情境驱动下的“不等关系与不等式”教学案例

☉浙江省宁波市鄞州区教育局教研室 任伟芳

☉浙江省宁波市鄞州区鄞江中学 谢 秦

情境驱动下的“不等关系与不等式”教学案例

☉浙江省宁波市鄞州区教育局教研室 任伟芳

☉浙江省宁波市鄞州区鄞江中学 谢 秦

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念、处理不等关系与处理等量关系是同样重要的.前不久，在浙江省宁波市教研室组织的教研交流课的教学过程中，内容取材于人教A版普通高中必修5第三章第一节不等关系与不等式的第一课时，笔者的“情境驱动，学以致用，激发兴趣，凸显本质，彰显人文”的教学设计受到参会老师的一致好评.本节课主要是将生活中的不等关系刻画为数学中的不等式，巧妙创设一个公益慈善情境，将常见的不等式融入其中，让学生感受数学与生活紧密的联系，激发学生的学习兴趣.笔者想通过自己的教学设计抛砖引玉，愿与同行交流.

一、教学过程

1.以生活中常见的不等关系引出不等式

师：我们今天的课题是“不等关系与不等式”.与等量关系一样，不等关系也大量存在于我们的现实世界和生活中.例如，下面两幅图隐含着怎样的不等关系呢？

图1

图2

生1：星期二的温度是在6℃到17℃之间变化.最高速度不能超过10千米/小时.

师：非常好.三角形两边之和与第三条边的关系呢？

生2：大于.

师：同学们还能不能举出生活和数学中遇到的不等关系？

全班同学兴致高涨，互相讨论，纷纷发言，列举出不少生活和数学中的不等关系.

师：看来同学们都是生活中的有心人啊！对于生活中的不等关系，应该如何用数学式子来刻画呢？这就是我们今天学习的用不等式来刻画不等关系.

（PPT展示）用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式.

“不等号”由英国数学家哈里奥特于1631年开始使用，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的符号.

师：对于上述三个不等关系，同学们能不能用不等式来进行刻画呢？

生3：设星期三的温度为x℃，则6＜x＜17.设速度为v千米/小时，则v≤10.设三角形三边分别为a、b、c，则a+b＞c.

设计意图：日常生活中的图片展示，更具有视觉冲击力，使学生体会数学与生活的密切联系.接着让学生列举生活中的不等关系，可以加深对不等关系的认识.通过介绍不等式的概念和历史，一方面渗透数学文化，另一方面让学生体会数学的简洁美.

2.用数学眼光看献爱心故事

（1）故事背景.

师：下面让我们来感受生活中的不等关系与数学中的不等式.我们从一个小故事讲起.

请同学们看三张图片：图3中稚嫩的脸洋溢着对生活的期望，图4中埋头苦读的身影让我们深深感动，然而脚下一双破烂的球鞋让我们心酸不已（见图5）.看到这些，同学们有何感想？

图3

图4

图5

生4：山区儿童的生活实在太艰辛了，我好想帮帮他们啊！

师：这位同学的想法应该代表了我们全班同学的心声，我们不妨来为他们每个人买双鞋子和筹点生活费吧！

设计意图：看似与课题无关的内容其实是本节课始终围绕的主线.一方面可以弘扬社会的正能量；另一方面也可以体现出学生主人翁的精神.以故事作为引线，自然而不突兀，采用问题驱动学生思考，层层推进，学生参与度高，易于激发学生学习的兴趣.

（2）情境模拟——筹集善款分析数据.

师：接下来我们要做的事情就是筹集善款了，我们当然要自力更生了，不妨让我们自主创业吧.假如我们班同学想自主创业，筹集善款，为山区儿童送去爱心，现在可以向政府贷款2万-10万，贷款不需要利息，但有期限，贷款期限为5年.请问这里有没有隐含的不等关系？如果有，用不等式如何来刻画呢？

生5：有！可以贷款2万-10万.若贷款金额为w万，则2≤w≤10.

师：启动资金少，电子商务的强大力量为我们指明了方向，我们可以开个淘宝店，但是具体卖什么呢？还得进行市场调查，请看下面的几组数据.

