积（S）、内部的格点数（N）、边界上的格点数（L）的含义，进而把5个新概念有机整合在一起；其次，需要学生通过动手画“格点多边形”来探索试题解答：①学生通过动手画一个“格点多边形”，再根据S、N、L的值建立一个等式（方程组）；②动手画出满足条件（N= 5，L=14）的“格点多边形”，在这一过程中需要通过逐步调整N和L的值，是一个探究的过程.

立意3：彰显文化

皮克公式是著名而有趣的数学问题，以皮克公式为依托命制试题有利于向考生介绍数学史实、渗透（或传递）数学文化，在无形中增加了人文气息和数学底蕴，同时让学生在探究中重温数学家皮克的发现之路，感受数学的乐趣和魅力.

三、试题源头

1.源于教材——高于教材

试题在选材上源于教材.北师大版（成都市现行教材）《数学》七年级下册第4页“读一读”内容，介绍了一个实用而有趣的皮克公式，如下：

皮克公式，也称为皮克定理，由皮克在1899年给出，是最重要的100个数学定理之一.皮克定理介绍了点阵多边形面积、内部格点数目、边上格点数目的关系：S= N+-1（其中N表示多边形内部的点数，L表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积）.皮克公式在中学阶段不要求学生掌握，因此，命题者在命制试题时并没有直接考查学生对公式的简单记忆（背诵），或直接套用皮克公式计算给定图形面积，而是以皮克公式为背景，先通过设置新概念、新情境让学生在特例下感知S、N、L之间的关系，再给出S=aN+bL+c，让学生通过方程组解答出a=1，b=，c=-1，进而探究出皮克公式S=N+1.真可谓源于教材，高于教材.

2.源于高考——试题原型

笔者揣测命题者在确定以皮克公式为背景命题后，查阅了近年高考、中考及常见教辅中的试题，发现中考及教辅试题中以皮克公式为背景的新定义基本没有，无独有偶的是在高考试题（2013年湖北卷文科17题）中有所体现.

尽管高考中对皮克公式有所考查，但丝毫不影响中考命题，反而说明皮克公式是一个很好的命题素材.命题者保留了高考试题的主要框架，做出了符合初中生学情的一些改编，具体命制过程如下：

（1）命题者以学生熟悉的“网格”为背景给出了“格点”的概念.

（2）把“已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+ c”改编成“经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c”，其中“探究”一词有暗示学生想要得到皮克公式需要探究的用意.探究的具体思路是：从特殊到一般.具体方法是：再动手画一个格点多边形，构建方程组.

（3）把高考试题中的“N=71，L=18”改编成“N=5，L= 14”，这里表面上仅仅是数据相对减小，实质上数据较小是命题者故意为之，笔者猜测其意图是设置试题解法的多样性：数学成绩优秀或图形方面直觉较强的学生可以直接通过画出满足题意的图形解答试题（数据较大是很难直接画出满足题意的图形）.

四、解答分析

解答本题首先需要学习“格点”及“格点多边形”这两个概念，对于“格点”，学生较为亲近，在平常的学习中有所接触，从而在心理上消除了紧张焦虑的情绪.至于“格点多边形”这一概念，尽管学生没有接触过，但理解起来也不是什么难事.然而在掌握“格点多边形”概念后又增加了面积（S），内部格点数（N），边界上格点数（L），使得概念达到了5个，且随着试题叙述文字的增多，考生的情绪急剧升温，这时需要借助具体的实例（图中△ABC）来识别、巩固、内化S、N和L的概念，即文字叙述—图形验证的过渡，处理好这一环节是解答后面两空的关键.在正确学习特例△ABC中S=2，N=0，L=6后，第1空较为简单.下面重点分析第2空的解答.

解答角度1：方程组法

题目中给出了S=aN+bL+c这一关系，关系中含有a，b，c三个字母，要求a，b，c，则需要建立三个方程，于是需要三组S、N、L值，但现成的值只有两组（图中△ABC和第1问中S、N、L值），因此，需要学生动手画一个“格点多边形”，比如：边长为2的正方形，长为2、宽为1的长方形等.

解答角度2：作图法

由网格中的格点△ABC和格点多边形DEFGHI可以直接得到对应图形中S、N、L的值，要求“当N=5，L=14时，S的值”很自然想到能否画出满足条件的图形？事实上，部分数学成绩优秀或者在绘图方面直觉较强的学生能直接画出满足条件的图形，进而得到S的值.（这里给出几种满足题意的图形，如图2~图8）

解答角度3：规律探索法

这里选定比较特殊的“格点”多边形：

（1）“格点”长方形.

当N=0，L＝4时，S=1；

当N=0，L＝6时，S=2；

当N=0，L＝8时，S=3.

（2）“格点”长方形.

五、问题分析

本题仅仅涉及列、解三元一次方程组，运算量不大，无需特殊技巧，弄清题意后很快就能解答，应该不算一道难题.但从阅卷现场反馈的信息，此题平均得分约1.4分，这意味着还有很大一部分学生没有完成送分的第1空，而解答第1空只需理解新定义即可.问题出在哪里？考后笔者访谈了一些考生，其中一些得0分的考生的感受是：（1）第23题的题干文字太多，没有看下去的勇气；（2）看完题后不知道题目说的是什么意思；一些得2分的考生的意见是：做第2空时，没有想到通过画一个格点多边形建立方程组.经过分析，笔者认为考生丢分的深层原因是阅读能力、探究能力的缺失.是什么原因造成阅读能力、探究能力的缺失呢？

从目前初中数学教学的角度来看，课堂教学的主要任务是范例的讲解与大量题目的演练，教师比较重视学生对基本知识的记忆与重复，忽略学生对数学本质的体验与理解；重视学生对题型—套路—题型的识别，忽略学生对数学思想、方法的总结与提炼；重视学生对具体问题的解决，忽略学生对新情景、新问题的处理.从学生的学习方式来看，数学课堂的基本模式是“教师讲—学生听—学生记”、“教师示范例题—学生模仿练习—学生记忆基本题型”.对于广大考生来说，第23题是全新的，在老师的“猜题押宝”、“套路训练”、“题海战术”中从未见过，学生无法在大脑储存中找到匹配的解答模式.

