整合课本资源，彰显学科魅力——话说椭圆的八个来历及应用

☉湖北省武汉市第十九中学 杨辉军

☉湖北省武汉市第三中学 张儒玲

整合课本资源，彰显学科魅力
——话说椭圆的八个来历及应用

☉湖北省武汉市第十九中学 杨辉军

☉湖北省武汉市第三中学 张儒玲

数学课本是教学内容的主要载体，更是课标精神的重要体现，每一个例题和习题都经过了反复推敲、精挑细选.可见，课本是重要的教学资源，有很高的教学和研究价值.

叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用”.教师在实际教学中，合理使用资源，充分加以利用，静态的课本就变得鲜活起来，处处充满了数学独特的魅力.

在《选修1-1》、《选修2-1》、《选修4-4》（普通高中课程标准实验教科书，数学，人民教育出版社A版）第二章“圆锥曲线与方程”的教学中，笔者注意到很多例题和习题都涉及同一个结果——所求问题的结论是椭圆，将这些课本资源进行重组、整合，以全新的面貌出现在学生面前，在觉得眼前一亮之余，更丰富了椭圆定义的内涵与外延，加深了对课本的认识.笔者姑且称之为椭圆的八个来历.

一、第一来历

概念：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

出处：课本《选修1-1》第32页，

《选修2-1》第38页.

符号：|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|）.

图1

例题：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），并且经过点求它的标准方程.

出处：课本《选修1-1》第34页例1，《选修2-1》第40页例1.

出处：课本《选修1-1》第42页习题2.1A组第1题，《选修2-1》第49页习题2.2A组第1题.

解答：设点F1（0，-3）、F2（0，3），则|MF1|+|MF2|=10.

由椭圆的定义知点M的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，且a=5，c=3，b2=16.

二、第二来历

结论：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线，其中点F是它的焦点，直线l是它的准线，比值e是它的离心率.当0＜e＜1时，轨迹是椭圆.

出处：课本《选修2-1》第76页.

推导：如图2，建立直角坐标系，MH⊥l于H.

图2

令b2=a2-c2，则点M的轨迹方程为

练习：点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.

出处：课本《选修1-1》第41页例6，《选修2-1》第47页例6.

所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆.

解答：易知点F为椭圆的左焦点.

如图3，过A、B分别作左准线l的垂线，垂足分别是A1、B1.

图3

同理，|BB1|=

过B作BC⊥AA1于点C，则|AC|=|AA1|-|BB1|=（|AF|-|BF|）.又e=，则|AC|=（|AF|-|BF|）.

归纳：设|AF|=r1，|BF|=r2，直线AB的倾斜角为θ，则有

例题：过椭圆的焦点F作直线与椭圆交于A、B两点，以AB为直径画圆，则该圆与相应准线l的位置关系如何？

出处：课本《选修2-1》第81页复习参考题B组第7题.

解答：如图4，取AB的中点C，过A、B、C分别作l的垂线，垂足分别是A1、B1、C1.

图4

所以以AB为直径的圆与相应的准线相离.

练习：点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2，求M点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

出处：课本《选修1-1》第43页习题2.1B组第2题，《选修2-1》第50页习题2.2B组第3题.

三、第三来历

结论：平面内到两个定点A（-a，0）、B（a，0）的连线的斜率之积是常数m（m＜0且m≠-1）的点的轨迹是椭圆.

推导：设M（x，y），且kAM·kBM=m.

练习：如图5，设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

出处：课本《选修1-1》第35页例3，《选修2-1》第41页例3.

图5

简答：kAM=

四、第四来历

结论：在圆x2+y2=r2上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，动点M满足（λ≠0）（M不与P、D重合），当点P在圆上运动时，点M的轨迹是椭圆.

例题：在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

出处：课本《选修1-1》第34页例2，《选修2-1》第41页例2.

解答：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=

图6

因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以

把x0=x、y0=2y代入方程得x2+4y2=4，即y2=1，所以点M的轨迹是一个椭圆.