（a）名称 每天销售数量第一位 女装 35434第二位 化妆品 18277第三位 珠宝首饰 18182第四位 日用家电 11795第五位 电脑网络 11057

（b）支付宝每天在女装上的支付交易平均达到了10000笔以上.

（c）淘宝网上的注册用户超过百分之七十为女性.

（d）其中价格区间在30-100之间的衣服占总销量的50%以上.

这些调查中有没有蕴含着不等关系？可以用不等式来刻画吗？

生6：有！可以用不等式来刻画.

师：分析以上调查数据，你能得出怎样的结论？

生7：我们可以在淘宝网上开平价女装店.

设计意图：让学生继续感受我们日常生活中大量存在的不等关系，以淘宝网为媒介，极大地调动了学生参与学习的热情.对调查数据的分析，可以培养学生分析问题和处理数据的能力.

（3）情境模拟——进货试卖.

师：假设我们班同学申请到了5万元的政府贷款，通过上网注册，成功申请了淘宝网上开平价女装店的一个账户.现在就要进货了，根据店家的要求，衣服20元一件，裤子30元一条，衣服的数量必须不小于裤子的数量，为了降低风险，现在暂时进这两种货物（两种货物都要进），那么进货的件数应满足怎样的不等式？能不能请一个同学来为我们展示一下？

生8：假设衣服进货为x件，裤子进货为y件，则应满

师：非常好！我们发现对这个实际问题的处理可转化为对数学不等式组的解决.经过紧锣密鼓的准备，店总算开张了，我们打算先进行试卖.成本价20元一件的衣服，经过市场调查，如果每件衣服售价定为30元，可卖出1000件，若每件衣服售价每提高一元，销售量就会减少10件，应怎样定价，才能使总收入不少于40000元？这个实际问题隐含着怎样的不等关系？用数学中的不等式如何刻画呢？

生9：设每件衣服售价提高x元，则应满足（30+x）·（1000-10x）≥40000.

师：这个问题转化为了……

生10：我们学过的一元二次不等式.设计意图：把实际问题转化为建立数学模型进行处理，加深了学生对数学与生活联系的认识，让学生树立应用数学的意识.

图6

（4）情境模拟——生意来了.

师：某一天你收到一条淘宝微信（如图6）.有两种优惠可以选择.优惠一：每件九折；优惠二：100件及以内的按原价，超过100件的部分打七五折.假设每件衣服的售价为30元，如果你是店主，你会给他们哪种优惠？同桌两位同学可以相互讨论.

生11：其实这是比较两个数的大小问题.设购买衣服的件数为x（100＜x＜200）.优惠一：27x；优惠二：3000+ 22.5（x-100）.若变量x满足27x＞3000+22.5（x-100），选择优惠一，反之选择优惠二.

师：太棒了！这位同学发现了要解决这个实际问题，就是把它转化为比较两个数的大小的数学模型.请问：作为抠门的店主，你还可以给出怎样的优惠？

生12：每件打九五折.

生13：150件及以内的按原价，以外的打八折.

师：看来没有最抠门，只有更抠门啊！作为店主你希望收益越多越好，但你若是买家，会怎样选择呢？

生14：选择钱少一点的.

师：这应该是所有买家共同的心声了.同一个问题，站在不同的角度就会有不同的看法.同学们以后一定要学会从多角度去看待问题，这样才会有较客观的判断.

设计意图：通过时下流行的通讯软件一下子吸引了学生的眼球，充分调动了学生学习的积极性.给出的材料要求学生经过分析问题来得到，培养学生处理问题和善于转化的能力.经过对卖家与买家的换位思考，培养学生从多角度思考问题的习惯.

（5）情境模拟——喜获丰收.

师：假设我们班经过艰辛的创业筹集到了善款，并购买了鞋子，现在就剩下最后一步，就是把鞋子快递给他们.快递用费规定如下.申通快递省内：首重6元（一公斤以内），续重每公斤需要3元，依次类推，此时运费与斤数的关系如何呢？小组讨论.

师：这是我们学过的……

生16：分段函数.

