在图形变化中展开类比学习——以“27.2.2相似三角形的性质”为例

☉浙江省奉化市锦屏中学 殷向阳

在图形变化中展开类比学习
——以“27.2.2相似三角形的性质”为例

☉浙江省奉化市锦屏中学 殷向阳

数学学科不仅研究数量关系，还研究图形的位置关系.在初中阶段，几何图形的认知是学生思维的一个突破点，很多学生在几何图形面前非常害怕.这主要是因为不同的位置关系会带来很多变化，不仅包括形的变化，还包括数的变化.这些变化有些时候是显性的，且变化之间有着某种内在的关联，让数量关系随着图形的变化不变或者是有规律地变化.这种基于图形变化下的认知活动，也就存在着众多的可以前后延续适用的知识和经验，为学生类比获取新知提供极大的可能.借助类比的方法，不仅能突破教学难点，还能带领学生将固有知识、经验提取应用，让他们深刻领会图形变化中的“变与不变”.在近期执教的“27.2.2相似三角形的性质”一课中，笔者用一图多变的形式引领学生展开新知探究，取得了较好的成效.现呈现其中的一则片断，与您分享，并谈一些个人的体会，希望对您有帮助.

一、教学片断及意图分析

活动1：探究相似三角形对应高的比与相似比的关系.

学生活动：已知：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′，则AD和A′D′的比是多少？

图1

学生自主探究，3分钟后，将自己探究的过程及结果在小组中进行交流.

教师：你发现什么结论了？

学生1：我发现相似三角形的对应高的比等于相似比.

教师：你是如何得到的？

教师：说得真好！你用到了哪些知识呢？

学生1：先利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明两个小的三角形相似，再根据“相似三角形的对应边成比例”得到结论.

教师：不错.看来你对已经学过的相似三角形的知识掌握的还是很到位的！那么，有没有其他得到这一结论的途径呢？

教师：好的！仔细观察，不难发现，两个三角形中，被高分得的小三角形是两对相似三角形.接下来的探究中，我们还会有这样的发现！

设计意图：本节课前，学生已经掌握了相似三角形的判定方法，对相似三角形的对应边成比例有了一些感性认识.教者直接呈现探究活动，为的是让学生在新知探究的过程中，回顾与相似三角形相关的知识.学生在探究中，自然会将已有的知识不断提取并尝试应用，这样的过程既便于学生对旧知的梳理，又能让学生积累问题解决的经验，为后续探究夯实基础.

活动2：探究相似三角形对应角平分线、对应中线的比与相似比的关系.

教师演示：拖动点D和点D′分别在线段BC和B′C′上移动.

图2

学生（齐）：等于.

图3

学生（齐）：等于.

教师：为什么呢？你们能像刚才一样给出证明吗？

学生活动：分别作出图2和图3，对这两个结论进行验证，并在小组中交流验证过程中用到的知识.

教师巡视指导.8分钟后，组内交流结束.

教师：你们猜想的结论正确吗？

学生（齐）：正确！

教师：说说具体证明思路.

学生1：我发现说理的过程和活动1中差不多，都是先证明两个三角形相似，然后用“相似三角形的对应边的比相等”证到结论.

教师：哦？！是吗？

学生1：是的！和刚才一样，△ABD和△A′B′D′、△ACD和△A′C′D′都是相似的.

教师：真不错！看来你们研究得还是蛮透彻的嘛！那么，证明过程中，有没有什么不同的地方呢？

学生1：虽然都是用的“两角对应相等”得到三角形相似，但证明图2中的结论时，要先证明∠BAD＝∠B′A′D′.

教师：怎么证？

学生2：这个思路在证明另一个结论的过程中也用到了！

教师：也得到相等了？

教师：你说得真详细.我们在相似三角形的判定与性质的简单应用中，又获得了相似三角形的一些新的性质，这些性质对我们进一步探究有关相似的其他问题具有重要的作用.

设计意图：基于探究“相似三角形对应高的比等于相似比”的经验，教者将探究相似三角形对应的角平分线、对应的中线的比与相似比的关系一并呈现，学生刚刚积累下的“证明被对应线段分得的两个三角形中的一对相似”为学生指明了说理的方向，虽然方法略有不同，但整个探究的路径是完全一致的.这样的过程经历，进一步巩固了学生的探究经验，并将知识的应用范围进一步拓宽，生成了新知，让这一学段“图形与几何”的知识网络逐渐完善.教师引导学生对证明过程中的“细枝末节”进行了全班交流辨析，为的是让新知生成“明明白白”，不留盲点.

活动3：归纳结论，总结提升.