六、教学启示

1.切实研究教材

教材是教学活动的重要资源，是执行课程标准、体现课改精神的载体，是众多教育专家及一线教育工作者的智慧结晶.从历年中考命题可以发现，每年都有一部分试题直接源于教材.第23题由命题者选用教材中“读一读”栏目中皮克公式命制而成，这有让教师们回归教材、研究教材之意图.笔者认为，研究教材分为三个层次：读懂教材、用好教材、用活教材.研究教材可以从以下五个方面入手：

（1）梳理教材知识脉络、编排顺序，了解知识的孕育、形成和发展过程，理清章节间的联系.

（2）理解编者的意图：领会教材章节设置、引入、例题、习题、阅读材料、旁白等的意图.

（3）分化教材难点、突破教材重点.

（4）理解例题、习题的示范性、针对性，研究例题、习题的解法、背景、变式和拓展.

（5）有机融合各章节教材，形成问题串、知识链；根据学情，适当打破章节编排顺序，创造性地使用教材.

2.改进教学方式

《标准》倡导“积极思考、合作交流、动手实践、自主探索的学习方式”.“学习金字塔”理论表明：不同的学习方式得到的学习效果区别很大，位于塔尖的是学生单凭阅读或听老师讲授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是学生动手参与和给别人讲授效果最好（保持90%）.可见，“教师讲—学生听—学生记”、“教师示范例题—学生模仿练习—学生记忆基本题型”是信息单项传递的教学模式，学习效果低下.因此，数学教学中教师应让单向信息传递的教学模式“动”起来.笔者认为，在教学中应建立多元互动机制，让信息在教师与学生、学生与学生之间流动起来.首先，教师应精心设置教学内容、知识呈现形式、问题讲解方式，激发学生持续学习热情和欲望，引发他们的行为参与、认知参与和情感参与；其次，教师要重视师生之间的相互合作、相互沟通，充分发挥学生的主体地位，还课堂、时间、还话语权于学生，引导学生之间充分交流，从而在师生对话、生生对话的过程中，达成“互识”和“共识”.

3.重视能力培养

（1）加强阅读能力培养.阅读，字典的解释是“看文字并理解它的意思”.阅读属于信息输入加工形式，是人类汲取知识、认识世界、可持续发展能力的一个重要方式.而数学阅读是指学生根据已有的知识和经验，通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息，建构数学意义和方法的心理与智力过程.数学阅读过程是一个完整的心理活动过程，包含语言符号的感知和认读，新概念的同化和顺应，阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素.同时它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程.《课标》强调注重学生数学阅读能力的培养，提倡阅读自学的数学学习方式.通过数学阅读可以促进学生数学语言水平（符号语言、图形语言、文字语言）、认知水平的发展.从23题解答的情况来看，很大一部分学生害怕数学阅读，缺乏阅读的勇气和信心；另一部分学生能坚持读完试题，但不能有效地摄取有效信息，理解和内化试题的意义，都说明了阅读能力的缺乏.因此，教师在教学中要有阅读是一种能力的理念.加强阅读能力可以从以下入手：①让学生认识阅读的重要性，培养阅读兴趣，增强阅读的动力；②提供丰富、有趣的阅读材料：教材中的阅读材料、《数学史》及数学科普读物等；③开展数学阅读方法指导：把握阅读的时机，阅读的方式：精读与泛读，阅读的技巧等；④加强学生审题训练；⑤引导学生写数学作文.

（2）加强探究能力培养.按《现代汉语大词典》的解释，探究是指“探索研究”，即努力找出答案、解决问题.《辞海》对探究的解释，“深入探讨，反复研究”.布鲁纳说：“探索是数学的生命线”.《标准》中用很大的篇幅提到“数学探究”，即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明.倡导“积极主动、勇于探索的学习方式”是《标准》的一个基本理念.在23题的解答中，部分学生没有通过动手画“格点多边形”来探索试题解答的意识，更缺乏通过逐步调整画出满足题意（N=5，L=14）的图形的想法.因此，教师在教学中要加强探究能力的培养.加强探究能力可以从以下入手：①培养学生问题意识：提出问题、分析问题、解决问题的能力；②设置探究性问题：背景新颖型问题、结论开放型问题、猜想探究型问题、实践操作型问题、类比探究型问题、评价探究型问题和阅读探究型问题等；③学习探究的基本思想和方法，比如：特值（例）引路—先猜后证.

1.赵思林，潘超.一道以群的定义为背景的高考试题赏析［J］.中学数学（上），2008（4）.

2.刘成龙.由一个物理问题引起的探究性学习［J］.中学数学教学参考（中），2013（7）.

3.刘成龙，等.推陈出新适度暗示能力突出解法多样教学引领——2013年中考成都卷第25题亮点分析［J］.中学数学（下），2014（2）.

4.刘成龙，等.高考数学探究性试题简析［J］.中学数学研究，2011（11）.

5.黄祥勇.平实中见清新，细微处蕴思想——2014年四川省成都市中考数学试卷评析［J］.中学数学（下），2014（9）.W