基于问题成于发现*——涵育问题意识的“一元二次方程”复习课教学

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

基于问题成于发现*
——涵育问题意识的“一元二次方程”复习课教学

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

鲁巴克说过：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提出问题”.世界上许多发明创造都源于“疑问”，“质疑”是开启创新之门的钥匙.但要学生能发现问题、提出问题，能主动地质疑问难，就需要执教者营造一个激发学生动机的场，这个场就是心理自由的课堂氛围，场营造好了，再辅以模仿、类比、逆向探测等常见的诱发创新思维的路径，面对此场，学生才能心有触动，才会有话可说.

一元二次方程作为初中学段的核心知识，内容丰富多彩，思想方法充盈，同时也是落实数学应用价值的良好素材.但作为复习课，若处理不慎，学生往往情绪不高，这种“似曾相识”、没有多少新鲜度的课堂，难使学生有心灵的震撼、智能的挑战.缘于此，复习课的思路需要打开，需要冲破这种常态的平淡，需要精心设计具有挑战性的问题，激发起学生的复习欲，让学生体悟到复习课同样思维灵动、激情四射，变“被动”为“主动”！通过“学答”到“学问”的转变，涵育学生的问题意识，发展创新思维，让复习课成为知识内化、方法再建、思想升华的平台.

一、教学目标

（1）以开放题为先行组织者，唤醒对一元二次方程的概念、解法及其根与系数关系等知识的认识，在交流中加深对它们的理解，发展思维力，涵育问题意识.

（2）通过交流活动，感知方程的个性特点对优化选择解方程方法的定位，渗透解题的策略意识.

（3）通过系数由数到字母的提升，再次开放，在编拟与形成思路的过程中，提高综合运用知识的能力.

（4）通过开闭结合的方式加强知识的联系，构建起一元二次方程的知识脉络体系，明确思路，完善认知.

二、课堂实录

1.开放思维，启动课堂

师：根据自己对一元二次方程概念的理解，写出一个你喜欢的一元二次方程.

6生板演，其他同学同位互查.

生1：2x2+3x-4=0.（老师将该方程标为（1））

生3：2x2+x-3=0（.教师将该方程标为（3））

生4：x2-3=0.（教师将该方程标为（4））

生5：x2+5x=0.（教师将该方程标为（5））

生6：ax2+bx+c=0.（教师将该方程标为（6））

师：就这6位同学写出的6个方程（为表述方便，编了序号），谁能提出一些问题供同学们思考？

生7：判断他们写的方程是否是一元二次方程.

生8：分别解这些方程.

生9：不解方程，判断这些方程实数根的情况.

生10：不解方程，求每一个一元二次方程两根的平方和.

……

师：同学们的表现非同一般，能提出这么多好问题！下面我们首先解答生7提出的问题.

大部分学生认为方程（1）~（5）都是一元二次方程，而（6）不是，有少数学生质疑方程（3）和（6）.

师：既然有不同的声音，我们就重新审视一下方程（3）、（6），认为（3）不是一元二次方程的同学说一下自己的理由.

生11疑惑地面向老师.

生众（接）：单独的一个数或一个字母都是单项式.

生11点头认同.

师：对（6）有疑问的同学请回答.

生12：老师我现在知道了，需要a、b、c为常数，并且a不等于0才行.

师（追问）：那你能写出一个含字母的一元二次方程吗？

生13：能，3x2+px+q=0，p、q都是常数.

师：好！不错.对于解方程，我相信同学们都能操作，现在我们不具体求解，看分别用什么方法较为合适.

生众：（1）求根公式法；（2）配方法；（3）求根公式法；（4）直接开平方法；（5）因式分解法.

师：说得很好，对于解方程而言，方法选择很重要，它关乎着解题的速度与质量，那么面对一元二次方程的求解，你如何进行方法选择呢？请表述一下自己的观点！

生14：缺一次项的一元二次方程适合直接开平方；缺常数项的适合因式分解（提公因式）；二次项系数为1且一次项系数为偶数的适合配方法；其他用“万能”求根公式.

师；总结的不错，具有一定的普适性，同学们是这样想的吗？

生众：是的，差不多.

然后分组依次解答生9、10的问题.

限于篇幅，本环节过程略.

师：好，同学们一股脑儿提出了这么多问题，并做了解答，特别是识辨出了生6提供的方程不是一元二次方程，表现不错，下面哪一位同学对方程（1）做一下改造，使得系数变为待定字母，增加一点挑战性？

生15：我变二次项系数，把“2”改为“2m-1”.

师（板书出来）：（2m-1）x2+3x-4=0，这还是一元二次方程吗？

生众有的说是，有的说不是.

