渐开线齿形包络线的绘制方法

龚 灯，韩 刚，江本赤

(安徽国防科技职业学院 机械工程系，安徽 六安 237011)

渐开线齿形包络线的绘制方法

龚 灯，韩 刚，江本赤

(安徽国防科技职业学院 机械工程系，安徽 六安 237011)

分析了范成法加工椭圆齿轮时刀具和毛坯间的位置关系和啮合特性，对范成过程进行了动态仿真，给出了MATLAB程序M文件，利用刀具的周期性大幅精简了程序。通过动态范成模拟图分析了齿廓曲线的组成，并提出了一种包络线的绘制方法。

渐开线；范成法；MATLAB；包络线

范成法加工齿轮相当于用一对轮齿相互啮合切削，其包络线就是渐开线。范成法加工齿轮的方法效率比较高，在工业中应用非常广泛。齿轮的啮合过程可以通过齿轮范成实验来演示，但是由于原理限制，不能直接绘制出渐开线齿形。本文通过计算机仿真模拟齿形范成过程，并提出了一种简易算法提取齿形曲线。

1 齿轮啮合的位置关系

齿轮范成法是指一对齿轮作无侧隙啮合传动时，两轮的轮廓线互为包络线的原理来加工齿轮[1]。为简化计算，可以选用标准齿条进行范成仿真，齿条刀具的齿形为直线，相当于基圆直径无穷大的渐开线[2]。

渐开线齿形的生成过程如图1所示。

图1 齿轮齿条啮合示意图

齿坯节圆与齿条中线相切，齿条沿着齿坯节圆纯滚动，假设齿坯不动，相当于齿条顺时针旋转θ角度，同时齿条平移距离为节曲线上对应角度θ的弧长S=rφ[3-7]。

2 范成过程的仿真实现

仿真使用MATLAB软件进行，程序主要包括：(1)绘制基圆、齿顶圆、齿根圆和节圆部分；(2)绘制滚齿刀具部分；(3)对滚齿刀具进行位置变换暨动态范成过程。其中第3部分是程序的关键部分，简单解释如下：

theta=0:1:360; %以下程序为齿形范成过程仿真(%后表示注释)

fori=2:360

s(i)=r*theta(i)*pi/180;%对于任意点，转过的弧长为s

c1=cosd(-theta(i));%刀具旋转方程参数;刀具旋转角度为齿坯转角

s1=sind(-theta(i));%

form=1:GN

cx1(m,i)=cx(m,1)-r;%刀具移动移动距离为齿坯转过的弧长

cy1(m,i)=cy(m,1)+s(i)-fix(s(i)/(2*p))*2*p;

cx2(m,i)=cx1(m,i)*c1-cy1(m,i)*s1; %刀具旋转，转角为theta

cy2(m,i)=cx1(m,i)*s1+cy1(m,i)*c1;

cx2(m,i)=cx2(m,i)+r*cosd(theta(i)); %刀具中心移动到齿坯上

cy2(m,i)=cy2(m,i)+r*sind(-theta(i));

end;%内循环终止

plot(cx2(:,i),cy2(:,i));holdon;%绘制旋转移动后的刀具

end；%外循环终止

在程序中，使用了双重循环，其中外循环是对应齿坯每转过1°刀具的位置，而内循环则是计算刀具在当前极角下，齿形控制点的位置。

为完成整个啮合过程，需要齿条刀具的齿数至少等同于齿轮齿数，这样绘制的齿条比较长[8]，但因为齿条刀具的齿形具有重复性，可以利用取模指令“fix(s(i)/(2*p))*2*p”将齿条长度缩短，不参与范成过程的齿条就可以不用绘制，简化了绘图过程，齿轮的范成法仿真如图2所示。

图2 齿轮的范成法仿真

3 齿形包络线的绘制方法

图3是齿形动态仿真的放大图，从图中可以看出，齿形曲线可以分为四个部分：I段为齿根圆部分，II段为齿条刀具顶点形成的过渡曲线，III段为齿条刀具范成形成的曲线，也就是理论上为渐开线的部分，IV段为齿顶圆部分。

根据啮合原理，图3中III段的包络线就是齿坯的齿形，但是求解曲线族的理论包络线非常复杂，本文提出一种简易方法，即用相邻齿条的交点连接而成的直线段近似代替包络线，如图4所示。只要齿廓特征点增多，绘制精度就越高。因此可以通过不断增加特征点的方法来逐渐逼近齿廓的理论值，直至达到所需的精度，图5为绘制的渐开线齿形。

图3 渐开线齿形的放大图

图4 理论渐开线与齿条刀具的交点

图5 渐开线齿形的放大图

4 结语

利用MATLAB软件可以仿真模拟齿轮的渐开线齿形，齿廓包络线可以采用齿廓特征点组成的线段近似表达，通过减小计算步长可以满足精度要求。

该方法还可以用于非圆齿轮设计与加工，可以动态地展现不同位置齿形的区别。对于研究非圆齿轮范成原理、滚齿加工以及非圆齿轮的加工都具有重要的意义。

[1] 方明辉,李革,赵匀,等.基于MATLAB的非圆齿轮副齿廓算法研究[J].农机化研究,2010(8):57-58.

[2] 张伟社等.机械原理教程[M].西安：西北工业大学出版社,2006:140-141.

[3] 姚敏娟,黄金.齿条刀具加工齿轮的虚拟范成实验研究[J].上海电机学院学报,2009(2):115-117.

[4] 吴序堂,王贵海.非圆齿轮及非匀速比传动[M].北京:机械工业出版社,1997:34-35.

[5] 胡赤兵,姚洪辉.基于MATLAB及Pro/E的参数化非圆齿轮设计[J].机械传动，2010(7):33-35.

[6] 刘永平,王鹏,李佳.解析法设计椭圆齿轮齿廓[J].机械设计与制造,2015(1):214-215.

[7] 许通,廉哲满.基于Pro/E和CAXA的渐开线非圆齿轮实体建模[J].机械工程师,2015(1):156-157.

[8] 韩刚,黄道业,江本赤,等.基于MATLAB的渐开线齿形范成法仿真[J].宜春学院学报，2013(9):68-69.

[责任编辑、校对：东 艳]

Drawing Method of the Envelope of Involute Profile

GONGDeng,HANGang,JIANGBen-chi

(Department of Mechanical Engineering, Anhui Vocational College of Defense Technology, Lu'an 237011, China)

The positional relationship and cutting mechanism between the cutter and blank are analyzed in the generation method of elliptical gears.Dynamic simulation is carried out on the process of generation.M file is presented.The program is greatly simplified through tool periodicity.The composition of the tooth profile curve is analyzed through dynamic simulation diagram of generation, and a drawing method of envelope is proposed.

involute; generation method; MATLAB; envelope curve

2015-03-06

安徽省职成教学会2014年度教育科研规划课题(BCB14041)

龚灯(1985-)，女，陕西旬阳人，助教，从事加工过程仿真研究。

TH132.413

A

1008-9233(2015)03-0055-03