出处：课本《选修1-1》第43页习题2.1B组第1题，课本《选修2-1》第50页习题2.2B组第1题.

图7

五、第五来历

例题：如图8，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

图8

出处：课本《选修1-1》第42页习题2.1A组第7题，《选修2-1》第49页习题2.2A组第7题.

解答：因为点Q在线段AP的垂直平分线l上，所以|QA|= |QP|，则|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又r＞|OA|，则点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆.

练习：已知A B是圆（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是_________.

解答：因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|=|PB|，则|PA|+ |PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2.又2＞|AF|=1，则点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.

图9

六、第六来历

例题：如图10，矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6.E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、S、T是线段OF（O是矩形的中心）的四等分点，R′、S′、T′是线段CF的四等分点.请证明直线ER与GR′、ES与GS′、ET与GT′的交点L、M、N都在椭圆上.

图10

出处：课本《选修1-1》第43页习题2.1B组第3题，《选修2-1》第50页习题2.2B组第4题.

解答：如图11，建立直角坐标系.

由E（0，-3）、R（1，0），得直线ER的方程为3x-y-3=0 ①.

图11

由G（0，3）、，得直线GR′的方程为3x+16y-48=0 ②.

图12

将①式与②式相乘，得y2-1=-，即点M的轨迹方程为

七、第七来历

结论：如图13，以原点O为圆心，a、b（a＞b＞0）为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B.过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点M.则点M的轨迹的参数方程是（φ为参数）.

图13

出处：课本《选修4-4》第27页.

推导：设以Ox为始边，OA为终边的角为φ，点M的坐标是（x，y）.那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y.由于点A、B均在角φ的终边上，由三角函数的定义有x=|OA| cosφ=acosφ，y=|OB|sinφ=bsinφ.

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是（φ为参数）.

出处：课本《选修4-4》第29页.

解答：设M（5cosφ，4sinφ）是椭圆上任一点，则z= 5cosφ-8sinφ=，其中cosθ=

当φ+θ=2kπ（k∈Z）时，zmax=，此时x=5cosφ= 5cos（2kπ-θ）=5cosθ=，y=4sinφ=4sin（2kπ-θ）=，即

当φ+θ=π+2kπ（k∈Z）时，zmin=-，此时

解答：设A（0，-1）、B（2cosφ，sinφ），d=|AB|.

d2=4cos2φ+（sinφ-1）2=-3sin2φ-2sinφ+5=-3

八、第八来历

探究：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图14所示.在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A、B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？

图14

图15

出处：课本《选修4-4》第28页探究.

结论：如图15，点A、B分别在y轴、x轴上移动，点M在直线AB上，且|AM|=a，|BM|=b（a＞b），则点M的轨迹方程为

推导：如图15，设∠xBM=φ，则点M的坐标为（acosφ， bsinφ），即点M的轨迹的参数方程是（φ为参数），从而得点M的轨迹方程为

图16

练习：如图16，A、B分别在x轴、y轴上移动，点P在线段AB上，|AB|=5，|AP|∶|BP|=3∶2则点P的轨迹方程为_________.

解答：设P（x，y）、A（a，0）、B（0，b）.

由|AB|=5，得a2+b2=25，则

在经济学中，资源整合是指将有限的资源进行最合理的利用.可见，教学资源的整合，尤其是课本资源的整合是很有价值和必要的.这种整合不仅立足于知识的传递，而且进一步丰富了学习者的经历，增加了他们获取知识的途径，拓宽了所学知识的内涵和外延.如果教师带着新思想、新视野、新做法，做到艺术性地驾驭课堂和课本，实现教学资源整合，对教者与学者来说，都受益匪浅，能真正做到教学相长.

本文仅涉及数学教材内的资源整合.在实际教学中，学生感受到了数学教材的魅力，意识到了课本资源的重要性，眼界大开，思路更活.而对教师来说，在此过程中提高了归纳、整合和研究的能力.教与学两个方面都有收获.