师：为何不一致了，到底是不是呢？请同学们思考后交流.

生众：当m为常数时，就是一元二次方程；可以说是关于x的一元二次方程……

师：这些同学说得合理吗？

生有的说不对，要保障是一元二次方程，需要2m-1≠0.

师：对，只有界定了2m-1≠0，才能保证它是关于x的一元二次方程，否则，就是一元一次方程了.这是这类问题的一道坎儿，需要我们当心！刚才同学们说得都非常好，说明同学们对概念领会的不错.我们就这一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出几个问题供思考、解答？

师甄别选择，锁定以下7个问题，并编序号（7）~（12）.

生16：m为何值时，方程有两个不同的实数根？（标为（7））

生17：m为何值时，方程有两个相同的实数根？（标为（8））

生18：m为何值时，方程没有实数根？（标为（9））

生19：m为何值时，方程有实数根？（标为（10））

生20：若一个根为1，求m的值，并求方程的另外一个根.（标为（11））

生21：m为何值时，方程的两根互为倒数？（标为（12））

……

师：同学们都有了自己的问题，现在呈现给大家6个较为典型的问题，请各位同学先思考定位，不具体求解，5分钟后交流思路

生22：对于问题（7），让根的判别式大于0，然后解关于m的不等式.

生23（反驳）：不行，要用根的判别式，需要保证它是一元二次方程，本题说“方程有两个不同的实数根”暗示了这是个一元二次方程，因此要补上“2m-1≠0”！

生众表示认同.

生24：对于问题（8），在2m-1≠0的前提下，让Δ=0，解方程后综合确定即可.

生25：对于问题（9），在2m-1≠0的前提下，让Δ＜0，解它们组成的不等式组即可.

生26（质疑）：不用考虑2m-1≠0，因为若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有实根.

掌声响起.

师（点评）：这位同学认识深刻，想的全面，的确，不需要考虑2m-1的限制，可若改为“m为何值时，一元二次方程没有实数根？”，同学们认为该如何思考？

生众：那就必须要保证2m-1≠0了！

师：说得好！有时候区别就在细节上，认真审题至关重要！

生27：对于问题（10），我认为它就是问题（7）、（8）综合在一块，在2m-1≠0的前提下，让Δ≥0，解它们组成的不等式组即可.

生28：方程有实根，并没有说有两个实根，因此，只考虑当2m-1≠0时Δ≥0，不全面，还需要考虑2m-1=0时的情形.

师（面向全体）：同学们认为呢？

生众认同生28的说法，但大部分表示也没想到.

师：这位同学考虑得全面，实际上这样的不确定问题，离不开分类思考.他值得我们全体同学学习！

响起掌声.

生29：对于问题（11），只要依据根的定义将x=1代入方程求解即可，m一旦知道，解方程就可以求出另一个根.

生30（补充）：我还有另外的方法，设另一个根为x0，直接使用“根与系数的关系”得1+x0=-解方程组即可.

师：这位同学另辟蹊径，巧妙地利用“根与系数的关系”，通过构造方程组求解，值得借鉴！

生31：对于问题（12），由倒数我想到两根乘积为1，由此联想到“根与系数的关系”，这个问题要依次考虑三点，一要保证是一元二次方程，二要有实根，三要两根积为1.

师：分析得头头是道，可见功力不浅啊！

大部分学生对生31的说法感到茫然.

生32：我知道了，对于问题（12）这类题，既然想使用“根与系数的关系”，就应该保证它的使用条件：是一元二次方程且有实根！也就是需要考虑三点：一是一元二次方程，二是Δ≥0，三是根与系数关系的使用.

师：说得好！实际上解决这类问题形成了一条思维链，谁能归纳一下？

生33：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）→Δ≥0→根与系数的关系.（说明：箭头是笔者加的）

师：这三位同学非常了得，以不同的形式给出了同样的思考链条！说实在的，这些问题都超出了我们学习的基本范畴，但若能有序思考，对我们以后的学习是非常有帮助的.至此，这几个问题已经较圆满的解决了，复习至此，是不是感觉复习内容还有缺漏？

生众：还有方程的应用没有复习.

师：是的，下面我们就把这一缺口填补上.

教学说明：从封闭性设计向开放性设计转换，并有意识地引导学生自己提出问题，这是对学生问题意识涵育的重要路径，能让学生体验到问题的提出不只是老师的专利，学生同样可以有自己的问题，可以解答自己的问题，而不仅仅是解答老师提出的问题，这种编拟问题的成就感会催动学生的深度思考，会助力于学生思维的发展，为创新意识的萌动积蓄能量.本环节教学对此做了较好的诠释.

