如何利用“数形结合”高效解题

☉湖北省孝感高级中学 徐运丽

如何利用“数形结合”高效解题

☉湖北省孝感高级中学 徐运丽

数形结合的思想，实质上是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对问题中的条件和结论分析其代数含义，挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路.要注意培养学生这种数形结合的意识，逐步使学生胸中有图，见数思图，逐步开拓他们的思维视野.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.用好“以形助数”，同时兼顾“以数助形”，可以给解题带来简捷、高效.

一、以形助数——数缺形时少直觉

“以形助数”，即根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题.例如利用“形”的直观来研究方程根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围等.“以形助数”不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程.

例1 已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函数，当x∈［0，1］时，f（x）=x2，若在区间［-1，3］内，函数g（x）= f（x）-kx-k有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）.

图1

解析：因为函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），所以函数f（x）是周期为2的周期函数.又f（x）是偶函数，且当x∈［0，1］时，f（x）=x2，故可画出函数f（x）在区间［-1，3］的图像.由于函数g（x）=f（x）-kx-k有三个零点，所以函数f（x）在区间［-1，3］上的图像与直线y= kx+k有三个交点，如图1所示.把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=，将（1，1）代入y=kx+k，可得k=，数形结合可得实数k的取值范围是故选C.

点评：讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.

例2 （2012年浙江理科第17题）设x＞0时，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，则a=_________.

分析：作为客观题的最后一题，有一定的难度，主要考查的是灵活处理问题的能力及数形结合的思想.根据当年的考试和评卷情况，此题的得分率是不高的，其原因是缺少数形结合思想，许多考生陷入了常见的两种思路模式.

（1）由题意分两种情况：或

（2）令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1）=（a-1）x3-（a2-a+ 1）x2+x-1，等价于f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再利用导数讨论求解.

这两种方法过程繁杂，甚至无法进行下去，半途而废.而用数形结合思想解决此题则比较清楚明了.

解：（数形结合法）将原题化为：［ax-（x+1）］［ax-（x2-1）］≤0，分别作出f（x）=ax，g（x）=x+1，h（x）=x2-1的图像，如图2所示.要x＞0时，满足［f（x）-g（x）］［f（x）-h（x）］≤0，等价于x＞0时，f（x）的图像在g（x）与h（x）之间.所以f（x）=ax只能过g（x）与h（x）的交点，此时a=

图2

也可以直接从y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1的图像都过点P（0，-1）分析，如图3所示.y1的图像与x轴的交点M必须在x轴的正半轴上，否则不能保证x＞0时，y1y2≥0，所以a＞1.这时y2的图像必须过点M才能使x＞0时，恒有y1y2≥0.

图3

点评：求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图像，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图像的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.

二、以数定形——形缺数时难入微

借助图形可以方便地处理一些数学问题，从而提高探究问题的能力，但过分地依赖直观图形，缺乏理性的认知深度，极有可能造成“眼见为虚”的被动局面.“以数定形”，即将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.

例3 如果曲线y2=6x与（x-m）2+y2=4没有公共点，求实数m的取值范围.

图4

错解：如图4，考虑半径为2，圆心为（m，0）的圆与抛物线y2=6x的两个相切的临界位置.一种是外切于原点，此时m=-2.另一种是相切于两点，则联立方程组消去y得x2-（2m-6）x+ m2-4=0（*），令Δ=0，解得m=.综合以上两种临界位置，结合图形，可知m的取值范围是（-∞，-2）∪

图5

正解：两曲线有公共点的充要条件是方程（*）至少有一个非负实数根，即或解得-2≤m≤2，故两曲线无公共点时m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）.

三、数形兼顾——数形结合百般好

数缺形时少直观，形缺数时难入微，只有“数”与“形”相辅相成，才能达到灵活运用数形结合思想.图形能提供直观的视觉信息，从而降低思维的起点，突破思维障碍.代数方法具有表述容易、结构严谨、结论精确等优点.若能灵活地将两者融为一体，数学解题将变得游刃有余！

解析：因为方程f（x）=kx2有4个根，即方程=kx2有 4个根，显然x=0为方程的一个根，则只要方程=kx2再有3个不同的非零根即可.而当x≠0时，=构造函数g（x）=，则只要函数g（x）的图像与函数y=的图像再有3个交点即可，在同一坐标系内画出两个函数图像，由图像容易看出当0＜＜1，即k＞1时，两函数的图像有3个非零交点，即对应的方程有3个不同的非零根.综上可知：当k∈（1，+∞）时关于x的方程f（x）=kx2有4个不同的实数解.

点评：题目本身是有关方程解的问题，经过上述的处理，将方程解的问题转化成两函数图像的交点问题，利用数形结合，直观简捷，比用纯代数方法求解要方便快捷许多.

数形结合，不仅是一种有效的解题方法，更是一种重要的数学思想和思维方式，它兼具了数的严谨性与形的直观性两个方面的长处，是优化解题过程的重要途径，也是对知识和能力的集中反映.诚如华罗庚大师所言：“数形相倚依，‘数’准确而抽象，‘形’形象而粗略，二者的结合沟通了数与形的联系，从而使得用数量的抽象特性来说明图形形象直观的事实，同时又用图形直观具体的特征来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在.”F