一类球体与柱体组合问题的通用“秒杀”解法

☉内蒙古师范大学附属中学张生

一类球体与柱体组合问题的通用“秒杀”解法

☉内蒙古师范大学附属中学张生

组合体问题是立体几何的常考点，也是高考热点，此类问题对学生的空间想象能力要求很高·通常以三视图为命题背景，或以与球体有关的组合体为背景，本文就球体与柱体的组合问题，给出一种通用解题方法，并给出具体实例来说明方法的通用性·

一、球体与柱体的组合问题的基本模型

图1所示的是一个半圆和其内接矩形旋转360°后形成球体与柱体的组合体，其中，满足两个关系式：R2=r2+ d2，d=（其中，球体半径为R，圆柱半径为r，圆柱高为h，圆柱底面到球心的距离为d），这两个关系式揭示了球体与柱体组合体的内在联系，即在R，r，d三个变量中，可实现“知二求一”·

图1

这个模型可以引申为其他柱体与球体的组合体问题，比如直三棱柱与球体、直四棱柱与球体、直六棱柱与球体等，我们只需确定r即可，此时r的含义为棱柱外接圆柱的半径，转化为平面图形即为多边形外接圆的半径，通常会有如图2～图6所示的情况·

图6

图2

图3

图4

图5

二、应用模型解题

例1（2013年辽宁卷第10题）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4， AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）·

解析：本题为直三棱柱与球体的组合问题，且三棱柱的底面三角形为直角三角形，易得斜边长为5·高为12，用模型，秒杀此题！

例2（2014年陕西卷第5题）已知底面边长为1，侧棱长为2

■的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）·

解析：本题为正四棱柱与球体的组合问题，由底面边长为1易得其外接圆半杀此题！

例3（2009年全国卷第15题）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC= 120°，则此球的表面积等于_________·

解析：本题为直三棱柱与球体的组合问题，且三棱柱的底面三角形为等腰三角形，顶角为120°，易得r=2，4πR2=20π·

例4一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为_________cm2·

例5（2008年新课标第14题）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面·已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3，那么这个球的体积为________·

以上例题充分说明模型的重要性，只要理解模型实质，可以说，此类问题不再是难题，读完题后直接套用模型秒杀问题！这是多么有趣的数学现象·

三、重要结论及应用

结论1：若高为h的正棱柱或圆柱内接于半径为R的球O中，则当且仅，柱体的体积取得最大值·证明：由基本模型知R2=r2+d2，d=，其中，r为圆柱的半径（或正多边形外接圆的半径），上式可化为r2=R2-

而正棱柱或圆柱的底面积都可化为一个r的二次函数，即S底=λr（2λ为常数）·②

所以，V=S底h=λr2h·③

由④式知体积是关于高的三次函数，可通过求导来计算最大值·

下面具体给出正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱对应的体积的最大值：

名称底边长高外接圆半径对应λ的值体积最大值正三棱柱a h r=3■■3aλ=33 4 Vmax=R3正四棱柱a h r=2■■2a λ=2Vmax=83 9R3正六棱柱a h r=a λ=33■2 Vmax=2R3圆柱无无r λ=π Vmax=43■π9R3

结论2：若高为h的正棱柱或圆柱内接于半径为R的球O中，则当且仅当R时，柱体的侧面积取得最大值·

下面具体给出正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱对应的侧面积的最大值：

名称底边长高外接圆半径对应m的值侧面积的最大值正三棱柱a h r=3■■S侧max=33 3am=33■R2正四棱柱a h r=2■■S侧max=42 2am=42■R2正六棱柱a h r=a m=6 S侧max=6R2圆柱无无r m=2π S侧max=2πR2