2.应用情境，思维驰骋

问题：如图1，用长度为40米的篱笆靠着一面18米长的墙（CD所在的线段）围成矩形场地，用来作鸡和1·x0=舍.就现有条件，你能提出一个有关一元二次方程的问题吗？

图1

生34：AB多长时，鸡舍的面积为150平方米？

生35：鸡舍的面积可以是250平方米吗？

……

师：同学们提的问题很好，和命题专家想的基本一样，同学们提的这两个问题我们能解决吗？给大家5分钟解答时间，然后交流.

限于篇幅，交流略.

教学说明：本环节继续采用开放的形式，以激发学生面对情景的问题意识.由于搭建了放逐思维的平台，学生的问题涌动，把老师的预设给摆了出来，达到了预期的效果.

3.所思所惑，皈依原点

群言提炼，如下所示.

（1）基本线索.一元二次方程的概念→（选择方法）解一元二次方程→根的判别式→根与系数的关系→实际应用.其核心：一元二次方程的求根公式，因为它上承配方法，下接根的判别式、根与系数的关系.

（2）知识链修补点.一元二次方程ax2+bx+c=0中的a≠0；Δ的使用条件；根与系数的关系的使用条件（高标要求）；对有实根的认识.

（3）思想方法再现.方程思想、模型思想、分类思想等.

设计意图：返扣基础是复习课教学的出发点，同时也是需要回归的原点，万物归根，只有寻觅到问题的根，思维才有基，才能简约思维，壮大思维.

三、教后反思

1.完善知识链条

从逻辑上讲，一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系构成了一条知识链，环环相扣、层层推进，构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构.而学生在知识结构的构建、理解上的偏差和学习上的遗忘等诸多原因，表现在“四基”上常常会出现缺口.因此，对学生而言，它可能是一个不完备的数学知识结构体系.基于此，笔者组织了本节的复习.要使知识稳固通透，思维缜密深入，需要我们加强对“四基”的梳理，使它们能顺利链接、有效融汇，“厚积”方能“薄发”.因此，复习首先要实现的就是有效地把每个知识点串起来，让知识成为一条完整的链子，便于存贮与提取.本节教学通过三次开放，在引领学生自己提出问题上下足了功夫，并适时收口，甄别选择，为自己的预设课堂所用，唤醒旧知，形成知识的内在关联，较好地达到了完善知识链条的目的.

2.涵育问题意识

现行的教育之弊造就了孩子们的“坐等靠，不思考”，面对问题自己不想法，往往等待着老师的“无私奉献”，更不用说主动地提出问题了.基于这种现实，新的课标修订版明文将“两能”变“四能”，摆正了发现问题、提出问题的地位，将其置于能力培养的入口.鉴于以上思考，笔者在本节课中，自始至终以激发学生的问题欲、激活学生的问题因子为先导，引领学生的创新之为，通过问题的一路开放，诱使学生主动提出问题、创编问题，开放所弥散出的思维自由场，使得不同层次的学生都有话可说，不至于在复习课上被边缘化，大大提高了学生的参与度.纵观课堂，不管学生的数学水平高低，他们都带着自己的知识经验、思考、灵感参与到课堂教学活动中来，给课堂注入了活力，进而在复杂多变的教学情境的交互作用与碰撞中，触及到学生的思维深处，不断地萌生出新的问题，可谓亮点频闪.作为课堂的组织者，及时甄别并捕捉到了这些生成性资源，如一开始的6个方程、锁定生7至生10的4个问题以及序号问题（7）~（12）、生34、生35的问题，这些均出自学生，是学生思考成果的见证，笔者将其整合、组织、协调、策划，把它们作为进一步开展教学的素材，问题意识就在这你来我往的过程中得以滋养、得以涵育.

本节教学，更多地关注学生如何“学”、如何“问”，努力实现学生自己钻研、领悟和感受的过程，放手让学生尝试观察、发现、归纳、比较等，让学生在亲历亲为的过程中，落实基础知识的夯实、基本技能的熟练、思想和方法的心领神会、基本活动经验的积累提升.“问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析”在本节课得以自由“绽放”.

1.吴亚萍.数学课堂教学的“三放三收”［J］.基础教育月刊，2006（3）.

2.吴立建.一堂复习课的教学实录与反思［J］.数学通报，2006（11）.

3.陈先荣.对课程目标新增“发现和提出问题的能力”的认识［J］.中学数学（下），2012（10）.WG

*本文系山东省教学研究课题《基于学生发现问题、提出问题的课堂教学研究》（课题编号：2014YB0239）的阶段性成果之一：基于学生发现问题、提出问题的复习课教学研究，课题主持人：邢成云.