设计意图：快递费与生活密切相关，以此培养学生分析问题、处理问题的能力.

3.不等关系蕴含着深刻的人生哲理

师：请同学们谈一谈我们今天学习了哪些知识.

生17：主要学习了生活中的不等关系转为数学中的不等式.另外，学习了与人沟通的方法，学习了生活中要从多角度去看问题的思维方式.

师：这位同学分析得非常到位和全面.不仅从知识层面来概括学到的知识，还能从情感价值观和思考问题方式层面做总结.说到等式，我们自然会想到天平两端放相等重物时天平平衡.同学们想想我们小时候玩的一边压下去，另一边会翘起来的……

生18：跷跷板.

PPT展示图（如图7）.

师：正因为有了这些不等关系，才使我们的世界变得生动而丰富多彩，跷跷板中的不等关系让我们孩时享受到无限的玩耍乐趣，这种不等关系让我们觉得温馨，然而这种不等关系会随着时间的流逝发生改变.随着我们的成长，父母的老去，当这种不等关系改变发生时，同学们一定要抓紧机会去孝敬为你的成长付出自己一生辛劳的父母，去善待周边每一个人.

图7

设计意图：通过这一环节的展示，能让学生感受到不等关系的生动和温馨，体现了父母与孩子的舐犊情深感，同时感受传统伦理的熏陶，突出了教学的教育性理念，通过跷跷板中隐含的深刻的人生哲理，帮助学生树立正确的世界观、人生观和价值观，这一独具匠心的教学设计称得上本节课的又一个亮点.

二、课后感悟

本节课让学生通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对刻画不等关系的意义和价值，让学生感受到生活与数学是息息相关的，用数学的眼光看问题会给我们带来更多解决实际问题的办法.

1.情境内容要新颖

新课程理念中提到“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”.这里所说的“现实”，笔者认为包括两个方面的含义：其一是与社会生活现实（生活、生产实际、科技等方面）密切联系的数学；其二是学生自己的数学现实.在学习新的数学知识时，尽可能以一些实际例子导入新课.不少数学知识源于生活实际，学习时，和学生生活实际结合起来，学生会感到亲切自然，乐于研究.本节课把生活中遇到的实际问题转为不等式问题，以此通过一个社会热点问题——贫困山区儿童的故事激发学生的社会责任意识，巧妙建构情境——开网店，把开网店情境中遇到的实际问题刻画为数学中的不等式问题，传递着正能量.

2.应用能激发兴趣

兴趣是学习的最大内驱动力，兴趣可以调动学生学习的积极性.所以教师在教学过程中要激发学生学习数学的兴趣，让学习兴趣促进他们去探究知识的形成和应用.课堂上笔者在讲授知识时，巧妙创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣，引导学生思考、讨论、运用数学知识.教师从实际生活入手引导数学知识的形成，让学生学以致用.本节课一改传统的讲练模式，将常见的不等式类型融入自主创业——开网店的问题中，把实际问题转化为数学问题，引起学生的好奇心和想象力.

3.需彰显人文关怀

本节课以为山区孩子献爱心为主线贯穿着课堂教学的始终，既有时代意义，又激发了学生社会的责任感.学生积极参与教学活动，板书以学生回答问题书写为主，所有的问题都是在学生的自主探究与小组合作中解决.老师真正起到了引导作用，课堂氛围热烈，体现了新课程以学生为主体的理念.学生对数学的学习情感是在学习过程中萌芽和发展的，他们对自己通过努力获得成就感觉强烈.因此，教师要以欣赏的情感来创设新颖情境并帮助学生获取成功.教师在课堂教学中，可以让各个层次的学生回答问题，对正确的结论表示赞赏，对错误的结论共同探讨并加以修正和补充，让他们能享受成功的喜悦，增强学习的信心和自豪感.

本节课学生不仅收获了知识和技能，还获得了人文的润泽.课后询问学生，本节课还有什么感受？学生甲表示以后在淘宝网上购物要注意与卖家的沟通；学生乙表示要注意消费的陷阱；学生丙表示以后自主创业可以考虑电子商务.看来通过这节课的学习，学生的收获还是蛮大的，我心甚慰.A