教师：请同学们将我们探究得到的结论梳理一下！

学生1：相似三角形的对应高的比等于相似比.（教师板书）

学生2：相似三角形的对应中线的比等于相似比.（教师板书）

学生3：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比.（教师板书）

教师（指着黑板）：能用一句话来概括一下这三个性质吗？

学生4：这些都是相似三角形的对应线段，所以这三个性质又可以统一成“相似三角形的对应线段的比等于相似比”.（教师板书）

教师：非常棒！这个结论将相似三角形的对应线段的性质进行了高度浓缩，我们在今后解决与相似相关的数学问题时，要灵活地提取应用！

设计意图：有了三个结论的探究经历，加之前面归纳相似三角形其他性质的经验，学生自主归纳得出基于自己探究的三个结论是较为便利的.最后的总结，让整个结论合而为一，不仅让学生体会到数学认知的融融之道，还能让他们深刻感知到数学语言的简洁美，进一步激发他们学习数学的热情.

二、三点感悟

1.紧扣教学主线，追求自然延伸

教学目标是课堂教学的方向，教学主线则是为了达成目标而设计的教学流程.一节课的核心知识、技能、数学思想方法及数学活动经验都应附着在这条主线之上，成为教学主线的各个分支，合理分布于课堂教学的不同环节之中.因此，一节成功的数学课，教学主线应是十分清晰的.这三则教学片断中，“探究相似三角形的对应线段的比与相似比的关系”是教学的主线，每一则片断都围绕这根主线展开，教师的点拨引领与学生的自主探究和谐地分布在教学进程中.新知的探究与生成，完全建立在旧知的回顾与应用的基础之上，“两角对应相等的两个三角形相似”和“相似三角形的对应边成比例”成就了“相似三角形的对应高的比等于相似比”，同时还为下一步的类比探究积累了宝贵的经验；探究“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法、经验和学生已有的相似三角形的相关知识，为活动2中探究“对应角平分线、中线的比与相似比的关系”打下了坚实的基础，让另外两个结论的得出显得十分自然.这样的教学建构在教学主线之上，顺应学生的认知规律，让教学进程在教学主线之上自然拓展延伸，符合学生的认知需求和认知规律，对知识的生成与入网是十分有益的！

2.强化交流辨析，注重经验分享

数学活动经验的内涵十分丰富，在初中阶段，问题解决的经验是众多数学活动经验中最显性的.基于问题解决下的数学活动经验，是最容易被学生积累下来并加以发扬光大的.在数学教学活动中，对学生来说，由于有了自己经历的问题解决的过程，这些活动经验是最容易被学生感悟到的，也是最容易在“口口相传”中成为学生的共性经验的.因此在教学中，我们应注重问题解决经验的分享，在学生展开充分探究活动后，让他们将自己的问题解决的经验在小组和全班进行交流.通过师生、生生之间互动辨析，逐步将这些个性化的经验变为大家认同的经验，实现全班共享.在本文所述的教学进程中，就很好地实现了问题解决经验的共享.活动1中，学生自主探究积累下了“被AD和A′D′分得的小三角形是两对相似三角形，只要证明其中一对相似，就可以得到我们想要的结论”，这样的解题经验，在全班交流时得到了进一步强化，使其成为下一步类比探究的基础.活动2中，则延续了活动1中的探究方法，让学生的认知自然延续，在小组内的交流，强化了个体经验的分享，使个体经验成为全组共识；全班交流，与活动1相似的探究经验得到进一步强化，使其成为全班同学认同的解题经验.

3.立足类比认知，突出学法指导

类比是学生获取数学知识的重要方法，很多数学结论是借助类比的方法得到的.在数学认知活动中，从已有知识获得途径中捕获符合新知的认知途径，是进行类比学习的前提和关键.为此，在数学教学中，我们应加强学法指导，尤其要关注核心知识认知的共性途径.如函数学习一般遵循“定义—图像—性质—应用”的过程，在学习一次函数时，我们就应该强调这样的认知在函数学习中具有普遍性，从而为后面二次函数和反比例函数的认知提前做好学习方法的准备.在上面的活动1中，学生给出完整的问题解决过程后，教师立即带领大家展开交流，彻底梳理出获得这一结论的方法.活动2中，教师从图形变化入手，在拖动D与D′的过程中，学生能明确感知到两对小三角形的相似是不会发生变化的，这保证了活动1中获取结论的方法在活动2中能够主动进入到学生的探究进程中，让学生展开卓有成效的类比学习.

三、写在最后

在初中阶段，学生获取几何知识有很多的途径，类比是其中一种重要的方法，它的起点是学生已有的知识、技能、经验和方法.在常态教学中，我们应立足于学生认知过程的每一个细节，将认知活动中可用于类比的素材挖掘出来，以实现认知活动的自然延续.基于图形变化的类比，是笔者在几何教学中常用的方法，它立足于学生现有认知之上，深挖图形的变化中蕴含着的不变规律和变化规律，沿着“定义—性质—判定—应用”的历程展开探究，顺应了几何学习的一般规律.同时，在辨析变与不变的过程中，将图形的性质与判定间的联系呈现出来，让类比认知自然而流畅.值得注意的是，类比认知的起点层层搭建，让学生的认知过程有了坚实的基础，避免了“搭新台唱新戏”的尴尬.在图形变化中类比教学，关注了学生的学，突出了老师的教，让师生的角色得到了准确的定位，有效的课堂自此形成.WG